[[분류:다각형]][[분류:한자어]]
[include(틀:평면기하학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[正]][[八]][[角]][[形]] / regular octagon}}}
모든 [[각]]의 크기와 모든 [[변#s-3]]의 길이가 같은 [[팔각형]].

== 상세 ==
팔각형의 내각의 합은 [math(1080\degree)]이므로 정팔각형의 한 각은 [math(135\degree)]이다. 한 변의 길이가 [math(a)]인 [[정사각형]]의 네 꼭짓점으로부터 두 변의 길이가 [math({\left(1-\dfrac{\sqrt2}2\right)}a)]인 [[직각삼각형]]을 깎아내면 한 변의 길이가 [math((\sqrt2-1)a)]인 정팔각형을 만들 수 있다. 다시 말해, 한 변의 길이가 [math(a)]인 정팔각형을 만들기 위해서는 한 변의 길이가 [math((\sqrt2+1)a)]인 [[정사각형]]의 네 꼭짓점으로부터 두 변의 길이가 [math(\dfrac{\sqrt2}2a)]인 [[직각삼각형]]을 깎아내면 된다.

이포각이 [math(2\pi)]를 넘어가기 때문에 정팔각형을 면으로 하는 [[정다포체]]가 존재하지 않는다. 그나마 일부 면이 정팔각형인 경우는 [[반정다면체]], [[존슨 다면체]]에서 찾아볼 수 있는데, [[깎은 정육면체]]가 대표적이다.

[[쌍대다면체|쌍대]]는 닮음 관계의 자기 자신이다.
== 공식 ==
한 변의 길이를 [math(a)], 넓이를 [math(S)], 둘레를 [math(l)]이라고 하면
 * [math(S=2a^2\cot\dfrac{\pi}8=2(1+\sqrt2)a^2\approx 4.828a^2)]
 * [math(l=8a)]
변심거리를 [math(r)]라고 하면
 * [math(S=8r^2\tan\dfrac{\pi}8=8(\sqrt2-1)r^2\approx 3.314r^2)]
외접원의 반지름을 [math(R)]라고 하면
 * [math(S=4R^2\sin\dfrac{\pi}4=2\sqrt2R^2\approx 2.828R^2)]
내접원의 반지름 [math(R)]는
 * [math(R=\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\right)a)]