[[분류:사각형]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]
[include(틀:평면기하학)]
[[파일:external/upload.wikimedia.org/Square_%28polygon%29.png|width=160&align=right]]
[목차]
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== 정의 ==
네 [[변#s-3]]의 길이와 네 각의 크기가 모두 같은 [[사각형]]
== 성질 ==
 * [[볼록다각형]]
 * 두 쌍의 [[대변#s-1.3]]이 각각 [[평행]]
 * 두 [[대각선]]이 중점에서 교차
 * [[직사각형|두 대각선의 길이가 같음]]
 * 두 대각선이 서로를 이등분
 * [[마름모|두 대각선이 수직]]
 * 한 대각선이 도형을 이등분, 이등분된 도형들은 [[합동(기하학)|합동]]인 [[직각삼각형]]
 * 두 대각선이 도형을 사등분, 사등분된 도형들은 합동인 [[직각삼각형]]
 * 한 [[대각선]]에 대하여 대칭이면서 동시에 한 쌍의 대변의 중점을 연결한 직선에 대해서도 대칭[* 정사각형이 아닌 [[직사각형]]의 경우 한 쌍의 대변의 중점을 연결한 직선에 대하여 대칭이지만, 한 대각선에 대해서는 대칭이 아니고, 정사각형이 아닌 [[마름모]]의 경우는 한 대각선에 대하여 대칭이지만, 한 쌍의 대변의 중점을 연결한 진선에 대하여 대칭이 아니다. 직사각형이나 마름모가 둘 다 아닌 [[평행사변형]]은 둘 다 대칭이 아니며, 도형 내부를 지나는 어떠한 직선에 대해서도 대칭이 아니다.][* 참고로 이 성질을 띠는 도형을 [[정축체]](Orthoplex)라고 한다. 정사각형 외에도 [[정팔면체]], [[정십육포체]]도 해당 성질을 띤다.]
 * 합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많음
 * 내접원과 외접원이 모두 존재
  * 두 원의 중심은 모두 정사각형의 두 대각선의 교점
 * 모든 정사각형은 서로 닮음
 * 자기[[쌍대다면체|쌍대]]인 도형
 * [[초입방체]]이자 [[정축체]]인 가장 고차원 도형[* [[3차원]]으로 올라가기만 해도 초입방체는 [[정육면체]], 정축체는 [[정팔면체]]로 갈라진다.]

== 다른 도형과의 관계 ==
=== [[사각형]] ===
정사각형은 네 각이 모두 같으므로 [[직사각형]]이다. 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 [[사다리꼴]]이며, [[평행사변형]]이다. 또한 대각선의 길이까지 같으므로 [[등변 사다리꼴]]이며, 네 변의 길이가 모두 같으므로 [[마름모]]이다. 정사각형만이 직사각형인 동시에 마름모, 즉 직사각형과 마름모의 [[교집합]]이다.

=== [[정팔각형]] ===
정사각형의 네 꼭짓점으로부터 [[직각삼각형]]을 적당히 깎아내면 [[정팔각형]]을 만들 수 있다.
== 공식 ==
 * [math(\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}^2)]
 * [math(\textsf{\footnotesize{(둘레)}}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}\times 4)]
 * 모든 각이 직각이므로 [[피타고라스 정리]]에 의하여 [math(\textsf{\footnotesize{(대각선)}}=\sqrt{\textsf{\footnotesize{(한 변)}}^2\times 2}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}\times\sqrt 2)]

== [[복소평면]] ==
[[1의 거듭제곱근|1의 네제곱근]]인 1, -1, [[허수|[math(i)], [math(-i)]]]를 선으로 이으면 한 변의 길이가 [math(\sqrt2)]인 정사각형이 된다.

== [[행렬]] ==
행의 개수와 열의 개수가 같아서 정사각형 모양으로 나타나는 행렬을 '''정사각행렬''' 또는 '''정방행렬'''이라고 한다.

== [[프랙털 이론]] ==
[[시어핀스키 사각형]]은 정사각형에서 출발하는 프랙털 도형이다.

== 언어별 명칭 ==
 * [[한국어]]: 정사각형([[正]][[四]][[角]][[形]]), 정방형([[正]][[方]][[形]]), 바른네모(꼴)
 * [[중국어]]: [[正]][[四]][[边]][[形]][zhèngsìbiānxíng], 正方形[zhèngfāngxíng]
 * [[일본어]]: [[正]][[四]][[角]][[形]](せいしかくけい), 正方形(せいほうけい)
 * [[영어]]: square, 2-cube, 2-orthoplex

[[한자문화권]]에서는 '정방형(正方形)'이라는 단어가 공통적으로 나타난다. 차이점은 한국어와 일본어에서는 '정사각형(正四角形)'이라고 하지만 중국어에서는 '정사변형(正四邊形/正四边形)이라고 한다는 것이다. 한국어에서는 '정방형'보다 '정사각형'을 쓰는 것이 일반적인데, 정사각형 모양의 [[행렬(수학)|행렬]]을 '[[정사각행렬]]'뿐만 아니라 '[[정방행렬]]'로도 일컫는 데에서 비교적 널리 쓰이는 예시를 찾을 수 있다. 또한, '바른네모', '바른네모꼴'이라는 [[순우리말]]도 있으나 '정사각형'을 사용하는 세력이 압도적으로 세어 거의 쓰이지 않는다.

영어에서는 그저 square라고 한다. 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이라는 점에서, square에는 '제곱', '제곱하다'라는 뜻도 있다. 

2-cube와 2-orthoplex는 2차원상의 [[초입방체]], [[정축체]]임을 일컫는다.