[include(틀:대수학)]
[include(틀:응집물질물리학)]

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== 개요 ==
{{{+1 [[點]][[群]] / point group}}}

점군은 공간에서 어떤 조작에 대해 하나 이상의 고정된 점을 보존하는, 기하학적 대칭의 [[군(대수학)|군(群)]]을 의미한다. 점군은 모든 차원의 유클리드 공간에서 존재하며, 모든 n차원 점군은 직교군 [math(O\left(n\right))]의 부분군이다. 점군은 직교행렬의 집합으로 표현될 수 있다.

기하학, 대수학 등 수학 뿐만 아니라, [[화학]], [[응집물질물리학]]에서도 물질의 [[대칭|대칭성]]을 표시할 때 주로 사용된다.

== 설명 ==
쉽게 설명해, 점군은 임의의 기하학적 대상이 회전이나 반사 등의 조작에 대해, 어떤 대칭을 가지는지에 대한 서술이다.

기하학적 대상에 대해 가능한 조작은 다음과 같다.

|| 차원 || 조작 || 기호 || 설명 ||
|| [[0차원]] 이상 || 동등 조작(identity) || [math(E)] ||아무런 조작도 가하지 않는다.[* 아무것도 하지 않은 채 그대로 두나, 수학적 완전성을 위해 필요하다.] ||
||<|2> [[1차원]] 이상 || 반사(reflection) || [math(\sigma)] ||특정한 경계면[* 1차원일 경우 점, 2차원은 경계선, 3차원은 경계면(평면). 이와 같이 n차원 도형은 n-1차원 공간을 경계로 반사시킨다.]을 기준으로 대칭시킨다.[* 이 조작에 대해 대칭을 갖지 않는 성질을 '''카이랄성(chirality)'''이라고 한다. 이는 [[물리학]]과 [[화학]]은 물론, '''특히 [[약학]]에서 중요하게 다뤄지는 성질이다.''' 극단적인 예시로, 약물 [[분자]]의 카이랄성 때문에 발생한 '''[[탈리도마이드]] 사건'''이 있다.] ||
|| 반전(inversion) || [math(i)] ||특정한 점을 기준으로 대칭시킨다. (점대칭) ||
|| [[2차원]] 이상 || 회전(rotation) || [math(C_n)] ||특정한 축을 기준으로 (360/n)º회전시킨다. ||
|| [[3차원]] 이상 || 회전반사(Improper rotation) || [math(S_n)] ||특정한 축을 기준으로 (360/n)º 회전시킨 후, 해당 축에 수직인 평면을 기준으로 대칭시킨다. ||

=== 1차원 대칭 ===
직선 위에 있는 점들에 대한 대칭은 C,,1,,과 D,,1,, 두 가지밖에 없다.

|| Scn[*Scn 숀플리스(Schönflies) 표기법] || 명칭 || Int[*Int 헤르만-모갱(Herrman-Mauguin) 표기법, 또는 국제기호] || Cox[*Cox 콕서터(Coxeter) 표기법] || 대칭 차수 ||
|| C,,1,, || 동등군(indentity group) || n || []^^+^^ || 1 ||
|| D,,1,, || 반사군(reflection group) || nm || [] || 2 ||

=== 2차원 대칭 ===
평면 위에 있는 점들에 대한 대칭에는 C,,n,,과 D,,n,,이 존재한다. n은 자연수 또는 무한대가 될 수 있다.

|| Scn[*Scn] || 명칭 || Int[*Int] || Cox[*Cox] || 대칭 차수 ||
|| C,,n,, || [[순환군]] || n || [n]^^+^^ || n ||
|| D,,n,, || 반사군 || nm || [n] || 2n ||
단, n은 자연수 또는 무한대.

=== 3차원 대칭 ===
여기서부터 이면체 대칭(dihedral symmetry)과 정다면체 대칭(polyhedral symmetry)으로 나뉜다.

||<-2> 분류 || Scn[*Scn] || 명칭 || Int[*Int] || Cox[*Cox] || 대칭 차수 ||
||<|3><-2> 낮은 차수 대칭[* 대칭 요소가 없거나, 하나밖에 없는 점군.] || C,,1,, || 동등군 || || || 1 ||
|| C,,i,, || 점대칭 || || ||  2 ||
|| C,,s,, || 면대칭 || || ||  2 ||
||<|7> 이면체 대칭 ||<|3> C || C,,n,, || 순환 대칭[* cyclic symmetry] || n || [n]^^+^^ || n ||
|| C,,nh,, || 각기둥 대칭[*A C,,nh,,와 D,,nh,,는 둘 다 각기둥 대칭이라고 불리나, 서로 다르다. 같은 n이라면 적도에 수직한 면대칭이 있는 D,,nh,,가 더 대칭성이 2배 크다.] || || [n^^+^^,2] || 2n ||
|| C,,nv,, || 피라미드 대칭 || || [n] || 2n ||
|| S[* 독일어로 [[거울]]을 뜻하는 Spiegel(슈피겔)에서 따왔다.] || S,,2n,, || gyro-n-gonal group || || [2n^^+^^,2^^+^^] || 2n ||
||<|3> D || D,,n,, || 이면체 대칭 || || [n,2]^^+^^ || 2n ||
|| D,,nh,, || 각기둥 대칭[*A] || || [n,2] || 4n ||
|| D,,nd,, || 엇각기둥 대칭 || || [2n,2^^+^^] || 4n ||
||<|7> 정다면체 대칭 ||<|3> T || T || 카이랄 정사면체 대칭 || [math(23)] || [3,3]^^+^^ || 12 ||
|| T,,d,, || 정사면체 대칭 || [math(\overline{4}3m)] || [3,3] || 24 ||
|| T,,h,, || 황철석면체 대칭[* pyritohedral symmetry. 광물 [[황철석]]에서 이름을 따왔다.] || [math(m\overline{3})] || [3,3^^+^^] || 24 ||
||<|2> O || O || 카이랄 정다면체 대칭 || [math(432)] || [3,4]^^+^^ || 24 ||
|| O,,h,, || 정팔면체 대칭 || [math(m\overline{3}m)] || [3,4]^^+^^ || 48 ||
||<|2> I || I || 카이랄 정이십면체 대칭 || [math(532)] || [3,5]^^+^^ || 60 ||
|| I,,h,, || 정이십면체 대칭 || [math(\overline{53}m)] || [3,5] || 120 ||

=== 4차원 대칭 ===
4차원 이상의 회전은 복잡한 특징을 가진다. 2차원 또는 3차원 회전의 경우, 회전면[* 회전축에 수직한 평면]이 하나지만, 4차원 이상의 회전의 경우 둘 이상의 회전면을 가질 수 있기 때문이다.

인간이 통상 3차원 공간에 살기 때문에 회전이라는 것을 '회전축을 중심으로 도는 것'으로 생각할 수 있으나, 이것은 3차원에서만 정의되는 것이며, 모든 차원에 적용되는 회전의 정의는 회전면에서 벌어지는 변환으로 이해해야 한다. 단편적으로, 만약 회전축을 중심으로 한 변환이라고 생각할 경우, 4차원 이상에서는 어떤 축에 수직한, 서로 평행하지 않은 평면이 수없이 많으므로 회전이 잘 정의되지 않는다. 따라서 4차원 이상의 회전은 회전축이 아닌 여러 개의 회전면의 개념으로 이해한다.

어떤 하나의 회전면을 기준으로 회전하는 심플 로테이션, 그리고 서로 수직한 두 방향으로 회전하는, 더블 로테이션(double rotation)으로 나뉜다. 더블 로테이션의 대칭은 듀오프리즘으로 대표될 수 있다.

이에 따라 4차원의 군은 크게 네 종류의 콕서터 군과 그 부분군으로 분류된다. 콕서터 군은 대합 대칭군 5종, 4차원 정다포체 대칭군 5종, 정다면체 기둥 대칭군 3종, 그리고 무수히 많은 듀오프리즘 대칭군으로 이루어진다.

||<-5> 콕서터 군 ||
|| 분류 || 바일 군 || 명칭 || Cox[*Cox] || 대칭 차수 ||
||<|5> 4차원[br]정다포체[br]대칭군[br](5종) || A,,4,, || 정오포체 대칭 || [3,3,3] || 120 ||
|| D,,4,, || 반정팔포체 대칭 || [3^^1,1,1^^] || 192 ||
|| B,,4,, || 정십육포체 대칭 || [4,3,3] || 384 ||
|| F,,4,, || 정이십사포체 대칭 || [3,4,3] || 1152 ||
|| H,,4,, || 정육백포체 대칭 || [5,3,3] || 14400 ||
||<|3> 정다면체[br]기둥[br]대칭군 (3종) || A,,3,,A,,1,, || 정사면체 기둥 대칭 || [3,3]×[] || 48 ||
|| B,,3,,A,,1,, || 정팔면체 기둥 대칭 || [4,3]×[] || 96 ||
|| H,,3,,A,,1,, || 정이십면체 기둥 대칭 || [5,3]×[] || 240 ||
|| 듀오프리즘[br]대칭군 || I,,2,,(p)I,,2,,(q) || 듀오프리즘 대칭 || [p]×[q] = [p,2,q] || 4pq ||
||<|5> 대합[br]대칭군[br](5종) ||<-2> 대칭 없음 || []+ || 1 ||
||<-2> 반사 대칭 || [] || 2 ||
||<-2> 2-fold 회전 대칭 || [2^^+^^] || 2 ||
||<-2> 2-fold 더블 로테이션 대칭 || [2^^+^^, 2^^+^^] || 2 ||
||<-2> 점대칭 || [2^^+^^, 2^^+^^, 2^^+^^] || 2 ||

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