[include(틀:양자역학)]
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== 개요 ==
재규격화란 양자화의 여러 항들의 범위를 되맞추는 방법론들을 총칭한다. 주로 발산하는 변수항의 범위를 맞추거나 상수항을 형식화해서 해석적 연속하게 만드는데 사용된다. 이는 양자화로부터 물리량들을 계산하는데 목적이 있다. 
== 원인 ==
[[경로적분]], [[2차 양자화]]의 델타 함수꼴 복소 액션항은 아래의 소코트스키-플레멜 정리를 따라 표현된다. 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} 
\lim\limits_{\epsilon \to 0} \dfrac{1}{(x \pm i\epsilon)} = \frac{1}{x} \pm i\pi\delta(x)
\end{aligned})]}}}||
적분 영역을 운동량 항으로 변환한다면, 이는 전파인자의 수학적 표현과 동일하다. 우선 전파인자로부터 페르미온의 전파인자를 가정해보자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} 
\lim\limits_{\epsilon \to 0} \int \dfrac{d^n p}{(2 \pi)^n}\dfrac{e^{ip(x-y)}}{(p^2+m^2 \pm i\epsilon)} \to \lim\limits_{\epsilon \to 0} \int \dfrac{d^n p}{(2 \pi)^n}\dfrac{ip\!\!\!/+m}{(p^2+m^2 \pm i\epsilon)}
\end{aligned})]}}}||
하지만, 전파인자에서 유의미한 물리량들을 계산하기 위해 그대로 부정적분을 하면, 무한대로 발산된다는 사실은 자명하다. 

[math(k+p)]의 운동량을 가진, 하나의 페르미온 입자 운동을 추가로 가정해서 간단한 산란 행렬을 써본다면,[* g는 커플링 상수.]
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} 
\lim\limits_{\epsilon \to 0} \int g^2 \dfrac{d^n p}{(2 \pi)^n}\dfrac{(ip\!\!\!/+m)\gamma_{\mu}(i(k\!\!\!/+p\!\!\!/)+m)\gamma_{\nu}}{(p^2+m^2 \pm i\epsilon)((k+p)^2+m^2 \pm i\epsilon)} 
\end{aligned})]}}}||
이 산란행렬에서도 마찬가지로 유의미한 값을 그대로 구하기 위해 적분을 시도한다면, 무한대로 여전히 발산된다. 

여기서 발산의 원인이 될만한 두가지 특징을 확인할수 있다. 첫번째는 적분의 영역이고, 두번째는 적분을 완료한뒤 결과 함수는 로그 함수꼴이다. 우선 위의 적분 영역은 일반적인 적분의 영역보다 극값을 쉽게 도출할수 있다. 그러므로, 영역의 차수와 정의역에 관한 1차원적 범위의 변형이 있지 않는 한 수렴하는 부분을 조사하기가 힘들다. 적분했을때 로그 함수가 되도록 하는 적분내 함수도 마찬가지로 값이 발산되도록 하는 특이점이 존재해서 수렴하는 영역을 찾고자 할 경우에는 복소해석학을 써야한다. 위와 같은 두가지 특징을 해결하기 위해 복소해석적인 방법과 대수적인 방법으로 해석적으로 연속하게 만드는 방법인 재규격화가 고안되게 되었다.
=== 파인만 매개변수화 ===
[[리처드 파인만]]은 경로적분을 활용하여 표현한 전자기 상호작용의 산란행렬의 계산을 연구하던도중, 산란행렬의 발산을 보다 더 쉽게 다루기 위해 전파인자의 해석학적 특징을 활용하여 매개변수화를 고안했다.

전파인자의 해석적인 특징은 완비성을 지닌 힐베르트 공간의 적분으로써, 전파인자의 분모는 체 [math(\mathbb{K})]위의 부분공간인 임의의 선형다양체 [math(M)]으로 변형가능하다. 그러므로, [math(\alpha, \beta \in \mathbb{K})]와 [math(A, B = M)]라고 하면, [math(\alpha A + \beta B \in M)]일때, [math(\alpha, \beta)]를 각각 매개변수인 [math(x)], [math(1-x)] 혹은 [math(y)]로 두는것이 가능해진다.[* [math(A_{n} \in M)]으로 연속적으로 곱해지는 경우, 매개변수는 [math(x_{n})]으로 통일된다.]

산란 행렬에서의 매개변수화의 과정은 아래와 같이 이루어진다. 먼저 2개의 입자가 상호작용하는 산란행렬의 매개변수화를 보기위해 전파인자 분모를 각각 [math(A)], [math(B)]라고 하자.

분모를 각각 분리하면, 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} 
\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{(B-A)}\times\dfrac{(B-A)}{AB} = \dfrac{1}{(B-A)}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)
\end{aligned})]}}}||
분수 분리된 맨 우변 항을 적분으로 변형하면, 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)= \int_{B}^{A} -\dfrac{1}{z^2} dz
\end{aligned})]}}} ||
즉, 다음을 함양한다. 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{(B-A)}\left(\int_{B}^{A} -\dfrac{1}{z^2} dz\right)
\end{aligned})]}}} ||

그러므로, [math(z=xA+(1-x)B)]로 둔다면, 매개변수 [math(x)]로 치환한 [math(z)]는 [math(x=\frac{z-B}{A-B})]로 고쳐쓸수 있다. 최종적으로는 아래와 같다. 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{AB}=\int_{0}^{1} \dfrac{1}{(xA+(1-x)B)^2} dx
\end{aligned})]}}} ||

위 식에서 [math(A)] 혹은 [math(B)]에 대한 미분을 하면, 3개 이상의 입자가 상호작용하는 산란행렬과 같다. 즉 [math(A)]에 대해 미분하면 다음과 같이 변한다. 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{A^{2}B}=\int_{0}^{1} \dfrac{2x}{(xA+(1-x)B)^3} dx
\end{aligned})]}}} ||
[math(B \subset A_{n})]이라 두고 n번 미분했을때 매개변수화는 아래와 같다. 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{A_{1} A_{2} \cdots A_{n}} =\int_{0}^{1} \delta(\sum x_{i}-1) \dfrac{(n-1)!}{(\sum x_{n} A_{n})} dx_{1} \cdots dx_{n}
\end{aligned})]}}} ||
이외에도 [math(A)]와 [math(B)]의 일반화 과정에 따라 달라지는 매개변수화를 표로 정리할수 있다. 

||<table align=center><table bgcolor=#ffffff,#000000><colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\dfrac{1}{AB^{n}})] ||[math(\displaystyle \int_{0}^{1} \delta(x+y-1)\dfrac {ny^{n-1}}{(xA+yB)^{n+1}} dxdy)] ||
|| [math(\dfrac{1}{ABC})] ||[math(\displaystyle \begin{aligned} 2 \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} dy \dfrac{1}{(ax+(b-a)x+(c-a)y)^3}
\end{aligned})] ||
|| [math(\dfrac{1}{A^n B^m})] ||[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac {\Gamma(n+m)}{\Gamma(n)\Gamma(m)} \int_{0}^{1} \dfrac {x^{n-1}(1-x)^{m-1}}{(Ax+(1-x)B)^{n+m}} dx \end{aligned})] ||
|| [math(\dfrac{1}{A_{1}^{m_{1}} A_{2}^{m_{2}} \cdots A_{n}^{m_{n}}})] ||[math(\displaystyle \begin{aligned} 
\dfrac{\Gamma(m_{1} + \cdots + m_{n})}{\Gamma(m_{1}) \cdots \Gamma(m_{n})}\int_{0}^{1} \delta(\sum x_{i}-1) \dfrac{\prod x_{i}^{m_{i}-1}}{(\sum x_{n} A_{n})^{\sum m_{i}}} dx_{1} \cdots dx_{n}
\end{aligned})] ||
== 조절 ==
발산하는 항의 영역을 제거하거나 재배치하는 기법들의 총칭을 조절(regularization)이라고 한다. 발산항을 대수적으로 쪼개서 0으로 만드는 기법과 발산항의 적분 정의역을 함수해석적으로 재배치하는 기법으로 나뉜다. 
=== 파울리-빌라르 조절 ===
무한히 큰 질량항으로 가정되는 발산항을 대수적으로 분리해낸뒤 발산항에 조절인자를 끼워넣어서 발산항을 제거하는 기법으로 1949년 [[볼프강 파울리]]와 펠릭스 빌라르가 고안했다. 

양자화의 임의의 복소 적분을 [math(\Delta)]라고 가정하고, 아래와 같이 삼각함수로 각각 분리하면,
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \Delta^{(1)}(x) = -\dfrac{m^2}{2\pi^2} \int_{0}^{\infty} d\alpha \operatorname{sin} \left(-(x_{\mu})^{2}m^{2} \alpha + \dfrac{1}{4\alpha} \right) \\ \displaystyle \Delta(x) = \dfrac{m^2}{4\pi^2} \int_{0}^{\infty} d\alpha \operatorname{cos} \left(-(x_{\mu})^{2}m^{2} \alpha + \dfrac{1}{4\alpha} \right) 
\end{aligned})]}}} ||
복소해석학을 사용하면, 특이점은 [math(m^2)]에 비례하는데, 이를 제거하기 위한 조절인자(regulator)는 아래와 같다. 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} 
\Delta_{R}^{(1)}(x) = \sum_{i} c_{i} \Delta^{(1)}(M_{i}) \\ \Delta_{R}(x) = \sum_{i} c_{i} \Delta(M_{i})
\end{aligned})]}}} ||
상수 [math(c_{i})]는 아래를 만족한다. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\begin{aligned}
\sum_{i} c_{i} = 0 \\ \sum_{i} c_{i} M_{i} = 0
\end{aligned})]}}} 
=== 차원 조절 ===
발산하는 적분에서 정의역의 차원을 분리한뒤 비교적 낮은 차수의 정의역에서 복소해석적인 방법으로 해석적 연속을 보이는 부분을 조사하는 방법으로써, 1972년 [[헤라르뒤스 엇호프트]], [[마르티뉘스 펠트만]], 카를로스 볼리니, 후안 지암비아지가 고안했다. 

차원이 n인 전파인자를 [math(f(p,m))]으로 가정한다면, 양자화는 다음과 같이 분리될수 있다. 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} 
\int d^n p f(p,m) \to \int d^4 p \int d^{n-4} p_{i} f(p,m) 
\end{aligned})]}}} ||
여기서, [math(p_{i})]를 차원 길이인 [math(\omega)]로 치환하면, 다음과 같이 바뀐다. 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} 
\int d^{n-4} p_{i} f(p,m) \to \int_{0}^{\infty} d\omega \omega^{n-5} \dfrac{2\pi^{\frac{1}{2}(n-4)}}{\Gamma(\frac{1}{2}(n-4))} f(p, \omega^2, m) \\ = -\dfrac{2}{(n-4)}\int_{0}^{\infty} d\omega \omega^{n-3} \dfrac{2\pi^{\frac{1}{2}(n-4)}}{\Gamma(\frac{1}{2}(n-4))} \dfrac{\partial}{\partial \omega^2} f(p, \omega^2, m) 
\end{aligned})]}}} ||
== 참고문헌 ==
 * M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction of Quantum Field Theory, CRC Press
 
 * J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics 

 * R. P. Feynman, Space-time Approach to Quantumelectrodynamics, Phys. Rev. 76, 769(1949)

 * W. Pauli and F. Villars, On the invariant regularization in Relativistic Quantum Theory, Rev. Mod. Phys. 21, 434(1949) 

 * C. Quigg and J.D. Jackson, UCRL-18487 (1968)

 * G. ‘t Hooft, Renormalization of Massless Yang-Mills Field, Nucl. Phys. B 33, (1971) 173
 
 * G. ‘t Hooft and M. Veltman, Regularization and Renormalization of Gauge Fields, Nucl. Phys. B 44, (1972) 189

[[분류:양자역학]][[분류:해석학(수학)]][[분류:미적분]]