[include(틀:토론 합의, 토론주소1=AHardAndTightfistedRain, 합의사항1=개요 문단의 '기호 e'에 '자연로그의 밑'\, '네이피어의 수'\, '자연상수' 등과 같은 주석이나 각주를 넣지 않기)] [include(틀:수와 연산)] [목차] [clearfix] == 개요 == {{{+1 natural logarithm^^영어^^ / logarithmus naturalis^^라틴어^^ / [[自]][[然]][[對]][[數]]}}} 자연로그는 [[자연로그의 밑|기호 [math(e)]로 표기되는 특정 상수]]를 밑으로 하는 [[로그(수학)|로그]]다. 여기서 자연(naturalis)이란 수식어는 자연로그의 [[도함수]]를 도출하는 과정에서 밑이 동시에 '자연'스럽게 정의된다는 점이나, 자연로그의 밑을 지수의 밑으로 하는 지수함수의 미분 등에서 아주 깔끔한 결과가 얻어지는 데서 유래했다. 기호로 나타낼 때는 [math(\ln)][* '자연로그'를 뜻하는 라틴어 'logarithmus naturalis'에서 따왔기 때문에 엘엔이라 읽는다. '인(In; in)'이 아님에 주의. 그래서 손으로 쓸 때에는 l을 필기체처럼 쓰는 경우도 많다.]으로 쓰거나, [[상용로그]]를 쓸 일이 거의 없는 곳에서는 [math(\log)]로 쓴다. 이렇게 사용하는 경우에는 상용로그가 나올 것 같으면 [math(\log_{10}a)]처럼 밑을 10으로 명시하거나 [math({\log a}/{\log 10})]와 같이 표기해 상용로그를 아예 없는 것처럼 취급한다. [[수소 이온 농도 지수|pH]] 계산이나 [[음향학]] 분야 및 [[고등학교 수학]]에서는 주로 전자, 대학 [[미적분학]] 분야에서는 주로 후자의 표기법을 사용한다. == 성질 == 자연로그 또한 로그의 일종이므로 로그에서 성립했던 성질들이 모두 성립한다. 단, [math(a)], [math(b)]는 양의 실수, [math(c)]는 1이 아닌 양의 실수, [math(m)], [math(n)]은 실수이다. * [math(\ln{a}+\ln{b}=\ln{ab})] * [math(\ln{a}-\ln{b}=\ln{\left(\dfrac{a}{b} \right)})] * [math(\ln{a}=\dfrac{\log_{c}{a}}{\log_{c}{e}})] * [math(\ln{a}=\dfrac{1}{\log_{a}{e}})] (단, [math(a \neq 1)]) * [math(\ln{a^{m}}=m\ln{a})] * [math(\dfrac{n}{m}\ln{a}=\log_{e^{m}}{a^{n}})] (단, [math(m \neq 0)]) * [math(e^{\ln{a}}=a)] 아래의 성질은 자연로그일 경우에만 성립한다. * [math(\displaystyle \ln{a} =\int_{1}^{a} \frac{1}{x}\,{\rm d}x \quad (a >0))] * [math(\displaystyle \ln{a} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}(a-1)^n}n \quad (a \in (-1,\,1] ))] == [[자연로그의 밑]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=자연로그의 밑)] [include(틀:토론 합의, this=3, 토론주소1=AnimatedFascinatedLoudCan, 합의사항1=자연로그의 밑 문서로 분리)] == 활용 == === 역함수 === 자연로그를 취하는 함수의 역함수는 [[로그함수]]와 [[지수함수]]의 관계에 의해 [math(e^x)]이다. === 자연로그의 극한 === ==== [[소수 정리]] ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{\left(\dfrac x{\ln x}\right)}=1)] }}} [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]와 [[아드리앵마리 르장드르|르장드르]]의 추측을 시작으로 [[리만 가설]]에 이르기까지 [[소수(수론)|소수]]의 구조를 밝혀낼 열쇠가 되는 극한값이다. 자세한 내용은 [[소수 정리|문서]] 참고. ==== [[오일러-마스케로니 상수]] ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n\right)}=\gamma)] }}} [[비례·반비례|반비례 관계]] 그래프와 자연로그와의 차를 나타내는 극한값. 자세한 내용은 [[오일러-마스케로니 상수|해당 문서]] 참고. ==== 특수한 함수의 극한 ==== 다음 극한을 고려해보자. ||<:> [math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} )] || 식을 변형하면, 아래와 같은 극한 값을 얻는다. ||
<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} &=\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x}}\ln{(x+1)} \\&=\lim_{x\to 0}{\ln{(x+1)^{1/x}}} \\ &=\ln{\left[ \lim_{x\to 0}{(x+1)^{1/x}} \right]} \\ &=\ln{e} \\&=1 \end{aligned} )] || 식의 전개에서 로그의 성질 및 [math(e)]의 극한을 사용한 정의를 사용했다. 또 다른 극한 ||
<:> [math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}} )] || 의 경우 위 결과에서 로그의 밑이 [math(e)]에서 [math(a)]로 바뀐 형태이므로 따로 계산해보지 않더라도 그 결과를 아래와 같이 쓸 수 있다. ||
<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}}&=\log_{a}{e} \\&=\frac{1}{\ln{a}} \end{aligned})] || 위 결과를 사용하여 ||
<:> [math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}} )] || 를 구해보자. [math(e^{x}-1=t)]로 치환하면 [math(x \to 0)]일 때, [math(t \to 0)]이고, [math(x=\ln{(t+1)})]이므로 ||
<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}} &=\lim_{t\to 0}{\frac{t}{\ln{(t+1)}}} \\ &=\frac{1}{\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{\ln{(t+1)}}{t}} \\ &=1 \end{aligned} )] || 임을 얻을 수 있다. 더 나아가 이 극한 식이 의미하는 바가 무엇인지 살펴보자 극한 식을 ||
<:> [math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}} )] || 형태로 쓰면, 곧 이것은 함수 [math(y=e^{x})]의 [math(x=0)]에서의 미분 계수 혹은 접선의 기울기를 구하는 것과 같은 것임을 알 수 있다. 같은 방법으로 [math(a^{x}-1=t)]의 치환을 통해 ||
<:> [math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{a^{x}-1}{x}}=\ln{a} )] || 임을 얻을 수 있고, 이 또한 함수 [math(y=a^{x})]의 [math(x=0)]에서의 미분 계수 혹은 접선의 기울기를 구하는 것과 같다. 이상의 문단을 정리하면 아래와 같다. ||
<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} &=1 \\ \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}} &=\frac{1}{\ln{a}} \\ \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}&=1 \\ \lim_{x\to 0}{\frac{a^{x}-1}{x}}&=\ln{a} \end{aligned} )] || === 미적분 === ==== [[도함수]] ==== 자연로그 함수 [math(\ln{x})]의 도함수를 구해보자. 도함수의 정의에 따라 ||
<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\ln{x})&=\lim_{h \to 0} \frac{\ln{(x+h)}-\ln{x}}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{\ln{\left( 1+\dfrac{h}{x} \right)}}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \frac{x}{h} \cdot {\ln{\left( 1+\dfrac{h}{x} \right)}} \\&= \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} {\ln{\left( 1+\dfrac{h}{x} \right)^{x/h}}} \\&= \frac{1}{x} \ln{\left [ \lim_{h \to 0} \left( 1+\dfrac{h}{x} \right)^{x/h} \right] }\\&= \frac{1}{x} \ln{e } \\&= \frac{1}{x} \end{aligned})] || 임을 알 수 있다. ==== [[역도함수]] ==== 자연로그 함수 [math(\ln{x})]의 역도함수를 구해보자. 이것을 구할 때는 [[부분적분]]을 사용해야 한다. ||
<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\,{\rm d}x &=\int 1\cdot \ln{x}\,{\rm d}x \\&=\left( \int 1\,{\rm d}x \right) \ln x-\int \left( \int 1\,{\rm d}x \right) \left\{ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\ln{x}) \right\} \,{{\rm d} x} \\&=x\ln{x}-\int x\cdot \frac{1}{x} \,{\rm d}x \\&=x\ln{x}-\int 1\,{\rm d}x \\&= x\ln{x}-x+\textsf{const.} \end{aligned})] || [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다. ==== [[로그 적분 함수]] ==== ||
<:> [math(\displaystyle \begin{aligned}{\rm li}(x)&=\int_0^x\frac{{\rm d}t}{\ln t}\\ &=\int_{\ln x}^\infty\frac{e^{-t}}{t}\,{\rm d}t = {\rm Ei}(\ln x)\end{aligned})][* 두 번째 식은 [[지수 적분 함수]]를 이용해서 나타낸 식이다.] || 자연로그로 유도할 수 있는 [[특수함수]]이다. 자세한 내용은 [[로그 적분 함수]] 문서 참고. === 무한급수 === [math(e^x)]을 [[테일러 전개]]한 식에 [math(x=1)]를 대입해 유도할 수도 있고, 위의 극한을 이용한 정의에서의 극한식을 [[이항정리]]를 이용해 정리해서 이 식을 유도할 수도 있다. 표현 자체만 다를 뿐 극한식과 급수식은 서로 동치 관계에 있다. 오일러가 이 방식으로 무한급수식을 도출한 바 있다. [math(t\to0)]인 극한식에서 [math(t=n^{-1})]으로 치환해주면 [math(n\to\infty)]이며 지수가 [math(n)]으로 간단하게 표현되기에 이항 정리를 용이하게 적용할 수 있다. ||
<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{t\to0}\,(1+t)^{1/t}&=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n \\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\binom nr\frac1{n^r}\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\frac{n!}{r!{\cdot}(n-r)!}\frac1{n^r} \\ &=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{n!}{0!{\cdot}n!}\frac1{n^0}+\sum_{r=1}^n\frac{n!}{r!{\cdot}(n-r)!}\frac1{n^r}\right\}\\&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!}\frac1{n^r}\right\} \\ &=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}{\left(1-\dfrac2n\right)}\cdots{\left(1-\dfrac{r-1}n\right)}}{r!}\right\} \\ &=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}}{2!}+\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}{\left(1-\dfrac2n\right)}}{3!}+\cdots+\frac{\displaystyle \prod_{r=1}^n{\left(1-\frac{r-1}n\right)}}{n!}\right\} \\ &=\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots \\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!} \end{aligned})] || 한편, 자연로그에 관한 무한급수는 다음과 같이 전개된다. 로그 안에 들어가는 수가 [math(x)]가 아닌 [math(x+1)]임에 주의. ||
<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \ln\left(x+1\right) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}x^n}n \\ &= x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots \quad (-1
<:> [math(\displaystyle \ln x-\ln \left ( x-1 \right )=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{nx^n} \quad (x >1))]|| === [[경제학]] === 기간 [math(t)] 동안에 이자율(증가율) [math(i)]로 연속 성장(continuously compounded)할 때 그 극한이 지수함수로 나타나는데 밑이 [math(e)]가 된다. 다음과 같이 유도할 수 있다. 의미는 연이자율 100 % 일때 무한히 짧은 기간으로 이자율을 쪼개 적용함으로서 복리효과를 누릴 수 있는 최대값이다. 이자율이 [math(n00\,\%)]일때에는 [math(e)]의 [math(n)]제곱이 적용된다. 연속 성장의 횟수가 [math(n)]이라고 하면 [math(1)]회 성장 기간은 [math(t/n)]이며 증가율은 [math({it}/n)]가 된다. 지난 성장 결과를 [math(a_k)]라고 하면 다음 성장 결과 ||
<:> [math(a_{k+1} = {\left(1+\dfrac{it}n\right)}a_k)] || 이며 [math(a_0 = 1)]이라고 하면 이 점화식은 등비급수의 꼴이므로 ||
<:> [math(a_k = {\left(1+\dfrac{it}n\right)}^k)] || 로 풀린다. [math(k=n)]일 때, [math(n\to\infty)]의 극한을 취하면 ||
<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}a_n &= \lim_{n \to \infty}{\left(1+ \frac{it}n \right)}^n \\&= \lim_{n\to\infty}\biggl\{{\left(1+\frac{it}n\right)}^{n/it}\biggr\}^{it} \\&= e^{it} \end{aligned})] || [math(\ln(1+x)\approx x)] 로 근사하여 변화율을 구할 때도 쓴다. == [[복소로그함수]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=복소로그함수)] == 기타 == * 모든 [[로그(수학)|로그]]가 그렇듯 [[존 네이피어]]가 만들었다. 속도를 비교하는 [[미분방정식]]을 푸는 과정에서 나온다. * 자연로그에 1부터 10까지의 [[자연수]] 및 [math(e)], [math(\pi)]를 대입한 값은 다음과 같다. 소수점 아래 [math(32)]번째 자리수까지 확실한 값이며, 해당 자리수까지 반올림할 시엔 [math(33)]번째 자리의 숫자를 보고 판단하면 된다. 33번째 자리수는 반올림이 적용되어있지 않으며 [math(34)]번째 자리수 이후의 값을 생략한 것에 불과하니 주의할 것. 한자 문화권에선 [[만]] 단위로 끊어 쓰므로 편의를 위해서 4자리씩 끊었다. ||
<:>[math(\begin{matrix}\begin{aligned}\ln 1 &= 0\ \\ \ln 2 &= 0.6931\,4718\,0559\,9453\,0941\,7232\,1214\,5817\,6\cdots \\ \ln e &= 1 \\ \ln 3 &= 1.0986\,1228\,8668\,1096\,9139\,5245\,2369\,2252\,5\cdots \\ \ln \pi &= 1.1447\,2988\,5849\,4001\,7414\,3427\,3513\,5305\,8\cdots \\ \ln 4 &= 1.3862\,9436\,1119\,8906\,1883\,4464\,2429\,1635\,3\cdots \\ \ln 5 &= 1.6094\,3791\,2434\,1003\,7460\,0759\,3332\,2618\,7\cdots \\ \ln 6 &= 1.7917\,5946\,9228\,0550\,0081\,2477\,3583\,8070\,2\cdots \\ \ln 7 &= 1.9459\,1014\,9055\,3133\,0510\,5352\,7434\,4317\,9\cdots \\ \ln 8 &= 2.0794\,4154\,1679\,8359\,2825\,1696\,3643\,7452\,9\cdots \\ \ln 9 &= 2.1972\,2457\,7336\,2193\,8279\,0490\,4738\,4505\,1\cdots \\ \ln 10 &= 2.3025\,8509\,2994\,0456\,8401\,7991\,4546\,8436\,4\cdots \end{aligned}\end{matrix})] || * [[해석적 정수론]]에선 자연로그가 다수 합성된 꼴의 함수([math(\ln\ln\ln\ln x)] 같은 꼴)가 꽤 자주 나온다. * [[Wolfram Alpha|울프럼 알파]]에선 {{{Log[x]}}}를 입력하면 자연로그로 처리한 뒤 [[상용로그|10을 밑으로 갖는 로그]]를 찾은 경우를 대비해 짧은 설명과 링크를 달아준다. [[문과]]와 연관된 [[금융공학]]에서도 [math(\ln x)]로 통일했다. 왜냐하면 자연로그와 [[상용로그]]를 쓰는 곳은 [[파생상품]]인데, 서로 쓰는 분야가 달라서 [math(\log x)]로 통일을 할 수가 없기 때문이다. 이 자연로그는 고교 및 대학 과정 이상의 [[미적분]]에서 빠질 수 없는 필수 요소다. == 관련 문서 == * 중등교육과정 * [[미분과 적분(7차)|미분과 적분]] (제7차 교육과정) * [[수학Ⅱ]] (2007 개정 교육과정) * [[미적분Ⅱ]] (2009 개정 교육과정) * [[미적분(교과)|미적분]] (2015 개정 교육과정) * [[자연로그의 밑]] * [[로그 감마 함수]] * [[로그 적분 함수]] * [[로피탈의 정리]] * [[소수 계량 함수]] * [[폰 망골트 함수]] * [[체비쇼프 함수]] * [[소수 정리]] * [[오일러 등식]] * [[네퍼]] [[분류:로그(수학)]][[분류:해석학(수학)]][[분류:초등함수]] [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=자연로그의 밑, version=143)][* 문서 역사가 있는 위치를 명기함.] * [[문서 삭제식 이동]] (자연상수 → 자연로그) * 사유 1: 대한수학회 수학용어에서 [[http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=kname&keyword=%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%83%81%EC%88%98|자연상수]]란 용어는 존재하지 않음. * 사유 2: 정식적인 번역 용어는 [[http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=kname&keyword=%EC%9E%90%EC%97%B0%EB%A1%9C%EA%B7%B8%EC%9D%98+%EB%B0%91|자연로그의 밑]]이므로 자연로그의 하위 문단으로 구성하는 게 바람직함.