[include(틀:전자기학)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''Magnetic field intensity'''}}} [[전기장]]에서 물질의 효과를 고려한 [[전기 변위장]]을 도입했듯, [[자기장]]에서도 자화 물질의 효과를 고려한 새로운 장을 생각할 필요가 있어 나오게 된 물리량이다. 매질의 자화와 관계없이 정의할 수 있으며 매질 외부에서 실험적으로 조절하는 것이 간단하다. 실험적 편의 때문인지 [[전기 변위장]]과는 비교도 할 수 없을 만큼 자주 언급된다. == 기호와 명칭 == 기호로는 [math(\mathbf{H})]로 나타내며, 단위는 [math(\textrm{A/m})]가 된다. [math(\mathbf{B} = \mu \mathbf{H})]라는 관계가 성립한다. (단, [math(\mu)]는 매질의 [[투자율]], [math(\mathbf{B})]는 [[자기장]]이다.) [math(\mathbf{H})]라는 표기는 1873년 맥스웰의 저서 《전기자기론(A Treatise on Electricity and Magnetism)》에서 유래하였다. 로마자 기호를 따라 '[math(\mathbf{H})]-field'라고 부르기도 한다. 마찬가지로 다른 주요 field인 [[자기장]], [[전기장]], [[전기 변위장]]도 편하게 [math(\mathbf{B})]-field, [math(\mathbf{E})]-field, [math(\mathbf{D})]-field라고 부르는 편이다. 명칭에 대한 논쟁이 있다. [math(\mathbf{B})]-field를 자기장이라 부르는 사람과 [math(\mathbf{B})]-field 대신 [math(\mathbf{H})]-field를 자기장이라 부르는 사람이 있다. [math(\mathbf{H})]-field를 자기장이라 부르는 사람들은 [math(\mathbf{B})]-field를 '자속밀도'나 '자기 유도'라 표현한다. 맥스웰도 《전기자기론》에서 [math(\mathbf{B})]-field를 자기 유도(magnetic induction)라 부르고 [math(\mathbf{H})]-field를 자기장(magnetic field)이라고 불렀다. 잭슨이나 란다우의 교과서도 같은 명칭을 사용했다. 반대로 [math(\mathbf{B})]-field만을 자기장이라 부르는 게 타당하고 [math(\mathbf{H})]-field는 다르게 불러야 한다고 주장하는 사람들은 [math(\mathbf{B})]-field를 '자속밀도'나 '자기 유도'라 부르는 것을 매우 싫어한다. 해당 표현들은 이미 다른 의미로도 사용되고 있기 때문이다. 대표적으로 [[데이비드 제프리 그리피스|그리피스]]의 교과서에서 [math(\mathbf{B})]-field를 자기장이라고 부르고 있다. 일반적으로는 [math(\mathbf{B})]-field와 [math(\mathbf{H})]-field 둘 모두를 자기장이라고 통용해서 부른다. 이 때문에 위키피디아에서도 Magnetic field를 검색하면 [math(\mathbf{B})]-field와 [math(\mathbf{H})]-field를 모두 서술하고 있다. 어쨌든 [math(\mathbf{B})]-field와 [math(\mathbf{H})]-field는 서로 다른 물리량이며, 용어의 혼선이 있을 수 있기 때문에 주의하여야 한다. [math(\mathbf{H})]-field에 대해 한국어로는 '자기 강도', '자계 강도', '자계 세기', '보조장' 등으로, 원어도 'Magnetic field intensity', 'Magnetic field strength', 'Auxiliary magnetic field', 'Magnetic field'[* 우리말로 하면 그냥 자기장이다. B-field와의 혼선을 야기할 수 있는 표현이므로 [math(\mathbf{H})]-field를 이렇게 부르는 경우는 많지 않은 편이다. 하지만 실제로 이 Magnetic field라는 용어의 혼선 때문에 [[맥스웰]]조차 계산 실수를 한 적이 있다.] 등으로 다양한 명칭이 쓰이고 있다. 여기서는 가장 통용되는 'Magnetic field intensity'를 택했으며, 번역명은 한국물리학회가 2016년에 발행한 용어집에 따랐다. 별 말이 없는 이상 이 문서는 정자기학의 자기장 세기를 다룬다. == 상세 == === 자화 밀도 === 어떤 물질에 자화가 일어나면, 물질 내에 있는 [[자기 쌍극자]]는 외부 자기장 방향[* 그와 반대 방향으로 정렬하게 되는 경우도 있고, 그러한 물질을 반자성체라 한다.]으로 정렬하게 된다. 따라서 단위 부피 당 들어있는 [[자기 쌍극자]] [math(\mathbf{m})]을 나타내는 '''자화 밀도(Magnetization)''' [math(\mathbf{M})]을 도입한다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{M} \equiv \frac{ \mathbf{m}}{V} )]}}} 로 쓸 수 있고, 이것을 일반적인 상황에 대해 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{m}=\iiint \mathbf{M}(\mathbf{r'}) \,dV' )]}}} 가 된다. === 자화 전류 === 자화 물질이 자화가 되면 물질 내부엔 자기 쌍극자가 정렬하게 된다고 하였다. 이때, 자기 쌍극자에선 전류가 흐르므로 자화가 되면 물질 내부엔 자화 전류가 흐른다. 이때, 부피와 관련된 자화 전류 밀도를 [math(\mathbf{J}_{m})], 면적과 관련된 자화 전류 밀도를 [math(\mathbf{K}_{m})]이라 한다. === 자화 물질의 자기 퍼텐셜 === ==== 자기 벡터 퍼텐셜 ==== [[자기 쌍극자]] 문서에서 자기 쌍극자의 [[자기 퍼텐셜]]은 아래와 같이 주어짐을 보았다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{m} \times (\mathbf{r-r'})}{\left| \mathbf{r-r'} \right|^{3}} )]}}} 자화 밀도 [math(\mathbf{M})]을 도입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint_{V} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times (\mathbf{r-r'})}{\left| \mathbf{r-r'} \right|^{3}}\,dV ' )]}}} 이때, [[분리 벡터]] [math(\boldsymbol{\xi} \equiv \mathbf{r-r'})]를 도입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint_{V} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times \hat\boldsymbol{\xi}}{{\xi}^{2}} \,dV' )]}}} 가 된다. [math(V)]는 자화 물질에 해당하는 부피 영역이다. 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{\xi} \right) = -\frac{\hat\boldsymbol{\xi}}{ \xi^{2}} \qquad \qquad \displaystyle \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) = \frac{\hat\boldsymbol{\xi}}{ \xi^{2}} )]}}} 를 고려하자. 프라임은 원천 지점([math(\mathbf{r'})])을 기준으로 연산을 취한다는 뜻에서 붙였다. 따라서 위 식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \iiint_{V} \mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) \,dV' )]}}} 벡터 항등식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} ' \times \left( \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \right)=\frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi}+\boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) \times \mathbf{M}(\mathbf{r'}) )]}}} 을 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[- \iiint_{V} \boldsymbol{\nabla} ' \times \left( \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \right) \,dV '+\iiint_{V} \frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \,dV ' \right] )]}}} 아래 식은 Green 항등식을 사용하면, 아래와 같은 꼴로 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iint_{S} \frac{\mathbf{M} \times \hat\mathbf{n}}{\xi} \,da'+\iiint_{V} \frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}}{\xi} \,dV ' \right] )]}}} 이때, 자화 전류 밀도가 존재한다면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iint_{S} \frac{\mathbf{K}_{m}}{\xi} \,da'+\iiint_{V} \frac{ \mathbf{J}_{m}}{\xi} \,dV ' \right] )]}}} 이 만족해야 하므로 아래를 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{J}_{m}=\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M} \qquad\qquad \mathbf{K}_{m}=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}} )]}}} 따라서 위 관계식을 이용하면, 자화 전류 밀도를 찾을 수 있다. ==== 자기 스칼라 퍼텐셜 ==== 윗 문단에서 논의했던 벡터 퍼텐셜 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' )]}}} 에 관측지점([math(\mathbf{r})])에 대한 회전 연산을 취하면, 자기장은 결정된다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \iiint \boldsymbol{\nabla} \times \left[ \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}\right] \,dV' )]}}} 이고, 벡터 항등식을 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \left[ \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]=\mathbf{M(r')} \left[ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]-[\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} )]}}} 이때, 우변의 제1항은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} =4 \pi \delta(\boldsymbol{\xi}) )]}}} 이 되고, 여기서 [math(\delta(\boldsymbol{\xi}))]는 [[디랙 델타 함수]]이다. 또한, 제2항은 좀 더 유용한 꼴로 바꿀 수 있으며, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle [\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}=\boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]-\mathbf{M(r')} \times \left[ \boldsymbol{\nabla} \times \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right] )]}}} 우변의 제2항은 없어지므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle [\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}=\boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right] )]}}} 가 된다. 최종적으로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ -\iiint \boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]\,dV'+4 \pi \iiint \mathbf{M(r')} \delta(\boldsymbol{\xi}) dV ' \right] )]}}} 이때, 그레이디언트 연산은 적분과 독립적이므로 적분 안으로 나올 수 있으므로 위 항들은 아래와 같이 정리되게 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=- \mu_{0} \boldsymbol{\nabla} \left[\iiint \frac{1}{4 \pi} \frac{\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \right]+\mu_{0} \mathbf{M(r)} )]}}} 따라서 자화 물질에 의한 자기 스칼라 퍼텐셜은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iiint \frac{\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \equiv \Phi_{m} )]}}} 이 나오게 된다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\mu_{0}[-\boldsymbol{\nabla} \Phi_{m}+ \mathbf{M(r)} ] )]}}} 로 쓸 수 있다. 후술하겠지만, 이러한 자기 스칼라 퍼텐셜은 자유 전류 밀도가 없는 곳에서만 정의될 수 있고, 자화 물질 자체의 퍼텐셜을 셈했으므로 이러한 조건에 맞게 퍼텐셜을 구했으므로 이 방법은 유효하다. 더 나아가서 퍼텐셜의 형태를 보면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iiint \frac{\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \equiv \Phi_{m} )]}}} 로, [[전기 변위장]] 문서에서 편극성 물질의 스칼라 퍼텐셜을 구했을 때와 동일한 형태라는 것을 알 수 있다. 따라서 이 퍼텐셜 또한 [[전기 변위장]] 문서의 방법에 따라 분해할 수 있고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \left[ \iint \frac{\sigma_{m}}{\xi}\,da'+\iiint \frac{\rho_{m}}{\xi}\,dV' \right] )]}}} 가 된다. 여기서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \rho_{m}=-\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{M} \qquad \qquad \sigma_{m}=\mathbf{M} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}} )]}}} 으로 자화 전하 밀도가 나오게 되는데, 중요한 것은 '''이 항은 수학적 처리를 하면서 얻어진 항'''이라는 점을 명심해야 한다. 멀리 나갈 필요 없이 자기장은 홀극이 존재하지 않는데도 위에선 마치 자기장 문제를 정전기학의 '전하'의 개념을 빌려서 퍼텐셜을 구할 수 있을 것처럼 서술되어 있는 것에서 유추할 수 있다.[* 자기장은 쌍극자 항부터 존재하게 된다. 자세한 것은 [[자기 쌍극자]] 문서에서 다중극 전개 과정을 한 번 볼 것을 권한다.] 하지만 이러한 것은 유용하게 작용하게 되는데, 자기장은 전기장에 비해 직관적 이해가 어렵다. 하지만 정전기학과 유사한 '전하'의 개념을 빌려 마치 극이 있는 마냥 문제를 바라보고 풀면 쉽게 문제를 풀 수 있고, 명백히 스칼라 퍼텐셜 기법은 벡터 퍼텐셜 기법보다 연산 면에서도 더 쉽다. 서술했듯, 자기 홀극은 존재하지 않으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \iint \sigma_{m} \,da '+\iiint \rho_{m} \,dV '=0 )]}}} 임이 성립하여야 하고, 수학적으로도 이게 성립한다는 것은 쉽게 보일 수 있다. 이상을 종합하여, 자화 물질에서 자기장은 아래와 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{B(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iiint \frac{\rho_{m} \, \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV'+\iint \frac{\sigma_{m} \, \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,da' \right]+\mu_{0}\mathbf{M(r)} )]}}} === 물질에서의 [[앙페르 법칙]] === 어떤 물질에 자화가 되었다면 자화 전류가 흐른다. 그러나, 외부 자기장이 가해졌다면, 자유 전류가 흐를 수 있다. 따라서 물질 속에서는 자화 부피 전류 밀도 [math(\mathbf{J}_{m})]과 자유 부피 전류 밀도 [math(\mathbf{J}_{f})] 모두 존재할 수 있으므로 앙페르 법칙은 아래와 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{J}_{f}+\mathbf{J}_{m}) )]}}} 이때, 윗윗 문단에서 [math(\mathbf{J}_{m}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{M})]이었으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{J}_{f}+\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{M}) )]}}} 이것을 다시쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \left( \frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \right)=\mathbf{J}_{f} )]}}} 꼴로 쓸 수 있고, 여기서 나온 항 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \equiv \mathbf{H} )]}}} 을 '''자기장 세기'''라 한다. 개요 문단에서도 언급했지만, 가장 큰 특징은 매질에 상관없는 장이라는 점이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f} )]}}} 로 쓸 수 있고, 양변을 적분하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \iint (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=\iint \mathbf{J}_{f} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a} )]}}} 여기서 우변은 자유 전류 [math(I_{f})]이고, 좌변은 [[스토크스 정리]]를 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int \mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=I_{f} )]}}} 로 쓸 수 있다. === 다른 표현 === 선형적(linear)이고 등방적(isotropic)인[* simple medium이기 위한 필요조건이다.] 매질(medium)이라면, 자화 물질의 자화 밀도는 다음과 같은 꼴로 나타내어질 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{M}=\chi \mathbf{H} )]}}} 따라서, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{H}+\chi \mathbf{H}) )]}}} 로 쓸 수 있다. 계속해서 [math(1+\chi \equiv \kappa_{m})], [math(\mu_{0}\kappa_{m} \equiv \mu)]라 정의하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{B}=\mu\mathbf{H} )]}}} 로 쓸 수 있다. 이때, [math(\kappa_{m})]은 '자기 감수율(Magnetic susceptibility)'이고, [math(\mu)]는 그 매질의 [[투자율]]이다. === 자기장 세기의 발산 === 자기장은 비발산장으로, [math(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0)]이 성립함을 [[자기장]] 문서에서 보았다. 다만, 우리가 다루는 '자기장 세기'는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{H}=\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \left(\frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \right) )]}}} 가 되어, 일반적으로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{H}=-\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{M} \neq 0 )]}}} 가 되므로 주의하여야 한다. == 정자기학의 경계치 문제 == === 장의 경계 조건 === 위의 논의로 거시적인 정자기학의 방정식은 아래와 같이 요약된다고 할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0 \qquad\qquad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f} )]}}} 이번에는 이들 장이 어떤 경계 조건을 가지는 지 살펴보자. [[파일:namu_Magnetic_Potential_NEW_NEW.png|width=250&align=center]] 위 그림과 같이 각각의 자화 밀도가 각각 [math(\mathbf{M}_{1})], [math(\mathbf{M}_{2})]인 매질 1, 매질 2를 고려하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0 )]}}} 에서 위 그림과 같이 밑면의 면적이 [math(A)]이고, 높이가 [math(h)]인 원기둥의 표면 [math(S)]에 대하여, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=0 )]}}} 을 만족하고, [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 취하면, 원기둥의 옆면에 기여하는 자기 선속은 상쇄된다. 매질 I에서 매질 II로 향하고, 경계면에 수직으로 향하는 벡터를 [math(\hat\mathbf{n})]으로 정하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=[(\mathbf{B_{2}}-\mathbf{B_{1}})\boldsymbol{\cdot} \hat \mathbf{n}]\,A=0 )]}}} 이 되므로 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{B_{1}} \boldsymbol{\cdot} \hat\mathbf{n} = \mathbf{B_{2}} \boldsymbol{\cdot} \hat\mathbf{n} )]}}} 따라서 자기장의 수직 성분은 경계면을 가로지를 때 연속이 된다. 또한 [math(\mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{H}+\mathbf{M}))]임을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle (\mathbf{H_{2}} -\mathbf{H_{1}}) \boldsymbol{\cdot} \hat\mathbf{n}=-(\mathbf{M_{2}} -\mathbf{M_{1}}) \boldsymbol{\cdot} \hat\mathbf{n} )]}}} 임을 쉽게 알 수 있다. 이번에는 [math(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f})]임을 이용하자. 맨 위 그림과 같은 사각 경로를 잡고, [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 취하면, 경계면을 가로지르는 부분에 대한 적분 값은 기여하지 않으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint \mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=[(\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})\boldsymbol{\cdot} \hat \mathbf{t}]\,l )]}}} 이 된다. 여기서 벡터 [math(\hat{\mathbf{t}})]는 경계면에 평행한 벡터이다. 이때, 이 값은 자유 전류가 되고, [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 취하므로 해당 폐곡선에 통과하는 자유 전류는 자유 표면 전류 밀도에 의한 표면 전류가 된다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle h \rightarrow 0 \qquad I_{f} \rightarrow K_{f}l )]}}} 따라서 결과를 종합하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})\boldsymbol{\cdot} \hat \mathbf{t}=K_{f} )]}}} 이 되고, 만약 자유 표면 전류 밀도가 존재하지 않는다면, 자기장 세기의 경계면과 접하는 성분은 연속이 됨을 쉽게 알 수 있다. 이것은 아래와 같이 좀 더 유용한 꼴로 바꿀 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle [\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}}]_{t}=\mathbf{K}_{f} \times \hat\mathbf{n} \qquad\qquad \hat{\mathbf{n}} \times (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})=\mathbf{K}_{f} )]}}} 따라서 장의 경계 조건은 아래와 같이 요약할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{B_{1}} \boldsymbol{\cdot} \hat\mathbf{n} = \mathbf{B_{2}} \boldsymbol{\cdot} \hat\mathbf{n} \qquad \qquad \hat{\mathbf{n}} \times (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})=\mathbf{K}_{f} )]}}} === 퍼텐셜의 경계 조건 === 이번에는 퍼텐셜의 경계 조건을 알아보도록 하자. [[파일:나무_자기세기_경계조건_장3.png|width=260&align=center]] 위 그림과 같이 폐곡선을 잡도록 하자. 자기 선속(Magnetic flux)은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle F=\oint \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} )]}}} 으로 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하여 표현할 수 있다. 따라서 위 폐곡선 중 [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 취하면, 폐곡선을 둘러싸는 영역의 넓이는 0에 수렴하게 되고, 장 자체는 무한할 수 없으므로 [math(F \rightarrow 0)]이 된다. 또한, 경계면을 가로지르는 부분에 대한 적분 값은 없으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=[(\mathbf{A_{2}}-\mathbf{A_{1}}) \boldsymbol{\cdot} \hat\mathbf{t}]\,l=0 )]}}} 이 만족하게 된다. 따라서 위의 결과로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{A_{1}} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}=\mathbf{A_{2}} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}} )]}}} 로, 자기 벡터 퍼텐셜의 경계면의 접선 성분은 연속이 됨을 알 수 있다. 또한, 수직 성분 또한 경계면을 가로지를 때, 연속이 되는데 이것은 쿨롱 게이지 [math(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}=0)]을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다. [[자기 퍼텐셜]] 문서를 참고하라. 이상의 조건을 종합하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{A_{1}}=\mathbf{A_{2}} )]}}} 를 만족해야 한다는 것이다. 자기 스칼라 퍼텐셜은 위에서 다뤘듯이, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{H} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi_{m} )]}}} 이 성립하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \Phi_{m}=-\int \mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r} )]}}} 이 된다. 따라서 위 그림에서 [math(\textrm{a} \rightarrow \textrm{b})]로 갈 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle -\int_{\textrm{a}}^{\textrm{b}} \mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r} = \mathit{\Delta}\Phi_{m} )]}}} 이고, [math(r \rightarrow 0)]의 극한을 취했을 때, [math(\mathbf{H})]는 무한할 수는 없으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathit{\Delta}\Phi_{m} =\Phi_{2}-\Phi_{1}=0 )]}}} 이상에서 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \Phi_{1}=\Phi_{2} )]}}} 다만, 주의해야할 것은 자기 스칼라 퍼텐셜은 자유 전류가 없을 때만 가능하며, 경계에 자유 전류가 존재할 경우엔 자기 스칼라 퍼텐셜이 정의되지 않는 부분이 생기므로 꼭 연속이라고 말할 수 없다. === 경계치 방정식 === ==== 자기 벡터 퍼텐셜 ==== 다음을 고려하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu \mathbf{J}_{f} )]}}} 이때, 벡터 퍼텐셜과 자기장의 관계에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) )]}}} 이고, 벡터 항등식을 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A})-\nabla^{2}\mathbf{A} )]}}} 으로 놓을 수 있고, 정자기학에서는 쿨롱 게이지(Coulomb Gauge) 조건 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}=0 )]}}} 을 도입할 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{A}=-\mu \mathbf{J}_{f} )]}}} 가 나오게 된다. 이때, 직교 좌표계를 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \nabla^{2}A_{i}=-\mu \,[\mathbf{J}_{f}]_{i}\,\,\,(i=x,\,y,\,z) )]}}} 의 각 성분 마다의 푸아송 방정식을 얻는다. ==== 자기 스칼라 퍼텐셜 ==== 자기장 세기에 대하여, {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f} )]}}} 로 쓸 수 있음을 위해서 보았다. 그런데, [math(\mathbf{J}_{f}=0)]인 구역에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=0 )]}}} 으로 [math(\mathbf{H})]는 비회전장이 된다. 따라서 이때 자기 스칼라 퍼텐셜 도입이 가능해진다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \mathbf{H}=- \boldsymbol{\nabla} \Phi_{m} )]}}} 형태로 쓸 수 있고[* 이것은 위에서 '자화 물질의 자기 스칼라 퍼텐셜'을 구하면서 얻었던 것과 같은 결과를 얻었음에 주목하라.], {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{H}=-\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{M} =\rho_{m} )]}}} 임을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=- \rho_{m} )]}}} 로 푸아송 방정식이 얻어지고, 이것은 정전기학에서 다뤘던 것과 유사하다. 또한, [math(\rho_{m}=0)]인 곳에서는 [[라플라스 방정식]] {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=0 )]}}} 이 된다. 학부 수준에서는 선형 물질을 다루기 때문에 [math(\rho_{m}=0)]인 경우가 많으므로 이 방법으로 문제를 해결하는 것이 더 쉽다. 다만, 선형 물질이 아니더라도 [math(\rho_{m}=0)]을 만족하는 경우가 몇몇 존재하기 때문에 반드시 이것을 구해보고 이 방법을 적용하는 게 현명하다. === [[자기장 세기/정자기학의 경계치 문제 예제|관련 예제]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=자기장 세기/정자기학의 경계치 문제 예제)] == [[자기장]] 차폐 == [[전기장]] 문서에서 정전기적 평형 상태에서 도체 내부의 [[전기장]]이 0이 됨을 논의했다. 따라서 전기장 차폐의 경우 도체로만 둘러싸이게 하면, 쉽게 차폐할 수 있다. 다만, 자기장의 경우엔 현실적으로 완벽히 차폐할 수 없다. 그러나, 상대적으로 높은 [[투자율]]을 가진 물질 예로 들면, 금속에 둘러싸이게 하면, 어느정도 차폐가 되는 효과를 보인다. 아래의 예를 참고하라. === 예 === [[파일:나무_전자기차폐_구.png|width=280&align=center]] 위 그림과 같이 내부와 외부의 반지름이 [math(R_{1})], [math(R_{2})]인 구각(Spherical shell)을 고려하자. 구각의 투자율은 [math(\mu_{1})]이고, 그 외 영역은 [math(\mu_{2})]이다. 또한 외부에선 자기장 세기 [math(\mathbf{H_{0}}=H_{0}\hat{\mathbf{z}})]를 걸어주고 있다. 외부에서 전류가 없는 상황이므로 자기 스칼라 퍼텐셜을 사용할 수 있고, 물질이 모두 선형적이라고 가정하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=0 )]}}} 을 만족한다. 외부 자기장 세기에 의한 자기 퍼텐셜 [math(\Phi_{0})]은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle -\boldsymbol{\nabla}\Phi_{0}\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}=\mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{r} \, \rightarrow \, \Phi_{0}=-\int \mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{r} )]}}} 로 구할 수 있고, [math(d \mathbf{r}=d \mathbf{z})]로 택하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \Phi_{m}=-H_{0}r\cos{\theta} )]}}} 로 구해진다.[* 상수 항은 퍼텐셜 특성 상 무시할 수 있으므로 무시했다.] 또한, 해당 상황은 구면좌표계를 사용할 시 [math(\phi)]에 대해서는 대칭성이 존재하므로 자기 퍼텐셜은 아래와 같이 [[르장드르 다항식|르장드르 다항식 [math(P_n)]]]이 포함된 꼴로 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \Phi_{m}=\sum_{n=1}^{\infty}\, [c_{n}r^{n}+d_{n}r^{-(n+1)}]\,P_{n}(\cos{\theta}) )]}}} 그런데 외부 자기장 세기에 의한 자기 퍼텐셜 항이 cosine 항에 비례하므로 편미분 방정식 해는 대칭성에 따라 cosine 항만 나오게 되므로 각 영역에 대한 퍼텐셜은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \Phi_{1}&=A r \cos{\theta}+\frac{B}{r^{2}}\cos{\theta} && (rr) \end{aligned} )]}}} 이때, [math(B)]가 존재하면, [math(r \rightarrow 0)]일 때, [math(\Phi_{1} \rightarrow \infty)]이므로 [math(B=0)]을 만족해야 한다. 또한, 자기장 세기 문서에서 논의했던 '정자기학의 경계조건'을 참고하면 아래와 같은 경계 조건을 만족해야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \Phi_{1}(r=R_{1})&=\Phi_{2}(r=R_{1}) \\ \Phi_{2}(r=R_{2})&=\Phi_{3}(r=R_{2}) \\ \mu_{2} \left. \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial r} \right|_{r=R_{1}} &= \mu_{1} \left. \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial r} \right|_{r=R_{1}} \\ \mu_{1} \left. \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial r} \right|_{r=R_{2}} &= \mu_{2} \left. \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial r} \right|_{r=R_{2}} \end{aligned} )]}}} 위 중 세, 네 번째는 [[자기장]]의 수직 성분이 경계면을 가로지를 때, 연속임을 이용한 것이다. 자세한 것은 [[자기장 세기#s-8]] 문서를 참고하라. 위 경계 조건을 만족하는 연립 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle A=C+\frac{D}{R_{1}^{3}} \\ \displaystyle C+\frac{D}{R_{2}^{3}}=-H_{0}+\frac{E}{R_{2}^{3}} \\ \displaystyle \mu_{2}A=\mu_{1}C-\frac{ \mu_{1} D}{R_{1}^{3}} \\ \displaystyle \mu_{1}C-\frac{ \mu_{1} D}{R_{2}^{3}}=-\mu_{2}H_{0}-\frac{\mu_{2}E}{R_{2}^{3}} \end{array}\right. )]}}} 이 된다.[* 여담으로 이렇게 복잡한 연립 방정식은 [[행렬]]로 풀이하는 게 나으며, 애초에 21세기를 살고 있는 우리에겐 손보다 더 좋은 [[컴퓨터|기구]]가 있다는 것 또한 참고하라.] 이제부터는 관심있는 영역인 구각 내부([math(r