[include(틀:다른 뜻1, other1=프로그래밍 함수, rd1=고차 함수, anchor1=일차 함수 (First-order function))]
[include(틀:초등함수의 목록)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[一]][[次]][[函]][[數]] / linear function[* 단, 영단어 linear function은 상수함수도 포함한다.]}}}

일차함수는 [[다항함수]]의 일종으로, 다음과 같이 정의된다. 중2 1학기 맨 마지막 단원에 나오며, 연립방정식과 연계해서 배운다. 나중에 고1로 올라가면 직선의 방정식과 항등식의 성질을 섞어서 복잡한 문제로 나온다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(f(x) = ax + b \qquad)]([math(a \neq 0)]이고, [math(a)], [math(b)]는 상수)}}}
그림은 일차함수의 그래프 중 일부이다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[[파일:namu_1차함수_그래프_수정본.svg|width=160]][math(\qquad )][[파일:나무_일차함수_복소.png|width=160]]
}}}
좌측은 [math(f(x):{\mathbb R} \to {\mathbb R})], 우측은 [math(f(z):{\mathbb C} \to {\mathbb C})]의 그래프이다.[* 우측의 경우 [math(f(z)=z)]라는 식에서 보듯 [[복소평면#s-3|다색 복소평면]]의 기본형이다.]

일반적으로 [[다변수함수]]로 확장하면, 다음과 같이 된다. 이를 '''선형형식'''(linear form)[* 줄여서 선형(linear)이라고 하기도 한다. 선형형식으로 표현할 수 없는 꼴이면 비선형(nonlinear)이라고 한다.]이라고 한다. 이를 일반화한 개념이 [[텐서]]이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle f(x_1,\, x_2,\, \cdots,\, x_n) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}x_{k} +b)]}}}

위 식은 [[벡터]]를 이용해서 아래와 같이 바꿀 수 있다. [math(\ast)]는 [[수반 연산자]]이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle f({\bold x}) = {\bold a}^{\ast}{\bold x} +b)]}}}
=== 상세 ===
일차함수 [math(f(x)=ax+b)]는 다음을 만족시킨다.
 * [math(\deg f(x))][* f(x)의 차수] [math(= 1)]이다.
 * 기울기는 [math(a)]이다.
 * [[일대일대응]]이며, [[좌표평면]]상의 그래프는 직선으로 기울기가 일정하다. 곧,
  * [math(a>0)]이면, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값이 증가한다.
  * [math(a<0)]이면, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값이 감소한다.
  * 가능한 모든 그래프끼리 [[닮음]]이며, 따라서 [[합동(기하학)|합동]]이다.
 * [math(x)]절편은 [math(-\dfrac{b}{a})]이다.
 * [math(y)]절편은 [math(b)]이다.
 * [[도함수]] [math(f'(x)=a)]로 상수함수이다.
  * 도함수가 상수함수이므로 [[극값]]을 갖지 않는다.[* 그야말로 모든 경우에 극값을 갖지 않는 다항함수는 일차함수밖에 없다.]
 * [[역도함수]]는 [math(\displaystyle \int f(x)\,{\rm d} x=\dfrac{ax^2}{2}+bx+C)]로 [[이차함수]]이다.(단, [math(C)]는 적분 상수)
 * [[역함수]]는 [math(y=(x-b)/a)]로 일차함수이다.[* 역함수와 차수가 일치하는 다항함수는 일차함수밖에 없다.]

=== 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수 ===
[[파일:일차함수_접선_개수.svg|width=200&align=center]]
위 그림과 같이 그래프 위의 점에서는 그래프에 접선을 하나[* 정확히는 [[초한기수|[math(2^{\aleph_0})]개]]. 겹쳐져서 1개로 보일 뿐 '''모든 실수'''에 대한 접선이 대응되기 때문이다.]만 그을 수 있으며 이는 그 점에서의 접선이다. 그래프 위에 있지 않은 점에서는 접선을 그을 수 없다. 그래프 위의 점에서 그은 접선은 일차함수의 그래프와 일치한다.
== [[해석기하학]]적 의미 ==
=== [[직교좌표계]]에서 ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=직선)]
그래프가 직선이기 때문에 '선형함수'라고도 부른다.

=== [[극좌표계]]에서[anchor(아르키메데스 나선)] ===
[[극좌표계]]상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(r(\theta) = a\theta + b \qquad)]([math(a \neq 0)]이고, [math(a)], [math(b)]는 상수)}}}
의 그래프는 나선이 되는데 이를 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_spiral|아르키메데스 나선]]이라고 한다.

아래는 가장 간단한 경우인 [math(b=0)]인 경우에 대하여 그래프의 개형을 그려본 것이다.

[[파일:나무_아르키메데스_나선.png|width=280&align=center]]

== [[해석학(수학)|해석학]]적 의미 ==
위 정의식에서 [math(a=1)], [math(b=0)]일 경우[* 이렇게 단항식으로 정의된 [[다항함수]]는 따로 [[멱함수]](冪函數)라고 칭한다.]를 생각해보자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(f(x) = x)]}}}
이는 [[항등함수]]의 일종이며, 다음과 같은 성질을 가진다:
 * 원점에 대칭인 [[대칭함수|홀함수]]이다. 즉 [math(x =-(-x))]가 성립한다.
 * [[역함수]]의 기준선이다. 즉 역함수 관계의 두 함수는 [math(f(x) = x)]에 대칭이다.
  * 역함수는 '''자기 자신'''이다.
 * [[비례·반비례|정비례 관계]]이다. 즉 [math(x)]가 증가하면 함숫값도 증가하는 증가함수이다.
 * [[도함수]]는 상수함수로, [math(f'(x) =1)]이다.
 * [[적분|역도함수]]는 [[이차함수]]로, [math(\displaystyle \int x\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^2}{2} +C)]이다.(단, [math(C)]는 적분 상수.)

=== [[등차수열]] ===
[[등차수열]]의 [[일반항]]은 일차식으로 나타나기 때문에, 공차를 일차항의 계수로 하고 정의역이 자연수인 일차함수로 볼 수 있다. [[등차수열#s-4]] 참고.

=== 일차함수에 관한 추론 ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=다항함수/추론 및 공식)]
=== 길이 및 거리([[유클리드 노름]]) ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=다항함수/추론 및 공식)]
=== 미분가능성 ===
수학에서 미분(derivative, 微分) 또는 도함수(導函數)는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수다. 어떤 함수의 미분 계수 또는 순간 변화율을 구하는 것을 의미하며 미분 계수는 독립 변수 [math(x)]의 증분에 관한 함숫값 [math(f(x))]의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값, 즉 함수에서 변수 x값의 변화량에 관한 함숫값 [math(f(x))]의 변화량 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값 [math({\rm d}y/{\rm d}x)]로 나타낸다. 

동사로서 미분(differentiation)은 이러한 극한이나 도함수를 구하는 일, 즉 미분법을 뜻하기도 한다. 도함수에서 미분의 역연산을 통해 원시함수(antiderivative)를 구하는 것 역시 미분법(differential calculus)의 주요 주제다. 

미분은 비선형 함수를 선형함수로 근사적으로 나타내려는 시도다. 비선형 함수를 미분하여 한 점 주변에서 1차 함수로 생각한다. 이를 반복하면 함수의 다항함수 근사를 얻으며 무한 번 하면 테일러 급수를 얻는다. 이는 14세기 인도 수학자의 저작에도 등장한다. 기하학적으로는, 비선형적인 함수로 표현되는 곡선의 한 점에서 그 곡선과 비슷한 직선인 접선을 구하는 것으로도 볼 수 있다. 일반적으로 미분기하학에서는 선형 공간인 접공간을 생각하여 미분다양체를 선형적으로 바라보며, 미분형식, 미분다양체에서 적분등은 모두 접공간이 필수적으로 고려되어야 한다.
== [[선형대수학]]적 의미 ==
[include(틀:선형대수학)]

'''선형'''대수학의 알파이자 오메가로, 이것을 하나의 수([[벡터]])로 가정하고 이를 집합([[벡터 공간]])으로 삼아 이론을 전개한다.
== [[정수론]]적 의미 ==
[[디리클레 정리]]가 일차함수 위의 [[소수(수론)|소수]]를 다룬다.

== [[고전역학]]적 의미 ==
[[등속직선운동]]이 일차함수의 형태를 띤다.

[[분류:해석학(수학)]][[분류:초등함수]][[분류:선형대수학]]