[include(틀:다른 뜻1, other1=후한의 초대 황제였던 광무제 유수, rd1=광무제, other2=후한 말의 인물, rd2=유수(삼국지))][include(틀:해석학·미적분학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 residue / [[留]][[數]]}}}

[[복소해석학]]에서 [[선적분]]을 했을 때 남는 부분이다.[* 쉽게 말하면 [[초등학교 수학]]에서 [[나눗셈]]을 하면 나오는 [[나머지]]와 비슷하다.]

== 설명 ==
=== 고립 특이점 ===
[math(z=z_0)]가 [[함수]] [math(w=f(z))]의 고립[[특이점#s-2.1]]이면 [math(0 < |z-z_0| < R)]인 모든 [math(z)]에 대하여 해석적이면 [[로랑 급수|로랑의 정리]]에 의하여
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n
\end{aligned} )]}}}
와 같이 나타낼 수 있고, 곡선 [math(C)]가 [math(z_0)]의 [[근방#s-2]]에 포함되면서 양의 방향으로 회전하는 단순닫힌곡선이면 계수 [math(a_n)]은
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
a_n = \frac1{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \,{\rm d}z
\end{aligned} )]}}}
이다.

특히 [math(a_n)]에서 [math(n=-1)]일 때 계수
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
b_1 = a_{-1} = \frac1{2\pi i} \int_C f(z) \,{\rm d}z
\end{aligned} )]}}}
를 고립특이점 [math(z=z_0)]에서 [math(f(z))]의 '''유수'''라 하고 이것을 [math(\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}} \,f(z))]와 같이 표시한다. 만약 [math(z=z_0)]가 [math(f(z))]의 없앨 수 있는 특이점이면 [math(\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}} \,f(z) = 0)]이다. 그런데 [math(z_0)]이 진성특이점이라면, 유수는 경우마다 각각 계산을 따로 해야 한다.

극점일 경우도 조금 계산이 귀찮아지는데, 먼저 해당 극점의 계수 [math(m)]을 알아내야 하며, 그 때는 [[복소해석학]]의 2.2.1번 문단의 내용대로 계산해야 한다.

=== 무한대 ===
함수 [math(f)]가 어떤 양수 [math(R_1)]에 대하여 [math(R_1 < |z| < \infty)]의 영역의 '''모든 점에서 해석적'''이라고 하자. 그러면 이 함수 [math(f(z))]는 [math(z_0=\infty)]에서 고립특이점을 갖는다고 정의한다.

그러면 어떤 양수 [math(R_1)]보다 큰 [math(R_0)]에 대하여, [math(C_0 = R_0 e^{-it})]라는 원점을 중심으로 한 반지름 [math(R_0)]의 '''시계방향''' 궤도. 즉 '''무한원점'''[* 절대값이 [math(\infty)]인 모든 점을 콤팩트화한 가상의 점.]에 대한 반시계방향의 궤도에 대하여[* 원점을 중심으로 하면 시계방향은 음의 방향으로 취급하지만, '''내부를''' 회전방향의 좌측으로 두는 관습에 따르면 무한원점을 중심으로 하는 반지름 [math(\infty)]의 '''원'''의 내부로 만드는 양의 방향은 시계방향이 된다.], 유수의 정의에 따라 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = \frac1{2\pi i} \oint_{C_0} f(z) \,{\rm d}z
\end{aligned} )]}}}
단, 일반적으로 원점을 중심으로 하는 원의 궤도를 반시계방향을 양의 방향으로 잡는 관습에 따르려면, [math(C' = R_0 e^{it})]라는 방향만 반대인 궤도를 잡아서 다음과 같이 바꿀 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z
\end{aligned} )]}}}
이 양수 [math(R_1)]은 '''그보다 큰 원을 그렸을 때''' 그 외부가 전부 해석적이므로 반대로 말하면 '''원의 내부에 해석적이지 않은 특이점이 전부 존재한다'''. 즉, 원 내부의 특이점을 [math(z_k)]라고 두면, [math(R_1 > \max{|z_k|})]가 된다.
따라서, 위의 식을 다시 말하면 다음과 같게 된다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \\
&= -\sum_{k=1}^n \underset{z=z_n}{\operatorname{Res}} \,f(z)
\end{aligned} )]}}}
여기서 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n \underset{z=z_n}{\operatorname{Res}} \,f(z))]는 해당 범위의 [math(f)]의 모든 특이점의 유수의 합이다.

여기까지의 결론에서 아래의 유수 정리 항목에 있는 [math(\displaystyle \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) +\sum_{i=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) = 0)]이 유도된다.
또한, 이 식을 대수적으로 조금 만지작거리면 다음 식이 유도된다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\underset{w=0}{\operatorname{Res}} \,\frac1{w^2} f \biggl( \frac1w \biggr)
\end{aligned} )]}}}

 {{{#!folding [유도과정 펼치기·접기]
[math(w=\dfrac1z)]라는 새로운 매개변수를 두자.
먼저 [math({\rm d}w)]를 구하자. 위의 매개식을 변환하여 [math(z=\dfrac1w)]로 바꾸고, 양변을 [math(w)]에 대하여 미분하면, [math(\dfrac{{\rm d}z}{{\rm d}w} = -\dfrac1{w^2})]
따라서 [math({\rm d}z = -\dfrac1{w^2} \,{\rm d}w)]가 된다.
이제 여기서 구한 [math({\rm d}w)]를
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z
\end{aligned} )]}}}
에 대입하자. 이때, 궤도 [math(C')]는 사상 [math(w=\dfrac1w)]에 의해서 새로운 궤도 [math(\displaystyle \overline C := \frac1{R_0} e^{-it})]로 치환된다. 이 궤도는 '''자명하게 회전방향이 반대다'''.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \\
&= \frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}} f \biggl( \frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w
\end{aligned} )]}}}
[math(\overline C)]는 시계방향의 궤도이므로 다시 반시계방향의 궤도로 바꾸기 위해 [math(\overline C' := \dfrac1{R_0} e^{it})]로 치환하자. 적분궤도는 같지만 적분방향이 바뀌었으므로 부호는 [math(-)]가 붙는다.

따라서
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}'} f \biggl( \frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w
\end{aligned} )]}}}
가 되고, 이를 유수의 일반적인 표기법으로 정리하면
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}'} f \biggl( \frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w \\
&= -\underset{w=0}{\operatorname{Res}} \,\frac1{w^2} f \biggl( \frac1w \biggr)
\end{aligned} )]}}}
가 된다.
}}}

== 유수 정리 ==
>함수 [math(f(z))]가 단일 닫힌곡선 [math(C)]의 내부에 있는 유한개의 고립특이점 [math(z_1, z_2, \cdots\!, z_n)]을 제외하고 [math(C)]의 내부와 위에서 해석적이라 하자. 그러면 [math(z_k)] (단, [math(k = 1, 2, \cdots\!, n)])에서 유수가 [math(\underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z))]이면 다음이 성립한다.
>{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_C f(z) \,{\rm d}z = 2\pi i \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z)
\end{aligned} )]}}}

증명
||각 특이점 [math(z_1, z_2, \cdots\!, z_n)]을 중심으로 하고, [math(C)]의 내부에 서로 겹치지 않는 원을 각각 [math(C_1, C_2, \cdots\!, C_n)]을 나타내고, 각 원의 방향을 [math(C)]와 같은 방향으로 하면 [[오귀스탱루이 코시|코시]]의 [[적분]]공식에 의하여
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_C f(z) \,{\rm d}z = \int_{C_1} f(z) \,{\rm d}z +\int_{C_2} f(z) \,{\rm d}z +\cdots +\int_{C_n} f(z) \,{\rm d}z
\end{aligned} )]}}}
이다.
여기서 [math(z=z_k)] (단, [math(k=1, 2, \cdots\!, n)])에 대한 유수의 정의를 적용하면
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) = \frac1{2\pi i} \int_{C_k} f(z) \,{\rm d}z
\end{aligned} )]}}}
이므로 코시 적분공식에 의하여 구해진 식을 통하여 다음의 결과가 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_C f(z) \,{\rm d}z = 2\pi i \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z)
\end{aligned} )]}}}
||

무한대에서는
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) + \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = 0
\end{aligned} )]}}}
으로 간략하게 표현할 수 있다.

[[분류:해석학(수학)]]