[[분류:해석학(수학)]]
[include(틀:해석학·미적분학)]
[목차]

== 개요 ==
{{{+1 Wallis product}}}

월리스 곱은 영국의 성직자이자 수학자인 존 월리스(John Wallis)가 1656년에 정립한 식으로, 다음과 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\prod_{n=1}^\infty \frac{4n^2}{4n^2-1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{2\times2}{1\times3} \times \frac{4\times4}{3\times5} \times \cdots \times \frac{2n\times2n}{(2n-1)\times(2n+1)} \\
&= \frac\pi2
\end{aligned} )]}}}||

== 증명 ==
[[삼각함수#해석학: 무한곱으로 사인·코사인 정의하기|사인 함수의 무한곱 표현]][* [[바이어슈트라스 분해 정리]]로부터 유도된다.]으로부터 시작한다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle
\sin(\pi z) = \pi z \prod_{n=1}^\infty \biggl( 1 -\frac{z^2}{n^2} \biggr)
)]}}}||
양 변을 [math(\pi z)]로 나누자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle
\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty \biggl( 1 -\frac{z^2}{n^2} \biggr)
)]}}}||
여기에 [math(z=\dfrac12)]을 대입하자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} = \frac2\pi &= \prod_{n=1}^\infty \biggl( 1 -\frac1{4n^2} \biggr) \\
&= \prod_{n=1}^\infty \biggl( \frac{4n^2-1}{4n^2} \biggr)
\end{aligned} )]}}}||
양 변에 역수를 취하면 증명이 완료된다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle
\frac\pi2 = \prod_{n=1}^\infty \biggl( \frac{4n^2}{4n^2-1} \biggr)
)]}}}||