[include(틀:평면기하학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[圓]][[周]][[角]] / inscribed angle}}}

[[파일:나무_원주각_개요.png|width=160&align=center]]

그림과 같이 [math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]에 대해 [math(\angle\alpha)]를 [math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]에 대한 '''원주각'''이라 하며, 이때, [math(\angle\beta)]를 [math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]에 대한 '''중심각'''이라 한다. 원주각과 중심각의 관계는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle\alpha = \dfrac{\angle\beta}2)]}}}

참고로 이 문서의 각은 [[호도법]]으로 정의된 것을 사용한다. 해당 각에 [math(180\degree/\pi)]을 곱해주면, [[육십분법]]으로 정의된 각을 알 수 있다. 또한 닮음 기호는 국제적으로 통용되는 [math(\sim)]을 썼다.

== 성질 ==
=== 성질 1 ===
원주각은 호가 같다면, 점 [math(\rm P)]에 관계 없이 일정하다. 즉,

[[파일:나무_원주각_1.png|width=160&align=center]]

위 그림에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3)]}}}
이다. 

이것은 다음과 같이 세 경우로 나누어 증명 가능하다. 

'''[1]''' 원의 중심이 원주각 내부에 있을 때

[[파일:원주각 증명_1.png|width=160&align=center]]

[math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]에 대한 원주각 [math(\rm\angle APB)]를 고려하고, 보조선으로 지름 [math(\rm\overline{PQ})]를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 [math(\overline{\rm OP} = \overline{\rm OA} = \overline{\rm OB})]가 성립하므로 [math(\rm\triangle PAO)], [math(\rm\triangle POB)]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm APO} = \angle{\rm PAO})], [math(\angle{\rm OPB} = \angle{\rm OBP})]}}}
가 성립한다. 그런데, [math(\rm\triangle PAO)]의 [math(\rm\angle AOP)]에 대한 외각은 [math(\rm\angle AOQ)]이고,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm AOQ} = \angle{\rm APO} + \angle{\rm PAO} = 2\angle{\rm APO})]}}}
이다. 마찬가지의 논법으로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm QOB} = \angle{\rm OPB} + \angle{\rm OBP} = 2\angle{\rm OPB})]}}}
임을 증명할 수 있다. 위를 종합하면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm APB} = \dfrac12\angle{\rm AOB})]}}}
임을 얻는다. 

'''[2]''' 원의 중심이 원주각 직선 위에 있을 때

[[파일:원주각 증명_2.png|width=160&align=center]]

[math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]에 대한 원주각 [math(\rm\angle APB)]를 고려하자. 원의 반지름으로써 [math(\overline{\rm OP} = \overline{\rm OA} = \overline{\rm OB})]가 성립하므로 [math(\rm\triangle OAB)], [math(\rm\triangle POB)]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 [math(\rm\triangle POB)]에 대하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm OPB} = \angle{\rm OBP})]}}}
이 성립한다. 또한, [math(\rm\angle POB)]의 외각은 [math(\rm\angle AOB)]이고,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm AOB} = \angle{\rm OPB} + \angle{\rm OBP} = 2\angle{\rm OPB})]}}}
이 성립하므로 결국
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm APB} = \dfrac12\angle{\rm AOB})]}}}
임을 얻는다. 

'''[3]''' 원의 중심이 원주각 외부에 있을 때

[[파일:원주각 증명_3.png|width=160&align=center]]

[math(\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{\rm AB})]에 대한 원주각 [math(\rm\angle APB)]를 고려하고, 보조선으로 반지름 [math(\rm\overline{OP})]를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 [math(\overline{\rm OP} = \overline{\rm OA} = \overline{\rm OB})]가 성립하므로 [math(\rm\triangle PAO)], [math(\rm\triangle POB)]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 [math(\rm\triangle OAP)]와 [math(\rm\triangle OBP)]는 이등변삼각형이다. 따라서 다음이 성립한다:
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm OAP} = \angle{\rm OPA})], [math(\angle{\rm OPB} = \angle{\rm OBP})]}}}
따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} \angle{\rm OBP} &= \angle{\rm OPA} + \angle{\rm APB} \\ &= \angle{\rm OAP} + \angle{\rm APB} \end{aligned})]}}}
이고, [math(\rm\triangle QPB)]의 [math(\rm\angle PQB)]에 대한 외각은 [math(\rm\angle AQB)]이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm AQB} = \angle{\rm OAP} + 2\angle{\rm APB})]}}}
또, [math(\rm\triangle OAQ)]의 [math(\rm\angle OQA)]에 대한 외각은 [math(\rm\angle AQB)]임에 따라
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm AQB} = \angle{\rm OAP} + \angle{\rm AOB})]}}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm OAP} + \angle{\rm AOB} = \angle{\rm OAP} + 2\angle{\rm APB})]}}}
의 결과를 얻으므로 정리하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\angle{\rm APB} = \dfrac12\angle{\rm AOB})]}}}
임을 얻는다. 

따라서 우리는 '''[1]'''~'''[3]'''의 과정을 통해 원주각의 크기는 호의 길이만 같다면, 크기는 원주각의 위치에 무관함을 증명했다.

사실 [math(\alpha)]가 [math(\pi/2)]보다 큰 지 작은지 알면 [math(\sin\alpha = \overline{\rm AB}/(2R))]임을 이용하면 한 번에 나온다.

=== 성질 2 ===
위의 개요 문단에서도 다뤘지만, 원주각은 중심각의 크기의 절반의 크기를 가진다. 이것의 증명은 원주각이 예각, 직각, 둔각일 때를 나누어 증명한다.

'''[1] 원주각이 예각일 때'''

[[파일:나무_원주각_증명1_수정.png|width=160&align=center]]

보조선으로 [math(\rm\overline{PQ})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\overline{\rm AO} = \overline{\rm PO} = \overline{\rm BO})]}}}
이에 두 삼각형 [math(\rm\triangle PAO)]와 [math(\rm\triangle PBO)]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AOB} = \angle{\rm AOQ} + \angle{\rm QOB})]}}}
이고, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AOQ} = 2\angle{\rm APO}, \qquad \qquad \angle{\rm QOB} = 2\angle{\rm OPB})]}}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AOB} = 2(\angle{\rm APO} + \angle{\rm OPB}) = 2\angle{\rm APB})]}}}
임을 알 수 있다.

'''[2] 원주각이 직각일 때'''

[[파일:나무_원주각_증명2.png|width=160&align=center]]

보조선으로 [math(\rm\overline{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\overline{\rm AO} = \overline{\rm PO} = \overline{\rm BO})]}}}
이에 두 삼각형 [math(\rm\triangle PAO)]와 [math(\rm\triangle PBO)]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AOB} = \angle{\rm AOP} + \angle{\rm POB})]}}}
그런데, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AOP} = 2\angle{\rm OPB}, \qquad \qquad \angle{\rm POB} = 2\angle{\rm APO})]}}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AOB} = 2(\angle{\rm APO} + \angle{\rm OPB}) = 2\angle{\rm APB})]}}}
가 됨을 알 수 있다.

'''[3] 원주각이 둔각일 때'''

[[파일:나무_원주각 증명 3.png|width=160&align=center]]

보조선으로 [math(\rm\overline{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\overline{\rm AO} = \overline{\rm PO} = \overline{\rm BO})]}}}
이에 두 삼각형 [math(\rm\triangle PAO)]와 [math(\rm\triangle PBO)]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AOB} = 2\pi - (\angle{\rm AOP} + \angle{\rm POB}))]}}}
삼각형의 내각의 합은 [math(\pi)]임을 이용하면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AOP} = \pi - 2\angle{\rm APO}, \qquad \qquad \angle{\rm POB} = \pi - 2\angle{\rm OPB})]}}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AOB} = 2(\angle{\rm APO} + \angle{\rm OPB}) = 2\angle{\rm APB})]}}}
가 됨을 알 수 있다.

=== 기타 성질 ===
 * 지름에 대한 원주각의 크기는 직각이 된다. 이것은 성질 2를 이용하면, 지름의 경우 직선이고, 원의 중심을 통과하기 때문에 중심각은 [math(\pi)]가 되므로, 원주각은 그 반인 직각이 되는 것이다. 아래의 그림을 참고하라:
 [br][[파일:나무_원주각_성질3.png|width=160&align=center]]
 * 한 원에서 같은 원주각을 가지는 두 현은 길이가 같다.
 * 원주각 및 중심각은 대응하는 호의 길이에 비례한다.
  * [[파일:나무_원주각_개요.png|width=160]][br]
  상단의 그림을 [[해석기하학]]적으로 접근하면, [math(\rm\overline{AB})]를 그을 때 다음과 같은 관계를 도출할 수 있다:
  {{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\begin{aligned} \angle\alpha &= \dfrac12 {\rm acrd}\, \overline{\rm AB} \\&= \arcsin{\biggl( \dfrac{\overline{\rm AB}}2 \biggr)} \\& = -i\,{\rm Log} \biggl( i \dfrac{\overline{\rm AB}}2 + \sqrt{1 - \dfrac{\overline{\rm AB}^2}4} \biggr) \end{aligned})]}}}
  [math({\rm acrd})]는 [[할선]]으로부터 그 중심각을 구하는 [[삼각함수/관련 함수#s-2.2|역할선 함수]]이며, [math(\arcsin)]은 [[역삼각함수|역사인 함수]]이다. [math(\rm Log)]는 [[복소로그함수]], [math(i)]는 [[허수|허수단위]]이다.

== 응용 ==
=== [[사인법칙]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=사인법칙)]

=== 원에 내접하는 사각형 ===

[[파일:나무_원주각성질4.png|width=160&align=center]]

위 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [math(\rm APBQ)]를 고려하자. 이때, [math(\theta)]와 [math(\theta')]는 [math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]의 원주각이다. 따라서 두 원주각에 대한 중심각의 합은 [math(2\pi)]가 되므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\theta + \theta' = \pi)]}}}
의 결론을 얻는데, 이는 '''원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 [math(\boldsymbol\pi)]가 됨'''을 보여준다.

[[파일:나무_원에 내접하는 사각형_내대각.png|width=240&align=center]]

위 그림과 같이 원에 내접하는 [math(\rm\square ABCD)]과 이 사각형의 [math(\rm\angle CAB)]의 외각 [math(\rm\angle PAC)]를 고려하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm CAB} = \pi - \angle{\rm PAC})]}}}
이때, 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 [math(\pi)]가 됨을 증명했으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\begin{aligned} \angle{\rm CDB} &= \pi - \angle{\rm CAB} \\ &= \pi - (\pi - \angle{\rm PAC}) \\ &= \angle{\rm PAC} \end{aligned})]}}}
이 성립함을 알 수 있다. 이때, [math(\rm\angle CDB)]를 [math(\rm\angle PAC)]의 '''내대각'''이라 한다. 

이상의 결과를 정리하면, '''원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기와 내대각의 크기는 서로 같음'''을 알 수 있고, 이 명제는 그 역도 성립함이 알려져있다.

=== 네 점이 한 원 위에 있을 조건 ===

[[파일:namu_네원이_한 원위.png|width=210&align=center]]

그림과 같이 네 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)], [math(\rm D)]가 한 원 위에 있으려면 다음 두 조건을 만족해야 한다.
 * 두 점 [math(\rm C)], [math(\rm D)]가 직선 [math(\rm AB)]에 대하여 같은 쪽에 존재한다.
 * [math(\angle{\rm ACB} = \angle{\rm ADB})]
=== 접선과 현이 이루는 각 ===

[[파일:나무_원주각_접선과현.png|width=180&align=center]]

위 그림과 같이 원 외부의 점 [math(\rm P)]에서 그은 원의 접선을 고려해보자. 이때, 해당 접선의 접점은 [math(\rm T)]이다. 또, 접점을 지나는 한 현을 고려할 때, 이 현에 대한 호 [math(\rm AT)]에 대한 원주각 [math(\rm\angle AQT)]는 [math(\rm\angle PTA)]와 같다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AQT} = \angle{\rm PTA})]}}}
가 성립한다.

이것의 증명은 아래와 같이 할 수 있다.

[[파일:나무_원주각_접선과현_증명.png|width=180&align=center]]

점 [math(\rm Q)]를 [math(\rm Q')]으로 옮겨도 그 원주각은 같으므로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AQT} = \angle{\rm AQ'T})]}}}
이때, [math(\rm\overline{TQ'})]이 원의 지름이라면, 지름에 대한 원주각 [math(\angle{\rm TAQ'} = \pi/2)]임에 따라, [math(\rm\triangle TAQ')]은 직각삼각형임을 알 수 있다. 또한, 원의 지름과 접선은 수직으로 만남에 따라 [math(\angle{\rm PTQ'} = \pi/2)]이다. 따라서 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\pi - {\left(\dfrac\pi2 + \angle{\rm AQ'T} \right)} = \dfrac\pi2 - \angle{\rm AQT})]}}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\angle{\rm AQ'T} = \angle{\rm AQT} = \angle{\rm PTA})]}}}
임을 얻는다.

이러한 성질을 흔히 '''접현각 성질'''이라고 줄여 부른다. 

=== [[방멱 정리|방멱 정리 (원과 비례)]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=방멱 정리)]

== 기타 ==
 * 현행 대한민국 교육과정에서는 중학교 3학년 2학기 후반부에 다루게 된다. 단원 특성 상 3년간 배웠던 기하학의 내용인 합동・닮음 등의 많은 내용들을 써먹어야 하기 때문에 3년 간 본인이 학습했던 기하학 실력을 알 수 있는 단원이며, 이에 많은 학생들이 어려워하는 단원이다.
 * 교육과정 자체는 중학교 교육과정이지만 수능 4점 도형문제에서 숨쉬듯 써먹기 때문에 사실상 고등학교 과정에도 필수라고 보면 된다.
== 관련 문서 ==
 * [[수학 관련 정보]]
 * [[원(도형)]]
 * [[논증 기하학]]

[[분류:원]][[분류:논증 기하학]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]