[include(틀:양자역학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 quantum harmonic oscillator ・ [[量]][[子]] [[調]][[和]] [[振]][[動]][[子]]}}}

이 문서에서는 양자 단순 [[조화 진동자]]를 양자역학적으로 분석하는 방법을 주로 다룬다.

이러한 양자 조화 진동자를 다루는 기법에는 대표적으로 '대수적 기법'과 '급수해 기법'이 있다. 이 문서에서는 두 가지 방법 모두 수록하되, 양자 조화 진동자의 이론적 체계는 대수적 기법만 다루고 급수해 해법은 고유함수를 찾는 과정만 수록했다.

== 분석 ==
=== 생성·소멸 연산자의 도입 ===
양자 조화 진동자를 분석하기 전 아래의 '''소멸 연산자(annihilation operator)'''를 도입하자. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hat{a}:= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) )] }}}
여기서 [math(\displaystyle \beta^{2} := {m \omega}/{\hbar} )]로 정의되는 상수이며, [math(m)]은 질량, [math(\omega)]는 조화 진동자의 [[각진동수]]이며, [math(\omega^{2} := k/m)]이다. 또한, [math(k)]는 힘 상수이며, 용수철 진자라면, 용수철 상수가 될 것이다. 위의 연산자에 [[켤레 전치]]를 취하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}-i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) )] }}}
가 되고 이 연산자를 '''생성 연산자(creation operator)'''라 한다. 이때, [math(\hat{a} \neq \hat{a}^{\dagger})]이므로 [math(\hat{a})]는 [[수반 연산자#s-3|에르미트 연산자]]가 아니다. 따라서 두 연산자는 관측가능한 물리량을 내놓지 않는데, 그럼에도 이 연산자의 정체를 알아내고 나서는 매우 유용하고 편리한 연산자라는 것을 깨닫게 된다. 그 작업을 위해 우선 두 연산자의 [[교환자#물리학에서의 교환자]] 관계를 조사하자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
[\hat{a},\,\hat{a}^{\dagger}] = \left[ \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right)\!, \, \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}-i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) \right]
\end{aligned} )]}}}||
이때, [[정준 교환 관계]] [math([\hat{x},\,\hat{p}]=i \hbar)]를 이용하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  [\hat{a},\,\hat{a}^{\dagger}]=\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a} =1 )] }}}
이러한 성질은 앞으로 꽤 유용하게 쓰이므로 암기하는 것이 좋다.

다음과 같은 연산자를 하나 정의하자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  \hat{a}^{\dagger}\hat{a} := \hat{N} )] }}}
먼저, 이 연산자가 상태가 [math(n)]인 고유함수 [math(\varphi_{n})]에 결합하여 고윳값으로 상태 [math(n)]을 내놓는다고 가정하자. 예를 들어,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  \hat{N}\varphi_{n}=n\varphi_{n} )] }}}
이다. 이제 소멸 연산자와 생성 연산자의 역할을 조사하기 위해 위 연산자의 [math(\hat{a}\varphi_{n})]의 고윳값을 조사해보자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}  \hat{N}(\hat{a}\varphi_{n})&=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}\varphi_{n} \\&=(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-1)\hat{a}\varphi_{n} \\&=(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-\hat{a})\varphi_{n} \\&=\hat{a}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-1)\varphi_{n} \\&=\hat{a}(\hat{N}-1)\varphi_{n} \\&=\hat{a}(n-1)\varphi_{n} \\&=(n-1)(\hat{a}\varphi_{n}) \end{aligned})] }}}
따라서 위 연산자의 [math(\hat{a}\varphi_{n})]의 고윳값은 [math(n-1)]이다. 위에서 [math(\hat{N})]을 어떻게 정의했는지 상기해보자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hat{a}\varphi_{n} \propto \varphi_{n-1} )] }}}
로 상태를 한 단계 낮춰준다. 비례 표시([math(\propto)])로 나타내는 것은 아직 소멸 연산자의 고윳값을 구하지 않았기 때문이다. 생성 연산자에도 같은 논법을 적용하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}  \hat{N}(\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n})&=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n} \\&=\hat{a}^{\dagger}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+1)\varphi_{n} \\ &=\hat{a}^{\dagger}(\hat{N}+1)\varphi_{n} \\&=(n+1)(\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n}) \end{aligned})] }}}
따라서 같은 논법으로 다음을 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}\varphi_{n} \propto \varphi_{n+1} )] }}}
즉, 생성 연산자는 상태를 한 단계 올려준다. 이러한 성질 때문에 두 연산자를 '''사다리 연산자(ladder operator)'''라 한다. 그 이유는 위에서 살펴 보았듯, 고윳값으로 물리적 가측량을 주는 것이 아니라 단지 어떤 상태를 올리거나 내리기만 하기 때문이다.

==== 유도 ====
단순 조화 진동(SHM)에서의 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식을 상기하자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\!\left(-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{1}{2}m{\omega}^2{x}^2\right)\!\psi(x)=E\psi(x))]}}}
슈뢰딩거 방정식 해 [math(x)]를 아래와 같이 운동량 분모 변수 [math(q)]를 내포한 함수로 치환하자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} x&=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}}q \\ \dfrac{\omega\hbar}{2}\!\left(-\dfrac{\partial^2}{\partial q^2} + {q}^2\right)\!\psi(q)&=E\psi(q)\end{aligned})]}}}
여기서, [math(q)]의 2계 미분방정식 항을 생각하고, 행렬로 표현되는 델 연산자 와 [math(q)]는 리 군의 원소이므로 교환자를 사용해, 미분방정식 항은 아래와 같이 쓸수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br]{{{-1 [math(\!\left(-\dfrac{\partial}{\partial q}+q\right)\!\!\left(\dfrac{\partial}{\partial q}+q\right)\!+\!\left(\dfrac{\partial}{\partial q}q-q\dfrac{\partial}{\partial q}\right)\!= -\dfrac{\partial^2}{\partial q^2} + {q}^2)]}}}}}}
여기서 두번째 미분항을 소거할때 두가지 방법으로 유도가 가능하다. 첫번째는 운동량 연산자가 [math(p=-i \boldsymbol{\nabla})][* 다만, 환산 플랑크 상수는 자연 단위계로써 1로 가정한다. ]임을 활용해 정준 교환 관계를 이용하여 나타내는 것이고, 두번째는 [math(f(q))]라는 함수를 가정하고 곱의 미분법을 활용해 나타내는 방법이 있다. 

첫번째 방법에서 운동량과 [math(q)]의 정준 교환 관계를 생각하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math([p,\,q]=i\hbar\delta_{xy})] }}}
즉 [math(-i[p,\,q]=1)]이므로,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\dfrac{\partial}{\partial q}q-q\dfrac{\partial}{\partial q}=1)]}}}

두번째 방법에서 [math(f(q))]의 곱의 미분꼴을 생각하면,
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{\partial}{\partial q}qf(q)-q\dfrac{\partial}{\partial q}f(q) = f(q) \quad \to \quad \!\dfrac{\partial}{\partial q}q-q\dfrac{\partial}{\partial q}\! =1
\end{aligned} )]}}}||
그러므로, 해밀토니언이 아래와 같이 도출될 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\dfrac{\hbar\omega}{2}\!\left[\!\left(-\dfrac{\partial}{\partial q}+q\right)\!\!\left(\dfrac{\partial}{\partial q}+q\right)\!+1\right]\!=\hat{\mathcal{H}})]}}}

또한 에너지 고유상태에 따라 해밀토니언은 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\hbar\omega\!\left(a^{\dagger}a+\dfrac{1}{2}\right)\!=\hat{\mathcal{H}})]}}}
로 정의되므로, 두가지 조건에 의해 생성, 소멸 연산자는 아래와 같다. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\!\left(-\dfrac{\partial}{\partial q} + q\right)\!&=a^{\dagger} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\!\left(\dfrac{\partial}{\partial q} + q\right)\!&=a \end{aligned})]}}}

[include(틀:문서 가져옴, this=문단, title=연산자, version=209)]
=== [[해밀토니안]] 연산자 ===
조화 진동자의 [[해밀토니안]]은 고전적으로 아래와 같이 주어진다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}&=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2} \\ &=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2} x^{2} \end{aligned} )] }}}
따라서 양자 조화 진동자에서 해밀토니안 연산자는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hat{\mathcal{H}}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2}\hat{x}^{2} )] }}}
위에서 정의했던 생성·소멸 연산자에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hat{x}=\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \qquad \qquad \hat{p}=\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} )] }}}
를 이용하자. 이것을 위 식에 대입하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hat{\mathcal{H}}=\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2}  \right) )] }}}
임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 에너지의 고윳값을 구할 수 있게 되었고, 상태 [math(n)]의 고유함수 [math(\varphi_{n})]을 이용하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{H}}\varphi_{n}&=\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2}  \right)\varphi_{n} \\&=\hbar \omega \left(\hat{N}+\frac{1}{2}  \right)\varphi_{n} \\&=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2}  \right)\varphi_{n}  \end{aligned})] }}}
따라서 에너지 고윳값은 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2}  \right) )] }}}
그러나 한 가지의 부가조건을 생각해야 한다. 양자 조화 진동자의 해밀토니안 연산자는 Hermitian operator의 제곱이 선형 결합되어 있는 연산자이므로 에너지 평균값은 양수여야만 한다. 따라서 다음을 만족시켜야 한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \langle  \mathcal{H} \rangle \geq 0  )] }}}
양자역학적 고유함수의 직교성에 따라 고유함수의 내적 [math(\langle \varphi_{n} |\varphi_{m}  \rangle=\delta_{nm})]을 이용하면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \langle  \mathcal{H} \rangle &=\langle \varphi_{n} | \hat{\mathcal{H}}|\varphi_{n}  \rangle \\ &=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2}  \right)\langle \varphi_{n} |\varphi_{n}  \rangle \\ &=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2}  \right) \end{aligned}  )] }}}
따라서 위의 부가조건을 만족시키기 위해서는 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle n \geq -\frac{1}{2}  )] }}}
이어야 한다. 따라서 [math(n<-1/2)]인 상태는 정의되지 않는다. 따라서 이 조건을 명시할 수 있는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hat{a} \tilde{\varphi}=0  )] }}}
을 덧붙여야 한다. [math(\tilde{\varphi})]는 최저 상태의 고유 함수이다. 이 고유 함수를 구하기 위해 해밀토니언 연산자를 적용하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2}  \right)\tilde{\varphi}=\frac{1}{2}\hbar \omega \tilde{\varphi} )] }}}
이므로 [math(\tilde{\varphi}=\varphi_{0})]이다. 따라서 에너지 고윳값은 최저 상태를 [math(n=0)]이라 두었기 때문에
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2}  \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) )] }}}
중요한 두 가지의 결론을 얻는다.
 * 양자 조화 진동자는 영점 에너지(zero-point energy)가 존재한다.
 * 인접한 상태들의 에너지 간격은 [math(E_{n}-E_{n-1}=\hbar \omega)]이고, 따라서 양자 조화 진동자의 에너지 간격은 등간격이다.

=== 고유함수 ===
다음과 같은 무차원의 변수로 치환하자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \beta^{2}x^{2} = \frac{m \omega}{\hbar}x^{2} := \xi^{2} )] }}}
이를 이용해서, 생성·소멸 연산자를 아래와 같이 쓸 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{a} &= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) \\ &=  \frac{\beta}{\sqrt{2}} \left( x+\frac{\hbar}{m\omega} \frac{\partial}{\partial x} \right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \beta x+ \frac{\partial}{\partial (\beta x)} \right) \\&=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \end{aligned} )] }}}
마찬가지의 논법으로 아래와 같이 쓸 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right)  )] }}}
위 문단에서 양자 조화 진동자의 최저 상태의 고유함수는 [math(\varphi_{0})]이라 했고, 위에서 설정했듯이 [math(\displaystyle \hat{a}\varphi_{0}=0  )]이므로 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right)\varphi_{0}=0  )] }}}
이 방정식의 해는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  \varphi_{0}=A_{0}\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)}  )] }}}
이때, [math(A_{0})]은 규격화 상수로 [math(\langle \varphi_{0} |\varphi_{0}  \rangle=1)]로 결정할 수 있으므로 최저 상태의 고유함수는 [[정규분포]] 곡선 모양이다. 이제 최저 모드의 고유함수가 결정되었기 때문에 생성 연산자를 이용하면 다른 상태 또한 쉽게 결정할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&\propto \hat{a}^{\dagger} \varphi_{0} \\ & \propto  \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \\ &=2\xi\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \end{aligned} )] }}}
따라서 규격화 상수를 [math(A_{1})]이라 두면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \varphi_{1}=2A_{1}\xi\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} )] }}}
이와 같은 논법으로 [math(\varphi_{n})]을 구하려면, 생성 연산자를 [math(n)]번 최저 상태 고유함수에 적용하면 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \varphi_{n} =A_{n} \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right)^{\!n}\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} )] }}}
따라서 다음과 같이 양자 조화 진동자의 고유함수와 고윳값을 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n}(\xi)&=A_{n}H_{n}(\xi)\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \\ E_{n}&=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \end{aligned} )] }}}
위에서 [math(H_{n}(\xi))]는 [[에르미트 다항식]]이며, 규격화 상수
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle A_{n}=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n! \sqrt{\pi} } } )] }}}
로 결정된다. 아래는 몇 가지 고유함수들을 나타낸 것이다. 

[[파일:나무_양자조화진동자_고유함수.png|width=330&align=center]]

눈썰미가 좋은 사람은 양자 조화 진동자의 고유함수가 [[대칭함수|기함수와 우함수]]가 반복된다는 것을 알 것이다.

양자 조화 진동자는 속박되어 있는 예이므로 고유함수의 절댓값의 제곱은 [[확률밀도함수]]이다. 몇 가지의 확률밀도함수를 나타내면 아래와 같다.

[[파일:나무_양자조화진동자_확률밀도.png|width=330&align=center]]

위 그림에서는 고전역학적으로 전환점[* 사실 위 그림에서 각각 그어진 [math(x)]축과 평행한 직선과 [math(x)]축 사이의 거리는 입자가 가질 수 있는 에너지를 나타낸다. 이 에너지와 퍼텐셜의 교점이 전환점이며, 자세한 것은 [[퍼텐셜 에너지]] 문서를 참조하라.] 이후의 영역에서 상태는 허용되지 않는 것과 대비되게 전환점 이후에도 입자가 존재할 수 있다.

=== 소멸·생성 연산자의 적용 결과 ===
이 문단에서는 다음 문단의 평균값과 [[불확정성 원리]]가 양자 조화 진동자에서 성립하는지 알아본다. 첫 문단에서 생성 혹은 소멸 연산자가 물리적 가측량 값을 주지 않고, 상태를 내리거나 올리기만 하는 연산자임을 알아보았다. 이제 해당 연산자들의 고윳값을 알아보자.

고유함수 [math(\varphi_{n})]을 ket-vector [math(|  n \rangle)]으로 간단히 나타내고 소멸 연산자의 고윳값을 [math(C_{n})]이라 하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hat{a}|  n \rangle=C_{n} |  n-1 \rangle)] }}}
양변에 복소 공액을 취하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \langle  \hat{a} n |   =\langle  n-1 |   C_{n}^{\ast} )] }}}
이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \langle  n | \hat{a}^{\dagger}   =\langle  n-1 |   C_{n}^{\ast} )] }}}
이 결과를 처음 식의 ket-vector에 곱하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \langle  n | \hat{a}^{\dagger} \hat{a}|  n \rangle&=\langle  n-1 |   C_{n}^{\ast}C_{n} |  n-1 \rangle \\ \langle  n | \hat{N}|  n \rangle&=\left| C_{n} \right|^{2}\langle  n-1 |  n-1 \rangle \\ n \langle  n | n \rangle&=\left| C_{n} \right|^{2}\langle  n-1 |  n-1 \rangle \end{aligned})] }}}
고유함수의 직교성에 의해 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle n=\left| C_{n} \right|^{2} \, \rightarrow \, C_{n}=\sqrt{n} )] }}}
따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \hat{a}|  n \rangle=\sqrt{n} |  n-1 \rangle )] }}}
생성 연산자도 똑같은 논법으로 증명할 수 있는데, 이것을 증명할 때는 두 연산자의 교환자 관계를 이용해야 한다. 결과는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}|  n \rangle=\sqrt{n+1} |  n+1 \rangle )] }}}
=== [[불확정성 원리]] 검증 ===
[[불확정성 원리]]에 따르면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} )] }}}
를 만족시켜야 하는데, 다음을 이용하여 이것을 검증한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned}\displaystyle \Delta x& := \sqrt{\langle x^2 \rangle-\langle x \rangle^{2}} \\ \Delta p& := \sqrt{\langle p^2 \rangle-\langle p \rangle^{2}}\end{aligned}  )] }}}
[math(\langle x \rangle)]와 [math(\langle p \rangle)]는 비교적 쉽게 구할 수 있다. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x \rangle&=\langle n |\hat{x}|n \rangle \\ &=\biggl \langle n \biggl|\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \biggr|n \biggr \rangle \\ &=0 \\ \langle p \rangle&=\langle n |\hat{p}|n \rangle \\ &=\biggl \langle n \biggl|\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \biggr|n \biggr \rangle \\ &=0 \end{aligned}  )] }}}
소멸·생성 연산자와 고유함수의 직교성을 이해했다면, 연산을 하지 않더라도 쉽게 위의 결과를 받아들일 수 있다. 소멸·생성 연산자는 상태를 올리거나 내려준다고 했다. 그런데 위와 같은 연산에서는 결국 다른 상태끼리의 고유함수 내적 연산만이 남아 0이 될 수밖에 없는 것이다.

이제 [math(\langle x^{2} \rangle)]을 구하자. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle&=\langle n |\hat{x}^{2}|n \rangle \\ &=\biggl \langle n \biggl| \biggl(\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \biggr)^{2} \biggr|n \biggr \rangle  \\  &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} |n \rangle  \end{aligned}  )] }}}
따라서 항은 총 4개로 분리될 것이다. 그런데 1, 4항은 서로 다른 상태끼리의 고유함수의 내적이 포함되어 연산에 기여하지 않으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |\hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \\&=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+1)+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \\ &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |2\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-1 |n \rangle \\&=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |2\hat{N}+1 |n \rangle \\ &=\frac{\hbar}{m \omega} \biggl( n+\frac{1}{2}  \biggr)  \end{aligned}  )] }}}

마지막으로, [math(\langle p^{2} \rangle)]을 구해 보자.  
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \langle p^{2} \rangle&=\langle n |\hat{p}^{2}|n \rangle \\ &=\biggl \langle n \biggl| \biggl(\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \biggr)^{2} \biggr|n \biggr \rangle  \\  &=- \frac{m^{2} \omega^{2}}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}-\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} |n \rangle \\ &=\frac{m^{2} \omega^{2}}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle  \end{aligned}  )] }}}
이런 꼴은 이미 [math(\langle x^{2} \rangle)]을 계산하면서 보았던 꼴이다. 따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  \langle p^{2} \rangle=m \omega \hbar \biggl( n+\frac{1}{2}  \biggr)   )] }}}
이상에서 다음이 성립하므로 [[불확정성 원리]]를 만족시킨다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned}\displaystyle \Delta x&=\sqrt{\frac{\hbar}{m \omega} \biggl( n+\frac{1}{2}  \biggr)} \\\Delta p&=\sqrt{m \omega \hbar \biggl( n+\frac{1}{2}  \biggr)}\\ \\ \displaystyle \Delta x \Delta p&=\hbar \biggl( n+\frac{1}{2}  \biggr) \geq \frac{\hbar}{2}\end{aligned})] }}}

=== 기댓값 ===
이번엔 양자 조화 진동자의 에너지 기댓값 [math(\langle E \rangle)]를 논해보자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \langle E \rangle=\langle T \rangle+\langle V \rangle  )] }}}
이때, [math(\langle T \rangle)]는 운동 에너지 평균값, [math(\langle V \rangle)]는 퍼텐셜 에너지 평균값이다. 각각의 평균값은 아래와 같이 주어진다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned}\displaystyle \langle T \rangle&=\frac{\langle p^{2} \rangle}{2m} \\\langle V \rangle&=\frac{1}{2}k\langle x^{2} \rangle=\frac{1}{2}m \omega^{2} \langle x^{2} \rangle\end{aligned} )] }}}
위에서 구한 [math(\langle x^{2} \rangle)], [math(\langle p^{2} \rangle)]을 이용하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \langle T \rangle= \langle V \rangle=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2}  \right) )] }}}
따라서 운동 에너지 및 퍼텐셜 에너지의 평균값은 동일하다. 이상에서 맨 위에서 구했던 다음의 결과를 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \langle E \rangle&=2\langle T \rangle=2\langle V \rangle \\\displaystyle &=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2}  \right) \end{aligned} )] }}}
이것은 제곱형 퍼텐셜과 운동 에너지 사이에 성립하는 [[비리얼 정리]]로, [[고전역학]]의 결과와 [[양자역학]]의 결과가 같게 나온 경우다.
=== 대응 원리 ===
양자역학적 결론에서 양자수가 극히 커짐에 따라 고전역학적 결과에 접근하여 대응하는 것을 '''대응원리(correspondence principle)'''라 한다.

양자역학적으로 입자가 [math(x)], [math(x+{\rm d}x)] 사이에서 발견될 확률 [math(P_{\mathrm{QM}})]은 알다시피, 다음과 같이 고유함수의 절댓값의 제곱으로 주어진다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle P_{\mathrm{QM}}=\left| \varphi(x) \right|^{2} )] }}}
여기에서, 고전적으로 [math(x)], [math(x+{\rm d}x)] 사이에서 입자가 발견될 확률 [math(P_{\mathrm{CM}})]의 값이 포인트가 될 것이다. 고전적으로 해당 확률은 운동의 주기 [math(T)]와 극히 짧은 시간 간격 [math({\rm d}t)]의 비로 보았다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle P_{\mathrm{CM}}\,{\rm d}x=\frac{{\rm d}t}T )] }}}
가 된다. 이때, [math(T=2\pi/\omega)]가 되므로 위 식은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}t}{T}=\frac{2\pi}{\omega}\,{\rm d}t )] }}}
로 쓸 수 있다. [[연쇄 법칙]]에 의하여,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{\omega}{2\pi}\,{\rm d}t=\frac{\omega}{2\pi}\,\frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}{\rm d}x=\frac{2\pi}{\omega}\frac1{\dot{x}}{\rm d}x)] }}}
로 쓸 수 있다. [math(\dot{x}:= {\rm d}x/{\rm d}t)]로 속도를 의미한다. 이미 진폭 [math(x_{0})]인 조화진동자의 변위와 속도는 다음과 같이 주어짐을 안다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} x&=x_{0}\sin{\omega t} \\ \dot{x}&=x_{0}\omega \cos{\omega t} \end{aligned})] }}}
다음과 같이 쓸 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \dot{x}=\omega \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}} )] }}}
이때,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{\omega}{2\pi}\,\frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}{\rm d}x=\frac{2\pi}{\omega}\frac1{\dot{x}}{\rm d}x=\frac1{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } }\,{\rm d}x )] }}}
이상의 결과를 종합하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle P_{\mathrm{CM}}=\frac{A}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } )] }}}
로 쓸 수 있다. [math(A)]를 붙인 이유는 아직 규격화를 해주지 않았기 때문이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int_{-x_{0}}^{x_{0}}\frac{A}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } }\,{\rm d}x=1 \, \rightarrow \, A=2 )] }}}
이상에서 찾는 고전적인 확률은 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle P_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } )] }}}

아래의 그림은 [math(n=50)]일 때의 [math(P_{\mathrm{QM}})]과 [math(P_{\mathrm{CM}})]을 같이 나타낸 것이다. 아래의 그림처럼, 양자수가 높아지면 고전적인 확률과 같은 경향을 띠면서 따라간다.

[[파일:나무_양자조화진동자_대응원리.png|width=265px&align=center]]

=== 임의의 상태 ===
양자 조화 진동자의 고유함수는 힐베르트 공간의 원소로써 완전조(complete set)을 이룬다. 이에 임의의 상태는 고유함수의 선형결합으로 표시할 수 있으며, 이는 임의의 상태가 양자 조화 진동자의 고유 상태들이 중첩이 된 것이라 볼 수 있다. 임의의 상태 [math(| \psi \rangle)]에 대해서 다음과 같이 전개 가능하다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle | \psi \rangle=\sum_{n=0}^{\infty} | n \rangle \langle n | \psi \rangle )] }}}

=== 확률 분포 ===
임의의 상태 [math(| \psi \rangle)]에 대하여 에너지를 측정했더니 [math(E_{n})]이 나올 확률 [math(P[E_{n} ] )]은 얼마인가? 이것은 위의 전개 계수와 관련이 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle P[E_{n}]=  |\langle  n| \psi \rangle|^{2}  )] }}}

=== 파동함수의 시간 전개 ===
시각 [math(t=0)]에서 입자가 고유상태 [math(| n \rangle)]에 있었다고 하자. 만약 시간 [math(t)]가 지나면 입자는 어떠한 상태에 존재하게 되는가? 이것은 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle i\hbar \frac{\partial}{\partial t}| \Psi(t) \rangle=\hat{\mathcal{H}}| \Psi(t) \rangle )] }}}
를 풂으로써 구할 수 있다. 이때, 해밀토니언 연산자가 시간에 의존하지 않을 때, 이 해는 다음과 같음이 증명돼있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle | \Psi(t) \rangle=\exp{\biggl(-\frac{i \hat{\mathcal{H}}t}{\hbar} \biggr)}| \psi(\mathbf{r},\,0) \rangle )] }}}
따라서 구하는 상태는 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle | \Psi(t) \rangle=\exp{\biggl(-\frac{i E_{n}t}{\hbar} \biggr)}| n \rangle )] }}}

임의의 상태라면, 위의 고유함수의 시간 전개의 선형 결합
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle | \Psi(t) \rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp{\biggl(-\frac{i E_{n}t}{\hbar} \biggr)}| n \rangle \langle n| \psi \rangle )] }}}
으로 주어진다.

== 부록 ==
=== 급수해 해법 ===
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle V(x)=\frac12kx^2=\frac12m \omega^2x^2 )] }}}
퍼텐셜이 위의 꼴인 경우 양자 조화 진동자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 도출된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{{\rm d}^2 \varphi}{{\rm d}x^2}+\frac12m \omega^2x^2 \varphi =E\varphi\qquad(\because\hat{\mathcal{H}}\varphi=E \varphi))] }}}
변수를 무차원화하면 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned}\displaystyle x:=& \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}\,\xi\\\epsilon :=& \frac{2E}{\hbar \omega}\end{aligned} )] }}}
이것을 방정식에 대입하면, 아래와 같이 간단한 꼴로 주어지게 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}^2 \varphi}{{\rm d}\xi^2}+(\epsilon-\xi^2)\varphi=0 )] }}}
이제 기본적으로 이 방정식의 해의 꼴을 찾기 위해 점근해를 찾자. [math(\xi \gg 1)] 영역에서 위의 방정식은 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}^2 \varphi}{{\rm d}\xi^2}-\xi^2\varphi=0 )] }}}
으로 주어지고, 이 방정식의 해는  [math(\xi \gg 1)]인 것을  감안하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \varphi(\xi) \propto \exp{\left(\pm \frac{\xi^{2}}{2} \right)}   )] }}}
으로 주어진다. 그런데, 양자 조화 진동자는 퍼텐셜에 속박된 경우이므로 고유함수는 규격화가 가능해야 한다. 따라서 지수가 양인 해는 [math(\xi \gg 1)] 영역에서 발산하므로 적절한 해가 되지 못한다. 따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \varphi(\xi) \propto \exp{\left(- \frac{\xi^{2}}{2} \right)}   )] }}}
가 물리적으로 적절한 해이다. 따라서 해의 꼴을 다음과 같은 형태로 가정할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \varphi(\xi) \propto H(\xi) \exp{\left(- \frac{\xi^{2}}{2} \right)}   )] }}}
[math(H(\xi))]는 아직 정체가 밝혀지지 않은 [math(\xi)]에 관한 함수이다. 이것을 본래의 방정식에 넣으면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}^2H(\xi)}{{\rm d}\xi^2}-2\xi \frac{{\rm d}H(\xi)}{{\rm d}\xi}+( \epsilon-1)H(\xi)=0 )] }}}
의 방정식이 나오게 된다. 찾는 함수 [math(H(\xi))]를 다음과 같은 형태로 가정하자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle H(\xi) := \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\xi^{n} )] }}}
이것을 위 방정식에 대입하면,
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_{n}\xi^{n-2}-2 \xi \sum_{k=1}^{\infty} ka_{k}\xi^{k-1}+( \epsilon-1)\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\xi^{k}=0
\end{aligned} )]}}}||
좌변의 제1항에 대해 [math(k \to k+2)]를 취하면,
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k-2)a_{k+2}\xi^{k}-2 \sum_{k=1}^{\infty} ka_{k}\xi^{k}+( \epsilon-1)\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\xi^{k}=0
\end{aligned} )]}}}||
따라서 같은 차수에 대한 계수를 조사해보면, 아래를 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle a_{k+2}=\frac{2k+1-\epsilon}{(k+1)(k+2)}a_{k} )] }}}
참고로 위 관계는 [math(n=0)]일 때도 성립한다. 따라서 모든 [math(a_{k})]는 [math(a_{0})], [math(a_{1})]로 표기할 수 있음을 이용하면
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
H(\xi) = \,&a_0 \left[ 1+\frac{1-\epsilon}{2}\xi^{2}+\frac{(5-\epsilon)(1-\epsilon)}{24}\xi^{4}+\cdots \right] \\
&+a_{1} \left[ \xi+\frac{3-\epsilon}{6}\xi^{3}+\frac{(7-\epsilon)(3-\epsilon)}{120}\xi^{5}+\cdots \right]
\end{aligned} )]}}}||
으로 쓸 수 있다. 그런데 위 급수 또한 [math(\xi \gg 1)] 영역에서 발산한다. 따라서 [math(k=n)]일 때 급수의 항이 더 더해지지 않고 끊어지게 할 수 있다면, 급수는 발산하지 않고 다항식으로 남을 수 있다. 해당 조건은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle a_{n+2}=\frac{2n+1-\epsilon}{(n+1)(n+2)}a_{n}=0 )] }}}
을 만족시키면 된다. 단, [math(a_{n} \neq 0)]이다. 따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \epsilon_{n}=2n+1 \quad (n=0,\,1,\,2,\,3,\cdots) )] }}}
이때 [math(\displaystyle \epsilon_{n} = 2E_{n}/\hbar\omega)]이므로 이를 대입하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \dfrac{2E_{n}}{\hbar\omega}=2n+1 )] }}}
따라서 에너지는 다음과 같이 주어진다. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle E_{n}=\hbar\omega \left( n+\dfrac{1}{2} \right) \quad (n=0,\,1,\,2,\,3,\cdots) )] }}}
따라서 조건이 이와 같을 때, 미분 방정식은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}^2H(\xi)}{{\rm d}\xi^2}-2\xi \frac{{\rm d}H(\xi)}{{\rm d}\xi}+2nH(\xi)=0 )] }}}
이며 이 방정식을 만족시키는 해는 [[에르미트 다항식]] [math(H_{n}(\xi))]이다.[* 위에서 해밀토니안을 [math(\mathcal{H})]로 썼는데, 이 함수의 표기와 혼동하지 않기 위함이다.] 따라서 대수적 기법과 동일하게 고유함수, 고윳값을 아래와 같이 얻는다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\varphi_{n}&=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n! \sqrt{\pi} } }H_{n}(\xi)\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \qquad \biggl(\xi:= \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}\,x \biggr)\\ E_{n}&=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)
\end{aligned} )]}}}||

=== 고차원 조화 진동자 ===
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} V(r)&=\frac{1}{2} m\omega^2 r^2  \\ &= \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2+y^2+z^2) \end{aligned})] }}}
퍼텐셜이 위와 같아도 비슷한 방법으로 풀 수 있다. 직교 좌표계에서 위치 표현의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 쓰면
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right) + \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2+y^2+z^2) \psi = E \psi
\end{aligned} )]}}}||
[math(\psi(x,\,y,\,z) = X(x) Y(y) Z(z))]로 두고 양변을 [math(XYZ)]로 나누면
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\displaystyle \left( -\frac{\hbar}{2m}  \frac{1}{X} \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right) + \left( -\frac{\hbar}{2m}  \frac{1}{Y} \frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 \right) + \left( -\frac{\hbar}{2m}  \frac{1}{Z} \frac{\partial^2 Z}{\partial z^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 z^2 \right) = E)]||

이때 좌변의 항들은 각각 [math(x,y,z)]만의 함수이므로, 세 항 모두 상수여야 한다. 이를 각각 [math(E_x, E_y, E_z)]로 놓고 [math(E_x + E_y + E_z = E)]라고 하면 이는 1차원 조화 진동자와 똑같은 문제가 된다. 따라서 각각의 해와 에너지는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} E_{x}&=\hbar \omega \left(n_x + \frac{1}{2}  \right) \\ E_{y}&=\hbar \omega \left(n_y + \frac{1}{2}  \right) \\ E_{z}&=\hbar \omega \left(n_z + \frac{1}{2}  \right)\end{aligned} )] }}}
따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}  E &= E_{x} + E_y + E_z \\& = \left( n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} \right) \hbar \omega \\& = \left( n+\frac{3}{2}  \right) \hbar \omega\end{aligned} )] }}}
같은 방법으로 [math(k)]차원 조화 진동자의 에너지는 [math(\displaystyle \left( n + k/2 \right) \hbar \omega )]이다.
== 기타 ==
양자 조화 진동자는 해석적으로 정확하게 풀리면서도 실제 물리적 상황을 이해하는 데 대단히 유용한 시스템이다. 예를 들어, [[1차원]] 공간에서의 일반적인 퍼텐셜 [math(V(x))]를 생각할 때, 이 퍼텐셜의 극솟값 주변[* 다른 말로, 어떤 점 [math(x_{0})] 인근에서, [math(V'(x_{0})=0)], [math( V''(x_{0})>0)]]에서 [[테일러 전개]]를 하면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle V(x) \simeq V(x_{0})+\frac{V''(x_{0})}{2}(x-x_{0})^2 + \mathcal{O}(x^3) )] }}}
으로 표현이 가능해서 국소적으로 일반적인 퍼텐셜에서 극소점 부근의 물리를 단순 조화 진동자 문제로 근사시킬 수 있는 경우가 많다. 대표적으로 여러 개의 자유 보존은 여러 개의 양자 조화 진동자와 같이 행동한다.

양자 조화 진동자가 실제 물리 현상을 설명하는 예를 [[물리화학]]과 [[고체 물리학]]에서 접할 수 있다. 대표적으로 고체의 격자 진동의 에너지 양자 [[포논]]을 분석할 때 쓰인다. 이원자 분자의 진동에너지는 공유결합을 양자 조화 진동자로 근사하여 볼츠만 합을 구해 내부에너지를 구할 수 있다. 물리화학이나 통계역학을 배우면 볼 수 있을 것이다.

== 관련 문서 ==
 * [[물리학 관련 정보]]
 * [[조화 진동자]]
 * [[양자역학]]
 * [[슈뢰딩거 방정식]]
 * [[연산자]]
 * [[특수함수]]
[각주]
[include(틀:문서 가져옴, title=슈뢰딩거 방정식, version=139)] 
[[분류:물리학]]