[include(틀:평면기하학)]
[include(틀:원뿔곡선)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[雙]][[曲]][[線]] / hyperbola}}}

[[기하학]]에 등장하는 [[도형]]의 일종으로, '''평면 상의 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합'''으로 정의한다. 이때 두 정점을 '''초점'''(foci)이라 한다. 

== 쌍곡선의 방정식 ==
아래는 하위 문단의 내용을 요약한 것이다.

 * '''초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우''': [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
  * 그래프
  [[파일:나무_쌍곡선_테이블_1.png|width=200&align=center]]
  * 조건: [math(|\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}|=\textsf{const.})]
  * 초점의 좌표: [math(\mathrm{F}( \sqrt{a^{2}+b^{2}},\,0) )], [math(\mathrm{F'}( -\sqrt{a^{2}+b^{2}},\,0) )]
  * 주축의 길이: [math(\displaystyle 2a )]
  * 점근선: [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)]
  * 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 지나는 접선의 방정식: [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]
  * 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})]

 * '''초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우''': [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 )]
  * 그래프
  [[파일:나무_쌍곡선_테이블_2.png|width=200&align=center]]
  * 조건: [math(|\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{PF'}}|=\textsf{const.})]
  * 초점의 좌표: [math(\mathrm{F}( 0,\,\sqrt{a^{2}+b^{2}}) )], [math(\mathrm{F'}( 0,\,-\sqrt{a^{2}+b^{2}}) )]
  * 주축의 길이: [math(\displaystyle 2b )]
  * 점근선: [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)]
  * 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 지나는 접선의 방정식: [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 )]
  * 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}} )]

=== 유도 ===
'''[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우'''

[[파일:나무_쌍곡선_1.png|width=180&align=center]]

그림과 같이 꼭짓점이 [math(\mathrm{A}(a,\,0))], [math(\mathrm{A'}(-a,\,0))]이고, 초점이 [math(\mathrm{F}(c,\,0))], [math(\mathrm{F'}(-c,\,0))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(\mathrm{P})]가 [math(\mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 [math(\overline{\mathrm{AA'}}=2a)]여야 한다.(참고로 [math(\overline{\mathrm{AA'}})]를 '''주축의 길이'''라 한다.) 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle (\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}})^{2}=4a^{2}  )] }}}
이것을 정리하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}-4a^{2}=2\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}  )] }}}
이것을 다시 제곱하고, 정리하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle (c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2}) )] }}}
이때, [math(b^{2} \equiv c^{2}-a^{2})]이라 놓고, 식을 정리함으로써 쌍곡선의 방정식을 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )] }}}
그런데, 이 방정식을 양함수 형태로 아래와 같이 고칠 수 있고,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x\sqrt{1-\frac{a^{2}}{x^{2} }} )] }}}
이때, [math(x^{2} \to \infty)]일 때, 근호는 1에 한없이 가까워지고, 결국 쌍곡선은 어떠한 직선
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)] }}}
에 가까워지는데, 이 직선을 '''쌍곡선의 점근선'''이라 한다.

'''[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우'''

[[파일:나무_쌍곡선_2.png|width=150&align=center]]

그림과 같이 꼭짓점이 [math(\mathrm{A}(0,\,b))], [math(\mathrm{A'}(0,\,-b))]이고, 초점이 [math(\mathrm{F}(0,\,c))], [math(\mathrm{F'}(0,\,-c))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(\mathrm{P})]가 [math(\mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 주축의 길이인 [math(\overline{\mathrm{AA'}}=2b)]여야 한다. 따라서 위에서 다뤘던 논법과 유사하게 쌍곡선의 방정식을 유도할 수 있으며, 여기선 결과만을 적는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 )] }}}
단, [math(a^{2}=c^{2}-b^{2})]이다. 이 경우 또한, 점근선이
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)] }}}
임을 위와 같은 논법으로 증명할 수 있다.

=== 일반형 ===
쌍곡선 방정식의 일반형은 아래와 같이 나타난다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 \quad )] (단, [math(AB<0)]) }}}
이때, [math(A \sim E)]는 상수이며, 이 일반형을 표준형 꼴로 바꾸면, 쉽게 어떤 쌍곡선을 나타내는 방정식인지 알 수 있게 된다. 괄호 안은 [math(x^2)]항과 [math(y^2)]의 계수의 부호가 반대임을 의미한다.

== [[비례·반비례|반비례 관계의 그래프]]와의 관계 ==
[[비례·반비례|반비례 관계의 그래프]] [math(y=ax^{-1})]을 고려해보자. 여기서 [math(a)]는 상수이다. 이 함수는 [math(\pi/4)][* [math(45 \degree)]]만큼의 회전변환을 통하여 위의 쌍곡선의 표준형으로 나타낼 수 있다. 

[math(\pi/4)]만큼의 회전변환을 기술하는 행렬은 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos{\dfrac{\pi}{4}} & -\sin{\dfrac{\pi}{4}} \\ \\  \sin{\dfrac{\pi}{4}}  & \cos{\dfrac{\pi}{4}} \end{bmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} )] }}}
이 변환에 의해 점 [math((x,\,y) \to (x',\,y'))]으로 옮겨진다고 하자. 그러면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \begin{aligned} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{aligned} )] }}}
로 쓸 수 있고, 여기서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \begin{aligned} x'&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x - y) \\ y'&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x + y) \end{aligned} )] }}}
이때, 각각을 제곱하고 그 차를 구함으로써 다음을 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( x'^2-y'^2=-2xy )] }}}
우리가 다루는 함수가 [math(y=ax^{-1})]임을 상기하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( x'^2-y'^2=-2a )] }}}
이것을 정리하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \dfrac{x'^2}{2a}-\dfrac{y'^{2}}{2a}=-1 )] }}}
으로 이것은 명백히 초점이 [math( \mathrm{F}(0,\,2\sqrt{a}) )], [math( \mathrm{F'}(0,\,-2\sqrt{a}) )]에 있는 쌍곡선을 기술하는 방정식임을 알 수 있다. 

이번엔 두 곡선이 교점[math((x_0,\, y_0))]에서 어떻게 접하는지 알아보자. 두 곡선의 기울기를 각각 [math(m_1)], [math(m_2)]라고 하자. 쌍곡선 함수를 음함수의 미분을 통해 접선의 기울기를 구하면 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \begin{aligned} \dfrac{2x}{2a}-\dfrac{2y}{2a}\dfrac{dy}{dx}=0 \,\to \, m_1=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y}  \end{aligned} )] }}}
반비례 관계 함수를 같은 방법으로 미분하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \begin{aligned} m_2=\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{a}{x^2}  \end{aligned} )] }}}
이제 교점에서 이 둘을 곱하면 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \begin{aligned} m_1m_2=-\dfrac{a}{x_0^2}\dfrac{x_0}{y_0}=-\dfrac{a}{x_0y_0}  \end{aligned} )] }}}
이때, 점[math((x_0,\, y_0))]은 두 곡선의 교점이므로 반비례 그래프 위의 점으로 볼 수 있다. 따라서 [math(x_0y_0=a)]이므로, 교점에서 두 기울기의 곱은 -1이다. 즉 교점에서 두 곡선은 직교한다.

따라서 [[비례·반비례|반비례 관계의 그래프]]는 쌍곡선을 회전변환 시킨 곡선으로 쌍곡선의 한 종류이며, 회전하기 전의 쌍곡선과 회전한 후의 쌍곡선은 교점에서 직교한다.

== 쌍곡선과 직선 ==
=== 위치 관계 ===
||<table width=100%>
 1. 우선 직선의 방정식을 한 변수에 대하여 정리한다.
 1. 1에서 정리한 직선을 쌍곡선의 방정식에 대입하고 적절히 이항하여 이차방정식을 만든다.
 1. 2에서 나온 이차방정식에 판별식 [math(D)]를 적용한다. ||
판별식의 부호에 따라 쌍곡선과 직선의 위치 관계가 달라진다.
 * [math(\boldsymbol{D>0})]: 쌍곡선과 직선은 두 점에서 만난다.
 * [math(\boldsymbol{D=0})]: 쌍곡선과 직선은 접한다(즉, 쌍곡선과 직선은 한 점에서 만난다).
 * [math(\boldsymbol{D<0})]: 쌍곡선과 직선은 만나지 않는다.

[[파일:쌍곡선_접선.png|width=200&align=center]]

=== 쌍곡선의 접선 ===
==== 쌍곡선 위의 점에서의 접선 ====
이 문단에서는 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]에서 접선의 방정식을 구해볼 것이다.

'''[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우'''
우선 음함수의 미분법을 이용하여 접선의 기울기를 구하자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}} \frac{dy}{dx} =0 \,\to\, \frac{dy}{dx}=\frac{b^{2}x}{a^{2}y} )] }}}
이상에서 해당 점 위의 접선의 방정식은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle y-y_{1}=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1}) )] }}}
위 식을 정리하면, 다음의 접선의 방정식이 얻어진다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )] }}}

'''[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우'''
위와 같은 방법으로 접선의 방정식이 다음과 같음을 증명할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 )] }}}
==== 특정한 기울기의 접선 ====
구하는 직선의 방정식을 [math(y=mx+n)]으로 놓아 이것을 쌍곡선 방정식에 대입하고, [math(x)]에 대한 이차 방정식을 만든다. 그 후, 해당 이차 방정식이 중근을 가지면, 즉, 판별식이 0이 되면 직선과 쌍곡선은 접하므로 그것을 이용하면 된다.

'''[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우'''
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle n=\pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})] }}}
이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})] }}}

'''[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우'''
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle n=\pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})] }}}
이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})] }}}

=== 쌍곡선의 광학적 성질 ===
쌍곡선의 광학적 성질에 대하여 알아보자.

[[파일:namu_쌍곡선의 광학적 성질.png|width=320&align=center]]

위 그림과 같이 쌍곡선 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \end{aligned} )] }}}
을 고려하자. 그리고 쌍곡선 위의 한 점을 [math({\rm P}(x_{1},\,y_{1}))]라 하고, 해당 점 위에서 그은 접선 [math(l)], 쌍곡선의 두 초점 [math({\rm F}(\sqrt{a^2+b^2},\,0))], [math({\rm F'}(-\sqrt{a^2+b^2},\,0))], 직선 [math(l)]과 [math(x)]축이 만나는 점 [math(\rm A)]를 고려하자.

직선 [math(l)]의 방정식은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]}}}
따라서 점 [math(\rm A)]의 좌표는 다음과 같이 구할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  {\rm A}\biggl(\frac{a^2}{x_{1}},\,0 \biggr) )]}}}
한편, [math(c^{2}=a^2+b^2)]라 놓으면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{{\rm FA}}&=c-\frac{a^2}{x_{1}} \\ \overline{{\rm F'A}}&=c+\frac{a^2}{x_{1}} \\ \overline{\rm{FP}}&=\sqrt{(x_{1}-c)^{2}+y_{1}^{2}} \\\overline{\rm{F'P}}&=\sqrt{(x_{1}+c)^{2}+y_{1}^{2}} \end{aligned})]}}}
또, 점 [math(\rm P)]가 쌍곡선 위의 점이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{x_{1}^2}{a^2}-\frac{y_{1}^2}{b^2}=1 \quad \to \quad y_{1}^{2}=\frac{c^2-a^2}{a^{2}}(x_{1}^{2}-a^{2})  )]}}}
이것을 대입하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}  \overline{\rm{FP}}&=\frac{x_{1}}{a}\biggl( c-\frac{a^{2}}{x_{1}} \biggr)=\frac{x_{1}}{a}\overline{{\rm FA}} \\\overline{\rm{F'P}}&=\frac{x_{1}}{a}\biggl( c+\frac{a^{2}}{x_{1}} \biggr)=\frac{x_{1}}{a}\overline{{\rm F'A}} \end{aligned})]}}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm{FP} }}{\overline{\rm{FA}} }=\frac{\overline{\rm{F'P} }}{\overline{\rm{F'A} }} \quad \to \quad \overline{\rm{F'P} }:\overline{\rm{FP} }=\overline{\rm{F'A} }:\overline{\rm{FA} } \end{aligned})]}}}
이것이 만족하려면 삼각형 [math(\rm PF'F)]에서 직선 [math(l)]은 [math(\angle \rm{F'PF})]의 각의 이등분선이어야 한다. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \angle {\rm F'PA}=\angle {\rm APF} \end{aligned})]}}}
결국 선분 [math(\rm F'P)]와 선분 [math(\rm FP)]를 연장해서 생기는 각 또한 맞꼭지각으로 같다.

이는 결과적으로 다음의 광학적 성질을 이끌어 낸다.

[[파일:namu_쌍곡선의 광학적 성질_2.png|width=320&align=center]]

 * 쌍곡선의 다른 초점을 향해 방사된 빛이 쌍곡선에 반사될 때, 초점으로 빛이 향한다. (적색광)
 * 쌍곡선의 다른 초점에서 방사된 빛이 쌍곡선에 반사될 때, 빛의 경로는 초점과 반사점을 잇는 선분의 연장선과 같다. (청색광)
== 기타 ==
 * [[물리학]]에서, 행성과 항성, 전자와 핵이 속박된 상황 등 중심력장에서 일정 조건을 만족시키면, 쌍곡선 운동을 하게 된다.
 * [[쌍곡선 함수]]가 이 쌍곡선과 관련되어 있다.
 * [[특수 상대성 이론]]에서 쌍곡선 기하학이 사용된다.

=== 비유적 표현 ===
>한아름 안고 백화점 나오는 손, 뒤따르는 거지의 '''쌍곡선'''
>
>이곳에는 이 사회에서 반드시 존재해 있는 도회의 '''쌍곡선'''이 흐르고 있는 것이었다. 보라! [[백화점]] 앞에 [[자선냄비]]와 굉장히 높은 빌딩 문간에 헌 누더기 잠자리와, 물건을 사가지고 가는 사람에게 매달리는 어린 거지를. 그곳에는 다 각각 다른 인생의 명암이 있는 것이었다. 이렇게 생각하고 보니 [[네온사인]]과 일루미네이션도 [[빈부격차|빈부귀천]]의 '''쌍곡선'''이 흐르는 것 같았다.
> -----
> ''[[https://newslibrary.naver.com/viewer/index.nhn?articleId=1933122700209102017&editNo=2&printCount=1&publishDate=1933-12-27&officeId=00020&pageNo=2&printNo=4686&publishType=00010|1933년 12월 27일 동아일보]]''

서로 만나지 않으면서 가까운 곳에서 출발해 멀어지는 쌍곡선의 특징에 착안해 '○○의 쌍곡선'과 같이 비유적 표현에 종종 사용된다. 대표적으로 '희비쌍곡선'이란 표현이 있다. 비슷한 시간이나 장소에서 발생/존재하지만 전혀 다른 방향으로 진행하는 속성을 가진 것을 비유한다.

=== 어원 ===
 * '''한자어'''
  * 쌍을 이루고 있는 곡선을 의미한다. 쌍곡선이라는 용어는 중국의 이선란(李善蘭)과 선교사 알렉산더 와일리(Alexander Wylie) 가 쓴 책「대미적습급(代微積拾級)」 (1859년) 에서 유래하였다.[[http://ct.mathlove.kr/shop/board/view.php?id=mathdic&search[subject]=on&search[word]=%BD%D6%B0%EE%BC%B1&no=954|#]]
 * '''영문'''
  * hyperbola는 [[고대 그리스]]의 수학자 아폴로니우스가 [[원뿔곡선]]을 분류하며 붙인 이름으로, 절단면이 원뿔면보다 더 기울어져 있는 것에 '넘치다'라는 뜻의 고대 그리스어 ὑπερβολή에서 유래했다.
== 관련 문서 ==
 * [[수학 관련 정보]]
 * [[기하학]]
 * [[원뿔곡선]]

[[분류:기하학]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]