Skewes' number

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== 개요 ==
[[남아프리카 공화국]]의 수학자 스탠리 스큐스(Stanley Skewes)가 제안한 [[수]]. [math(\pi(x) > \mathrm{li}(x))]를 만족하는 '''가장 작은[* 저 만족하는 수들이 워낙 커서 그들 중에서는 가장 작더라도 이미 엄청나게 큰 수에 달한다. 사실 홀수 완전수만 해도 만약 존재한다면 가장 작은 것만 해도 수천 자리에 달한다.]''' [[자연수]]를 의미한다. 

[math(\pi(x))]는 [[소수 계량 함수]]로 해당하는 1부터 x까지 존재하는 [[소수(수론)|소수]]들의 총 개수를 의미한다. 예를 들어 π(1)=0, π(2)=1, π(3)=2, π(4)=2, π(5)=3...

[math(\mathrm{li}(x))]는 '[[로그 적분 함수]]'로 [math(\displaystyle \mathrm{li}(x) = \int_0^x  \frac{1}{\ln t} dt)]로 정의되는 함수이다.

일단 이 두 함수는 다음[* 소수 정리의 증명은 여러가지가 있는데, '[[폰 망골트 함수]]'를 이용하여 [[소수 정리]]를 증명하는 경우에는 마지막에 이 관계를 보임으로써 증명을 끝마치게 된다. ]을 만족한다: [math(\pi(x) \sim \mathrm{li}(x))] 즉, [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\mathrm{li}(x)} = 1)]
 
로그 적분 함수가 조금 복잡해 보이지만, 어쨌거나 이 함수들은 일상적인 수 범위 및 컴퓨터로 확인할 수 있는 큰 범위의 수 내에서는 [math(\pi(x) < \mathrm{li}(x))], 즉 로그 적분 함수가 소수 계량 함수보다 더 큰 것처럼 보인다. [[http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%86%8C%EC%88%98%EA%B3%84%EB%9F%89%ED%95%A8%EC%88%98|참고]] 그렇지만 [[1914년]], 스큐스의 스승인 존 에든스너 리틀우드는 [math(x)]가 엄청나게 커지면 [math(\pi(x))]와 [math(\mathrm{li}(x))]의 대소 관계가 역전될 수 있으며, 심지어 [math(x)]를 무한히 증가시키면 그에 따라 [math(\pi(x))]와 [math(\mathrm{li}(x))]의 대소 관계도 무한히 역전을 거듭한다는 걸 증명했다. 

[[1933년]], 스큐스는 [[리만 가설]]이 참일 때 [math(\pi(x) > \mathrm{li}(x))]를 만족시키는 최초의 [math(x)]의 상한선은 [[자연로그의 밑|[math(e)]]][math( ^{e^{e^{79}}})], 대략 [math(10^{10^{10^{34}}})] 이하임을 보였다. 이는 10에 0이 10^^34^^개, 즉 100[[구]] 개가 있는 수를 '''다시 10 위의 지수로 올린,''' 미치도록 [[큰 수]]다. [[구골플렉스]]도 [math(10^{10^{100}})]인데... 거기에 [[1955년]]에는 리만 가설의 가정 없이 역전이 [math(10^{10^{10^{964}}})]안에는 일어나는 것을 보였다. [[구골플렉시안|[math(10^{10^{10^{100}}})]]]을 가볍게 능가하는 수준.

이후 증명 기술의 발달로 스큐스 수는 [[너프|급격히 줄어들었다.]] [[컴퓨터]]의 발달로 [[리만 가설]]의 핵심인 리만 제타 함수의 해에 대해 더 자세히 연구될 수 있었기 때문. [[2010년]]에는 [math(e^{727.95})] 정도까지 떨어졌다. 대략 317자리 정도 되는 수다.

원래는 '수학 논문에 등장하는 가장 큰 수' 타이틀을 가지고 있었지만 스큐스 수 자체가 계속 줄어들었고, [[1977년]]에는 [[그레이엄 수]]라는 [[넘사벽]]이 등장하면서 타이틀을 뺏겼다.

== 참고 항목 ==
 * [[소수 계량 함수]]
 * [[로그 적분 함수]]
 * [[그레이엄 수]]
 * [[큰 수]]

[각주]

[[분류:정수론]]