[include(틀:해석학·미적분학)]

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== 개요 ==
무한 [[수열]] [math(\{a_n\})]에 대하여 [math(n)]이 무한히 커지는 상황에서 [math(a_n)]이 [math(L)]에 한없이 가까워지면 [math(\lim\limits_{n\to\infty}a_n= L)]이라 한다. 이를 수열의 극한이라고 한다.--수열의 극혐--

== 상세 ==
엄밀하게는 수열의 극한도 [[엡실론-델타 논법|[math(\varepsilon\text-\delta)] 논법]]으로 정의된다. 단 이 경우 독립 변수 [math(n)]이 특정 값으로 수렴하지 않고 발산하기 때문에 [math(\delta)]를 쓰지 않고 '충분히 큰 수'라는 의미로 [math(N)], [math(M)]등으로 나타내기에 [math(\varepsilon\text-N)] 논법이라고 하기도 한다. 수열 [math(\{a_n\})]이 [math(L)]로 수렴한다는 것의 정의는 다음과 같다.

>임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여, ' [math(n > N)]이면 항상 [math(|a_n-L|<\varepsilon)]'이 성립하게 되는 자연수 [math(N)]이 존재한다.

위 논법으로 풀면 [math(N)]은 주어진 양수 [math(\varepsilon)]의 값에 따라 변하므로, [math(N)]이 [math(\varepsilon)]에 의존한다는 뜻에서 [math(N(\varepsilon))]과 같이 함수처럼 표현하기도 한다.

수열 [math(\{a_n\})]이 [math(L)]로 수렴한다는 것은, 아무리 [math(\varepsilon)]을 작게 잡아도 [math(a_n)]이 구간 [math((L-\varepsilon,\,L+\varepsilon))]에 포함된다는 것을 의미한다. 아직 무슨 뜻인지 모르겠으면, 아래 함수의 극한에서 [math(\varepsilon\text-\delta)] 논법을 참고하자.

예를 들어 [math(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac n{2n+1}=\dfrac12)]임을 보이자. 임의의 양수 [math(\varepsilon>0)]에 대해, [math(n>N \Rightarrow \left|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\right|<\varepsilon)]이 성립하는 [math(N)]이 존재함을 보이면 충분하다. 이때 [math(\left|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\right|=\dfrac12\dfrac1{|2n+1|} = \dfrac12{\left(\dfrac1{2n+1}\right)})]이므로 필요조건의 부등식은 [math(\dfrac12{\left(\dfrac1{2n+1}\right)}<\varepsilon)]임을 알 수 있다. 이를 [math(n)]에 대해 정리하면 [math(n>\dfrac1{4\varepsilon} - \dfrac12)]이므로 자연수 [math(N)]은 가장 간단한 형태로서 이 식에 [[최소 정수 함수|천장함수]]를 씌운 값 [math(N(\varepsilon) = \left\lceil\dfrac1{4\varepsilon} - \dfrac12\right\rceil)]으로 항상 존재함을 알 수 있다.[* 여기서 [math(N(\varepsilon))]은 부등식을 만족하기만 하면 되기 때문에 단 하나로 정해지는 게 아니다. 가령 [math(N(\varepsilon))]의 [math(\varepsilon)]에 [math(\dfrac\varepsilon2)]를 대입한 [math(\left\lceil\dfrac1{2\varepsilon}-\dfrac12\right\rceil)]를 [math(N(\varepsilon))]이라고 놓고 같은 방법으로 식을 전개하면 [math(\dfrac1{2(2n+1)}<\dfrac\varepsilon2)]가 얻어지므로 주어진 명제는 '[math(n>N(\varepsilon) \Rightarrow \left|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\right|<\dfrac\varepsilon2<\varepsilon)]'으로 여전히 참이다.] 천장함수의 성질에 따라 [math(n>N(\varepsilon) \ge \dfrac1{4\varepsilon}-\dfrac12)]이며 다음과 같이 식을 변형하면 [math(4n+2 = 2(2n+1) > 4N(\varepsilon) + 2 \ge \dfrac1\varepsilon \Rightarrow \dfrac1{2(2n+1)} = \left|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\right|< \dfrac1{4N(\varepsilon)+2} \le \varepsilon)], 즉 [math(\left|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\right|<\varepsilon)]으로 필요조건의 부등식이 항상 참이 됨을 확인할 수 있다. 따라서 [math(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac n{2n+1}=\dfrac12)]이다.

이 부분은 2015 개정 교육과정에서 [[미적분(2015)|미적분]]으로 넘어가 자연계 지망자(舊 이과생)만 배우는 내용이 되었다.

대학 해석학 수준이 되면 수열의 수렴성보다 엄밀한 조건으로 수열의 코시 수열 성질을 배우게 되는데, 코시 수열은 다음과 같이 정의된다.

>수열 [math(a_n)]이 존재한다고 하자. 그렇다면 이 수열이 코시 수열일 조건은 임의의 양의 실수 [math(\epsilon)]에 대하여, 이에 대응하는 적당한 자연수 [math(N)]가 존재하여 [math(n,\,m > N)]을 만족하는 자연수 [math(n,\,m)]에 대하여 다음 성질을 만족하는 수열이다.
>[math(d(a_n,\,a_m)<\epsilon)]
>(단, [math(d)]는 거리함수. 유클리드 공간에서는 두 수의 차의 절댓값이 된다.)

일반적인 유클리드 공간 내라면 수렴성 = 코시 수열 성질이지만, 일반 거리 공간이 되면 코시 수열 성질과 수렴성이 꼭 일치하는 건 아니다. 거리 공간이 완비성을 지니게 되면 코시 수열의 수렴성이 보장되며 반대로 말해서, 코시 수열이 수렴하게 되면, 이 코시 수열이 전제된 거리공간은 완비 거리 공간(complete metric space)이 된다.
 
== 활용 ==
 * [math(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n)]이 수렴하면 [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0)]이다. (역은 [[조화수(수학)|성립하지 않음]]에 주의하자. 이는 수렴하는 급수라면 반드시 성립해야 하는 [[필요조건]]이다.)
[include(틀:문서 가져옴, title=수열, version=156)]
[[분류:수학 용어]][[분류:해석학(수학)]]