[include(틀:상위 문서, top1=삼각함수)]
[include(틀:관련 문서, top1=푸리에 해석)]
[include(틀:삼각함수·쌍곡선함수)]
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[목차]
== 개요 ==
[[삼각함수]]와 관련이 있거나 삼각함수로 유도되는 함수들의 목록이다.

== 목록 ==
=== 여삼각함수 ===
>[math(\mathrm{ver}\,x = 1 - \cos x)]
>[math(\mathrm{vcs}\,x = 1 + \cos x)]
>[math(\mathrm{cvs}\,x = 1 - \sin x)]
>[math(\mathrm{cvc}\,x = 1 + \sin x)]
>[math(\mathrm{hvs}\,x = \dfrac{1 - \cos x}{2})]
>[math(\mathrm{hvc}\,x = \dfrac{1 + \cos x}{2})]
>[math(\mathrm{hcv}\,x = \dfrac{1 - \sin x}{2})]
>[math(\mathrm{hcc}\,x = \dfrac{1 + \sin x}{2})]
>[math(\mathrm{exs}\,x = \sec x - 1)]
>[math(\mathrm{exc}\,x = \csc x - 1)]
>----
>[math(\mathrm{arcver}\,x = \arccos(1-x))]
>[math(\mathrm{arcvcs}\,x = \arccos(x-1))]
>[math(\mathrm{arccvs}\,x = \arcsin(1-x))]
>[math(\mathrm{arccvc}\,x = \arcsin(x-1))]
>[math(\mathrm{archvs}\,x = \arccos(1-2x))]
>[math(\mathrm{archvc}\,x = \arccos(2x-1))]
>[math(\mathrm{archcv}\,x = \arcsin(1-2x))]
>[math(\mathrm{archcc}\,x = \arcsin(2x-1))]
>[math(\mathrm{arcexs}\,x = \mathrm{arcsec}(x+1))]
>[math(\mathrm{arcexc}\,x = \mathrm{arccsc}(x+1))]

[[삼각함수]]를 정의하는 [[단위원]]과 [[직각삼각형]]에서 삼각함수를 제외한 나머지 부분에서 정의되는 함수들이다.

=== [[할선|현]] 함수 ===
>[math(\operatorname{crd}x= \sqrt{\sin^2x +\displaystyle\operatorname{ver}^2x} = 2\sin\dfrac x2)]
>[math(\operatorname{acrd}x = 2\arcsin\dfrac x2)]
원의 [[할선]]의 길이를 정의하는 함수이다. [[단위원]] 위에서 중심각의 크기가 [math(x)]인 현의 길이를 [math(\operatorname{crd}x)]라고 한다. 이 함수의 [[역함수]], 즉 현의 길이가 [math(x)]일 때 이 현의 중심각의 크기를 [math(\operatorname{acrd}x)]라고 한다.

=== [[쌍곡선 함수]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=쌍곡선 함수)]

=== [[야코비 타원 함수]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=야코비 타원 함수)]

=== [[오일러 공식#s-1.1|허수지수함수]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=오일러 공식)]
오일러 공식을 함수꼴로 만든 것이다.

=== 코사인 사인 합 함수 ===
>[math(\mathrm{cas}(x) = \cos x + \sin x)][* 삼각함수의 합성 공식을 이용해 변형하면 [math(\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right))]]
단순하게 사인값과 코사인값을 더한 것으로 정의되는 함수이다. 함수 이름자마저도 '''c'''osine '''a'''nd '''s'''ine이다(...).
'[[장잉력|이런 거에까지 함수를 따로 정의해줘야 할까?]]' 하는 생각이 들 것이지만, 사실 이 함수의 주요 용도는 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Hartley_transform|하틀리 변환]]이라는, [[푸리에 변환]]과 유사한 변환식이다.
>[math(\displaystyle \{\mathcal{H}f\}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\mathbb{R}} f(t)\, \mathrm{cas}(\omega t)\, \mathrm{d}t)]

=== 싱크 함수(sinc function)[anchor(싱크 함수)] ===
 * 비정규화 싱크함수(unnormalized sinc function)
 ||<bgcolor=#fff><tablecolor=#373a3c><tablebordercolor=#fff>[math(\mathrm{sinc}\left(x\right) \triangleq \dfrac{\sin x}x)] ||
 * 정규화 싱크함수(normalized sinc function)
 ||<bgcolor=#fff><tablecolor=#373a3c><tablebordercolor=#fff>[math(\mathrm{sinc}\left(x\right) \triangleq \dfrac{\sin\pi x}{\pi x})] ||

사인함수의 변형으로, 원점에서 멀어질수록 진폭이 작아지는 특성 때문에 주로 디지털 음향학에서 자주 쓰인다. [[부정형|[math(x=0)]일 경우 값을 정의할 수 없지만]], [[삼각함수#s-3.2.2|이 문단]]에서 알 수 있듯이 [math(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}x = 1)]이기 때문에 편의상 [math(1)]로 잡는다.[* [[로피탈의 정리]]를 이용해도 같은 결과가 나온다.[br][math(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}x \xlongequal{\textsf{l'H\^opital}} \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1)]][* [math(\mathrm{sinc}(x)= \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\mathrm{cos}\left(\frac{x}{2^n}\right))]으로 정의하면 [math(\mathrm{sinc}(0)=1)]로 잘 정의된다.]

어원은 Sinus Cardinalis(Cardinal Sine)이다.

[[삼각 적분 함수|사인 적분 함수]]는 이 싱크함수의 적분으로 정의된다. 

[[구형파]] 함수를 [[푸리에 변환]]할 경우 얻을 수 있는 함수다.
 * [math(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\mathrm{rect}(x)\, e^{-2\pi i \xi x}\mathrm{d}x=\frac{\sin(\pi \xi)}{\pi\xi})]

=== [[바이어슈트라스 함수]] ===
||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablecolor=#373a3c,#c3c6c8><tablebgcolor=#fff,#191919>[math(\displaystyle f\left(x\right) = \sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n \pi x))] ||
단, [[0과 1 사이의 수|[math(0<a<1)]]], [math(b)]는 [math(7)] 이상의 [[홀수]]

[[카를 바이어슈트라스]]가 '''모든 실수에서 [[연속함수]]이지만 모든 실수에서 [[미분]]이 불가능한 함수'''로 고안한 것이다. 최초의 [[프랙털]]로도 알려져 있다.[* 단, 프랙털이라는 개념은 이 함수보다 나중에 나왔고 그에 따라 이 함수가 프랙털임이 밝혀진 것이다.]

=== [[병리적 함수#s-2.6|셀레리에 함수]] ===
||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablecolor=#373a3c,#c3c6c8><tablebgcolor=#fff,#191919>[math(f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\sin( a^{k}x)}{ a^k})] ||
위의 바이어슈트라스 함수와 비슷하게 연속이면서 미분이 불가능한 함수이다.

=== [[위상수학자의 사인곡선]] ===
[math(f(x) = \begin{cases} \sin \dfrac 1x, & \textsf{if }x \ne 0 \\ 0, & \textsf{if }x = 0 \end{cases})]
[[연결 공간]]의 반례로 자주 등장하는 함수이다.

=== [[집합 판별 함수#s-2|디리클레 함수]] ===
||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablecolor=#373a3c,#c3c6c8><tablebgcolor=#fff,#191919>[math(\displaystyle \bold1_{\mathbb Q}\left(x\right) = \lim_{m \to \infty} \left\{\lim_{n \to \infty} \cos^{2n}\left( m! \pi x \right)\right\})] ||
삼각함수로 나타낼 수 있는 [[집합 판별 함수]]의 일종으로, [[유리수]]일 때 1, [[무리수]]일 때 0의 값을 띠는 '''완전 불연속 함수'''이다.

=== [[에어리 함수]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=에어리 함수)]

=== 클라우젠 함수 ===
||<tablebordercolor=#fff,#191919><tablecolor=#373a3c,#c3c6c8><tablebgcolor=#fff,#191919>[math(\displaystyle \mathrm{Cl}_2(x) = -\int_0^x \ln\left|2 \sin\frac x2\right| \mathrm{d}x = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k^2})] ||
로그함수와 사인함수의 합성함수를 적분한 [[특수함수]]이다.

=== [[구데르만 함수]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=구데르만 함수)]

=== [[볼테라 함수]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=볼테라 함수)]

[각주][include(틀:문서 가져옴, title=삼각함수, version=680)]
[[분류:삼각함수]]