[include(틀:다른 뜻1, other1=삼각함수의 역도함수를 구하는 방법, rd1=삼각함수/역도함수)] [include(틀:특수함수의 목록)] [include(틀:삼각함수·쌍곡선함수)] [목차] == 설명 == '''삼각 적분 함수'''([[三]][[角]] [[積]][[分]] [[函]][[數]], trigonometric integrals)는 [[특수함수]]의 하나로, 각각 [math(\mathrm{Si}(x))], [math(\mathrm{Ci}(x))]로 표기하며, 정의는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Si}(x) &\equiv \int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm{d}t \\ \mathrm{Ci}(x) &\equiv -\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned})][* 그래프 그려주는 프로그램 중 하나인 Desmos에서는 무한대를 입력할 수 없던 시절부터 [math(\displaystyle \mathrm{Ci}(x)=\int_0^x\frac{\cos t-1}t\,\mathrm{d}t+\ln x-\int_0^1\ln{\!\left[\ln{\!\left(\frac1t \right)} \right]}\mathrm{d}t)]로 입력할 수 있다. 요즘은 {{{infty}}}라 쓰면 [math(\infty)]가 입력되지만 아직까지 사용은 제한적이다. 당장 이 함수도 제대로 출력되지 않는다.]}}} 이 함수에 대한 그래프는 아래와 같다. [[파일:나무_삼각적분함수_그래프_NEW.png|width=220&align=center]] 위 그래프에서 보듯 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Si}(x) = {\pi}/{2} )], [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ci}(x) = 0)]이다. == 특징 == 특이하게도 사인, 코사인만 적분이 정의되고 그 외의 [[삼각함수]]는 적분이 정의되지 않으며, 원본 함수와는 달리 [math({\mathrm{Si}(x)}/{\mathrm{Ci}(x)})]를 한다고 탄젠트 적분 함수를 만들 수 있는 것도 아니다. [[사인 곡선]]에서 유도되는 함수인 만큼 [[파동]]이나 전기적 신호를 다루는 학문에서 널리 쓰인다. 둘 다 [[대칭함수]]이다. [math(\mathrm{Si}(x))]는 홀함수, 실수부를 취한 [math(\Re(\mathrm{Ci}(x)))]는 짝함수이다.[* 실수부를 취하지 않을 경우 [math(x<0)] 범위에서 [math(\mathrm{Ci}(x)=\Re(\mathrm{Ci}(x))+i\pi)]이므로 짝함수가 아니다.] 양수 범위에서 [math({\rm Si}(x))]는 [math(x=\pi)]에서, [math({\rm Ci}(x))]는 [math(\displaystyle x={\pi}/{2})]에서 최댓값을 갖는다. 다음은 같이 급수 전개식을 갖는다. 이 식은 독일의 수학자 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Georg_von_Soldner|요한 폰 졸트너]]가 1809년에 제시했다.[*출처 Johann Georg von Soldner, 1809, [[https://archive.org/details/bub_gb_g4Q_AAAAcAAJ/page/n11/mode/2up|treatise Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante]] (영어 번역: Theory and tables of a new transcendental function)] 아래의 식에서 [math(\gamma)]는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Si}(x) &= \sum_{r=1}^\infty \frac{(-1)^{r-1} x^{2r-1}}{(2r-1)\cdot(2r-1)!} \\ \operatorname{Ci}(x) &= -\gamma -\ln x -\sum_{r=1}^\infty \frac{(-1)^r x^{2r}}{2r \cdot (2r)!} \end{aligned} )]}}}|| === 윌브레이엄-기브스 상수 === [include(틀:수학상수의 목록)] {{{+1 Wilbraham-Gibbs constant}}} 위에서 언급한 [math({\rm Si}(x))]의 최댓값인 [math({\rm Si}(\pi))]는 따로 [[https://mathworld.wolfram.com/Wilbraham-GibbsConstant.html|윌브레이엄-기브스 상수]]라는 이름이 붙어 있다. 약 [math(1.851937)] 정도의 값으로, [[푸리에 급수]]의 부산물 중 하나이다. [[https://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Wilbraham|헨리 윌브레이엄]]과 [[조시아 윌러드 깁스]]가 발견했다. 저 윌브레이엄-기브스 상수에 [math(\displaystyle {2}/{\pi})]를 곱하면 '기브스 상수'[* 약 [math(1.178980)]]라는 또 다른 상수가 된다. == 관련 문서 == * [[삼각함수]] * [[삼각함수/역도함수]] * [[사인 곡선]] [각주] [[분류:삼각함수]][[분류:비초등함수]]