[include(틀:고전역학)]
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== 개요 ==
{{{+1 conservative force · [[保]][[存]][[力]]}}}

어떤 힘이 한 일이 경로에 무관한 경우 그 힘을 '''보존력'''이라고 정의한다.

수학적으로 표현하면 보존력의 변위에 대한 [[적분]]은 경로독립이라는 것인데, 이 경우 이 적분한 물리량을 스칼라 함수로 나타낼 수 있다. 물리에서는 이를 [[퍼텐셜 에너지]]라고 부른다. 반면 그렇지 않은 힘을 비보존력이라고 부른다. 

물체에 보존력만 작용하면 역학적 에너지가 보존되고, 비보존력이 작용해 일을 하게 되면 그 일부가 열에너지 등으로 바뀐다. 여기서 유의할 점은 비보존력이 작용해도 방향이 수직이면[* 즉, 비보존력이 일을 하지 않으면] 역학적 에너지는 보존된다.

일반적으로 [[중력]], [[탄성력]], [[전기력]] 등이 보존력의 일종으로 알려져 있으며, 비보존력의 가장 일반적인 예시는 [[마찰력]], [[저항]]력 등이 있다. 실이나 줄로 여러 물체가 이어진 역학계에서도 물체 각각의 관점에서 보면 [[장력]]을 비보존력으로 볼 수 있다.[* 각각의 물체 관점에서는 장력을 그 물체(들)에 작용하는 외력으로 볼 수 있기 때문이다. 계 전체의 관점에서 보면 장력은 서로 상쇄되는 내력이다]
== 상세 ==
=== 보존력의 조건 ===
보존력 [math(\mathbf{F} )]의 큰 특징은 퍼텐셜 에너지 [math(U )]와 다음과 같은 관계에 있다는 것이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )] }}}
이 사실을 이용하면, 점 [math(\mathbf{1} )]에서 점 [math(\mathbf{2} )]로 이동했을 때 보존력이 한 일 [math(W )]를 구할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle W=\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}=\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} (-\boldsymbol{\nabla}U) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}  )] }}}
이때 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla}U \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}=\sum_{i}\frac{\partial U }{\partial x_{i}}dx_{i}=dU  )] }}}
따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\begin{aligned}\displaystyle W&=-\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} dU=-(U_{\mathbf{2}}-U_{\mathbf{1}})\\&=- \mathit{\Delta}U\end{aligned})]}}}
즉, '''보존력이 한 일은 퍼텐셜 에너지 변화량의 음의 값과 같다.'''


위 문단에서 보존력이 한 일은 경로에 의존하지 않는다고 하였다. 그렇기 때문에 경로가 폐곡선 형태라면, 즉 처음과 끝이 같다면, 보존력이 한 일은 다음과 같이 [math( 0 )]이어야 한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \oint \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}=0  )] }}}
[[스토크스 정리]]를 사용하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \oiint (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=0  )] }}}
가 되므로, 여기서 보존력이 만족시켜야 할 조건이 나온다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle  \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 )] }}}

이상에서 어떤 힘이 보존력일 조건은 아래의 두 개로 정리된다.
 * 어떤 퍼텐셜의 음의 [[그레이디언트]]를 취하면, 해당 힘으로 환원되어야 한다: [math( \displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )]
 * 힘에 회전 연산을 가하면, [math(0 )]이 되어야 한다: [math( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 )]

위의 조건은 퍼텐셜의 정의에 따라 일견 당연할 수 있고[* [[양자역학]]에서는 퍼텐셜이 좀 더 근본적인 물리량이다.], 아래의 조건은 거리에 따라 일정한 힘일 것을 말한다. 어떤 기준점(면)에서의 거리에 따라 일정한 힘이라면 보존력이 될 수 있다.[* 따라서 보존력이 아닌 것처럼 느껴지는 [[기압]] 등도 특정한 조건하에서는 보존력이 될 수 있다. 유압밸브나 기압밸브 등이 그 예시다.][* 열역학에서는 가역적인 과정을 가정하므로 열이 가해지 않는 공기의 기압은 보존력이 된다.]
=== 보존장의 에너지 보존 ===
보존력이 작용하여 미치는 공간을 '''보존장(conservative field)'''이라 한다. 보존장에서 총 에너지가 보존됨을 증명해보자.

물체가 갖는 총 에너지 [math(E )]는 운동 에너지 [math(T )]와 퍼텐셜 에너지 [math(U )]의 합이므로 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle E=T+U  )] }}}
따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \frac{dE}{dt} =\frac{d}{dt}(T+U)= \frac{dT}{dt}+\frac{dU}{dt} )] }}}
이때, [[운동 에너지]] 문서에서 [math( \displaystyle \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}=dT )]로 쓸 수 있음을 논의했다. 따라서 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \frac{dT}{dt}=\mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} \frac{d\mathbf{r}}{dt} )] }}}
퍼텐셜이 위치와 시간에 의존하는 함수 즉, [math( U(\mathbf{r},\, t) )]로 주어지면 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \frac{dU}{dt}=\sum_{i}\frac{\partial U }{\partial x_{i}}\frac{dx_{i}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t}=\boldsymbol{\nabla}U \boldsymbol{\cdot} \frac{d\mathbf{r}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t} )] }}}
따라서, 본래의 식에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \frac{dE}{dt} = (\mathbf{F}+\boldsymbol{\nabla}U) \boldsymbol{\cdot} \frac{d\mathbf{r}}{dt} + \frac{\partial U}{\partial t} )] }}}
이때, [math(\mathbf{F} )]는 보존력이고 [math(\mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )]를 만족시키므로 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \frac{dE}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} )] }}}
그런데, 대부분의 퍼텐셜은 시간에 의존하지 않으므로 우변은 [math( 0 )]이 됨에 따라
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \frac{dE}{dt} =0 )] }}}
따라서 '''보존장에서 물체의 총 에너지는 보존된다.''' 또한, 이것을 중등교육 수준으로 '''역학적 에너지 보존 법칙'''이라 한다. 

[[해밀턴 역학]]으로 가면 이 보존력은 곧 [[해밀토니안]] [math(\mathcal H)]이 된다. 즉, 이 문단의 맨 위의 식은 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \mathcal{H}=T+U  )] }}}
=== 비보존력이 한 일 ===
물체가 두 지점을 이동할 때, [[운동 에너지#s-2.1|일-운동에너지 정리]]에 따라 알짜힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같다. 따라서 알짜힘이 한 일을 [math(W_{T})]라 놓으면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle W_{T}=\Delta T  )] }}}
로 쓸 수 있다. 여기서 [math(T)]는 [[운동 에너지]]이다. 한편, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle W_{T}=W_{N}+W_{C} )] }}}
로 나눌 수 있는데, [math(W_{N})], [math(W_{C})]는 각각 비보존력, 보존력이 한 일이다. 위의 결과에 따라 [math(W_{C}=-\Delta U)]로 퍼텐셜 에너지 변화량으로 쓸 수 있다. 이상의 결과를 종합하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \begin{aligned} W_{N}=\Delta U+\Delta T  \end{aligned} )] }}}
이고, 물체가 지점 1에서 2로 이동했다고 하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \Delta U+\Delta T&=(U_{2}-U_{1})+(T_{2}-T_{1}) \\ &=(T_{2}+U_{2})-(T_{1}+U_{1})\\&=E_{2}-E_{1}\\&=\Delta E \end{aligned} )] }}}
따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} W_{N}=\Delta E \end{aligned} )] }}}
즉, 비보존력이 한 일은 물체의 역학적 에너지 변화량과 같은데 이는 '''비보존력이 작용되면 계의 역학적 에너지는 보존되지 않음'''을 시사한다.

많은 학생들이 '외력이 가해졌을 때 역학적 에너지가 보존되지 않는다', 혹은 '외력이 한 일이 역학적 에너지 변화량과 같다' 등 얕게 알고 있는 경우가 많은데, 정확히는 비보존력과 관련되어 있음에 유의해야 한다.
== 관련 문서 ==
 * [[물리학 관련 정보]]
 * [[고전역학]]
 * [[힘]]
 * [[일#s-4]]
 * [[퍼텐셜 에너지]]
 * [[해밀토니안]]
[[분류:물리학]]