[[분류:해석학(수학)]][[분류:한자어]]
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== 정의 ==
{{{+1 [[變]][[曲]][[點]] / inflection point}}}

어떤 함수의 [[볼록함수|볼록성과 오목성]]이 바뀌는 점. 예를 들어 어떤 함수가 변곡점 이전에서는 경사(기울기)가 점점 급해지는 추세였다면 변곡점이 지난 후에는 경사가 점점 완만해지게 된다. (물론 이 반대도 성립한다)

[[파일:나무_변곡점_설명그래프.png|width=170&align=center]]

위 그림은 [math(y=x^3-3x^2 )] (파란색 곡선)과 [math(y=1-3x )] (빨간색 직선)을 나타낸 것. [math(x=1)]을 경계로 [math(x<1)]일 때는 함수의 기울기가 감소하는 추세였다면 [math(x>1)]일 때는 점점 증가하고 있으므로 [math((1,\,-2))]은 이 함수의 변곡점이다. 변곡점에서의 접선인 [math(y=1-3x )]는 함수를 완전히 꿰뚫고 있다.[* 함수가 위로 볼록일때는 접선이 함수 위에 있고, 아래로 볼록 일때는 접선이 함수 아래에 있는데, 이 내용과 변곡점의 정의를 생각해보면 변곡점에서의 접선은 함수를 꿰뚫는 다는것을 알 수 있다.]

두 번 미분가능한 함수의 경우, 변곡점에서 도함수의 증감이 바뀌며. 이계도함수의 값이 0이 된다. 이 때 주의해야 할 점은 [math(f''(x)=0 )]인 지점이라고 꼭 변곡점이라고 할 수는 없다는 것이다. 예를 들어 [math(f''(x)=(x-1)^4)]의 경우 [math(f''(1)=0)]이지만 함수 [math(y=f(x))] 는 [math(x=1)] 에서 변곡점을 가지지 않는다.([math(x=1)] 양쪽의 [math(f'')]의 부호가 같다.) 

고등학교 과정에서는 "함수 [math(f)] 가 미분가능한 점 [math(x)] 에서 [math(f''(x)=0)]이고 [math(f'')]의 [math(x=0)] 좌우에서의 부호가 반대이면 [math(x)]는 변곡점이다"라고 하는데, 이 명제의 역 (conversion)인 "[math(x)]가 변곡점이면 [math(f''(x)=0)]이고 [math(f'')]의 [math(x=0)] 좌우에서의 부호가 반대이다"는 '''거짓'''이다. 실제로 모평에서 이런 낚시가 나왔었다. 어떤 점 [math(x)]에서 [math(f''(x)=0)]가 아니더라도 [math(x)]의 좌우에서 [math(f'')] '''부호가 반대이면 변곡점이다.''' 도함수가 미분불가능해도 변곡점은 나온다는 소리. 이 경우의 가장 대표적 예시는 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \mathit{f}\,(x) \equiv \begin{cases}
x^2&  (x > 0) \\ 
-x^2 &  \displaystyle (\textsf{elsewhere})
\end{cases}  )] }}}
이 함수의 도함수는 [math(f'(x)=|2x|)]인데 [math( x=0 )]에서 도함수가 미분 불가능하지만(이계도함수가 정의되지 않지만) 변곡점이다 ([math(f'')] 의 [math(x=0)] 좌우에서의 부호가 반대). 다만 고교과정을 벗어나면 변곡점 얘기를 하는 순간 두 번 미분가능하다는 것을 암묵적으로 가정하는 경우가 많다.

함수가 아닌 일반적인 평면[[곡선]]의 경우에도 국소적으로 함수 형태로 보았을 때 변곡점으로 나타나는 점들을 곡선의 변곡점이라 정의할 수 있는데, 이렇게 특정된 변곡점들이 좌표에 의존하지 않고 곡선에 고유하게 결정되기 때문이다. 미분기하의 매끄러운 곡선의 경우 [[곡률]]의 부호가 바뀌는 지점, 다항식으로 정의되는 대수곡선의 경우 접선이 접점에서 홀수 중복도(multiplicity)를 가지는 점이 변곡점이 된다.

== 기타 ==
[[삼차함수]]는 변곡점이 존재하는 최소 차수의 [[다항함수]]이며, 차수가 다른 다항함수와는 달리 유일하게 가능한 모든 그래프가 변곡점에 대하여 점대칭이다.

[[초등함수]] 가운데 무한 개의 변곡점을 갖는 함수로 [[삼각함수]]가 있다. 모든 삼각함수가 주기함수이기 때문.

비유적 용법으로, 신문 등 각종 대중 매체에서도 가끔 볼 수 있는 말인데, 무언가 중대한 전환점이 와 증감 추세가 바뀌었을 때 주로 쓰인다. 그러나 이 점이 온다고 해도 바로 형국이 전환되지는 않는다. 형국이 전환되는 점이라면 그건 변곡점이 아니라 '극점'이다.
 
다만 [[표준국어대사전]]에도 '변곡점'은 수학 분야 어휘로만 실려 있을 뿐, 이런 용법은 게재되어 있지 않으며, 타 한자문화권에서도 이런 의미로는 쓰지 않는 [[한국식 한자어]]다. [[네이버]] 뉴스 라이브러리 기준으로, '변곡점'이라는 어휘가 수학 이외 용법으로 처음 사용된 것은 [[https://newslibrary.naver.com/viewer/index.nhn?articleId=1978121900099205021&editNo=2&printCount=1&publishDate=1978-12-19&officeId=00009&pageNo=5&printNo=3935&publishType=00020|1978년 12월 19일자 매일경제 기사]]가 처음이며, 그 전에는 수학적 의미로 단 2차례 검색될 뿐이다.

왜 이렇게 쓰이는지 굳이 추측해 보자면 정확한 수학적 용어보다는 한자 뜻 풀이로 유추하여(변곡→곡선이 변한다) 단어를 새로 창조해내는 측면에서 사용한 것으로 보인다. 그리고 몇몇 사람들이 사용하니까 다른 사람들도 있는 단어인 줄 알고 따라 쓰게 되었을 것이다. '변곡점'이라는 용어는 학창시절 수학을 열심히 공부하지 않았어도 한 번쯤 들어봤을 법한 용어고, 그 특이한 성질 때문에 기억에 오래 남기도 한다. 그래서 수학을 배운 지 오래돼서 기억이 정확히 나지는 않지만 왠지 중요한 점이라는 막연한 생각에 사용되지 않았을까 추측된다.

[[버벌진트]]의 [[변곡점(앨범)|정규 7집]]의 제목이기도 하다.