[include(틀:특수함수의 목록)] [목차] == 개요 == '''베셀 함수(Bessel's function)'''는 베셀의 [[미분방정식]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(x^2-n^{2})y=0 \quad (n \geq 0,\,n \in\mathbb{R}) )]}}} 을 만족시키는 함수로, 흔히 헬름홀츠 방정식을 원통 좌표계에서 [[편미분방정식|변수분리]]할 때 반지름 성분에서 튀어나오게 된다. 이 함수를 처음 발견한 사람은 [[다니엘 베르누이]](D. Bernoulli; 1700 - 1782)지만, 수학적으로 정립한 사람이 베셀(F. W. Bessel; 1784 - 1846)[* [[연주시차]] 계산, [[천동설]] 폐기 등의 업적이 있다.]이기 때문에 그의 이름이 붙었다. 이 문서는 초등적인 방법으로 베셀 함수를 다룬다. 심층적인 정보는 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function|위키피디아(영어)]]을 참고하라. == 상세 == 위 미분방정식을 다시 쓰면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{x^{2}-n^{2}}{x^{2}}y=0 )]}}} 이 되므로 [math(x=0)]에서 정칙 특이점을 갖는다. 따라서 이 미분방정식은 프로베니우스의 해법으로 풀 수 있으며, 해의 모양을 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle　y(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r} )]}}} 으로 쓸 수 있다. 이것을 원래의 미분방정식에 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}(m+r)(m+r-1) x^{m+r}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} (m+r) x^{m+r}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r+2}-\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}n^{2}x^{m+r}=0 )]}}} 이 되고, 최저차항의 계수를 비교함으로써 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{0}[r(r-1)+r-n^{2}]=0 )]}}} 위 식이 일반적으로 성립하려면 [math(r= \pm n)]이어야 한다. 원래 프로베니우스의 해법을 적용할 때는 이 [math(r)]값들의 차의 유형을 조사해야 하나, 일단 이를 나중으로 미루고 우선 더 큰 값인 [math(r=n)]을 대입하여 식을 정리하면 계수에 대한 점화식을 얻을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} m(m+2n)x^{m+n}+\sum_{m=2}^{\infty} a_{m-2} x^{m+n}=0 )]}}} 이에 [math(a_{n})]에 대한 점화식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle a_{m+2}=-\frac{1}{(m+2)(m+2n+2)}a_{m} )]}}} 그러면 [math(a_{1})]에 대해선 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{1}(1+2n) =0 )]}}} 이 되고, [math(n \geq 0)]임을 고려하면 [math(a_{1}=0)]을 얻는다. 따라서 우리는 홀수 차수 항의 계수는 고려할 필요 없이 짝수 차수 항만 고려하면 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle m = 2s \quad (s=0,\,1,\,2,\,3,\, \cdots) )]}}} 로 쓰자. 그러면 위 점화식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{2s+2}=-\frac{1}{2^{2}(s+1)(s+n+1)}a_{2s} )]}}} 로 쓸 수 있고, 따라서 짝수차 계수에 대한 일반항 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{2s}=\frac{(-1)^{s}}{2^{2s}s!\cdot(s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) }a_{0} )]}}} 을 얻는다. 여기서 [[감마 함수]]의 성질 [math(\Gamma(t+1)=t\Gamma(t))]를 사용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \Gamma(s+n+1)&= (s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) \Gamma(n+1) \\ \therefore \frac{\Gamma(s+n+1)}{\Gamma(n+1)}&=(s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) \end{aligned} )]}}} 을 얻는다. 따라서 위 일반항에 대입하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{2s}=\frac{(-1)^{s} \Gamma(n+1)}{2^{2s}s!\cdot\Gamma(s+n+1) }a_{0} )]}}} 이때 [math(\displaystyle a_{0}=[{2^{n}\Gamma(n+1)}]^{-1} )]으로 택하면 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle y(x)=\sum_{s=0}^{\infty} \frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s+n+1) } \left( \frac{x}{2} \right)^{2s+n} )]}}} 으로 쓸 수 있는데, 이것을 [math(y(x) := J_{n}(x))]로 정의하고, 이를 '''[math(\boldsymbol{n})]차 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind of order [math(\boldsymbol{n})])'''라 한다. 참고로 [math(n)]이 정수일 때 다음과 같이 적분 꼴로 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J_{n} (x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (x \sin \theta - n\theta)\, \mathrm{d}\theta )]}}} 또한, [math(n=1/2)]일 때는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin{x} )]}}} 임을 쉽게 증명할 수 있다. [math(n=k/2\,(k=1,\,2,\,3,\,\cdots))]일 때의 제1종 베셀 함수는 아래의 [[베셀 함수#s-3.5|재귀 관계]] 문단의 관계식을 이용하면 구할 수 있다. 다시 본론으로 돌아오자. 베셀의 미분방정식은 2계 선형 상미분방정식이기 때문에 선형 독립인 해는 2개이다. 따라서 [math(r=-n)]일 때도 동일한 과정을 거치면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J_{-n}(x)=\sum_{s=N}^{\infty} \frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1) } \left( \frac{x}{2} \right)^{2s-n} )]}}} 임을 구할 수 있다. 여기서 [math(N)]은 [math(s-n+1>0)]을 만족시키는 최소의 [math(s)]값이다. [math(-n=-1/2)]일 때는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos{x} )]}}} 임을 쉽게 증명할 수 있으며, [math(-n=-k/2\,(k=1,\,2,\,3,\,\cdots))]일 때의 제1종 베셀 함수는 마찬가지로 [[베셀 함수#s-3.5|재귀 관계]] 문단을 참고하라. 따라서 베셀 미분방정식의 일반해를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y(x)=c_{1}J_{n}(x)+c_{2}J_{-n}(x) )]}}} 로 쓸 수 있다. '''단, [math(\boldsymbol{n})]이 정수가 아닐 때'''만 위와 같이 표현 가능하다. 왜냐하면 [math(n)]이 정수일 경우 [math(N=n)]이 되고 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} J_{-n}(x)&=\sum_{s=N}^{\infty}\frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}\\ &=\sum_{s=n}^{\infty}\frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+n}}{(k+n)!\cdot\Gamma(k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}\\ &=(-1)^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\cdot\Gamma(k+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}\\ &=(-1)^{n}J_{n}(x) \end{aligned} )]}}} 가 되어 더 이상 [math(J_{-n}(x))]가 선형 독립인 해가 아니기 때문이다. 즉, [math(n)]이 정수일 때는 [math(J_{-n}(x))]를 두 번째 해로 쓸 수 없다. 그래서 수학에서는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle Y_{n}(x)= \frac{ \cos{(n \pi)} J_{n}(x) -J_{-n}(x)}{\sin{(n \pi})} )]}}} 라는 '''[math(\boldsymbol{n})]차 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind of order [math(\boldsymbol{n})])''' 혹은 '''[math(\boldsymbol{n})]차 노이먼 함수(Neumann function of order [math(\boldsymbol{n})])'''를 정의하였다. 이 함수가 베셀 미분방정식의 두 번째 해가 됨이 알려져 있지만 증명이 만만치 않기 때문에 이 문서에서는 결과만을 기입했다. [math(n)]이 정수일 때는 위 식이 [math(Y_{n}(x)=0/0)] 꼴을 갖기 때문에 아래의 극한 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle Y_{n}(x)=\lim_{\nu\to n}\frac{\cos{(\nu\pi)}J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin{(\nu\pi)}})]}}} 으로 정의한다는 것에 유의하라.[* [math(n)]이 정수가 아닐 때 [math(Y_{n}(x))]가 해가 되는 이유는 곧 선형 독립인 두 해 [math(J_{n}(x))]와 [math(J_{-n}(x))]를 선형 결합한 형태를 띄기 때문이다.][* [math(n)]이 정수일 경우에 해가 되는 이유에 대해선 수준상 생략한다. 증명은 [[https://addi.ehu.es/bitstream/handle/10810/17969/Bessel%20Functions_Epelde%20Garc%C3%ADa.pdf?sequence=2&isAllowed=y|여기]]에서 Preposition 2.2를 참고하라.] [math(n)]이 정수인 경우, [[https://ghebook.blogspot.com/2011/12/bessels-differential-equation.html|복잡한 과정]]을 통해 제2종 베셀 함수를 아래와 같이 멱급수 꼴로 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle Y_{n}(x)=\frac{2}{\pi}J_{n}(x)\ln\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{\pi}\sum_{s=0}^{n-1}\frac{\Gamma(n-s)}{s!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}-\frac{1}{\pi}\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}\frac{\psi(s+1)+\psi(s+n+1)}{s!\cdot\Gamma(s+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s+n} )]}}} 여기서 [math(\psi)]는 [[감마 함수#디감마 함수|디감마 함수]]이다. 제2종 베셀 함수 또한 [math(n)]이 정수일 때 다음과 같이 적분 꼴로 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle Y_{n}(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x\sin\theta-n\theta)\,\mathrm{d}\theta-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt})e^{-x\sinh{t}}\,\mathrm{d}t )]}}} 따라서 베셀 미분방정식의 일반적인 해는 [math(n)]의 종류를 불문하고 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y(x)=c_{1}J_{n}(x)+c_{2}Y_{n}(x) )]}}} == 분석 == 가장 많이 사용되는 제1종 베셀 함수만을 기입하였다. 이 문단부터는 '베셀 함수'는 제1종 베셀 함수 [math(J_{n}(x))]를, '노이먼 함수'는 제2종 베셀 함수 [math(Y_{n}(x))]를 지칭한다. === 그래프 === [[파일:namu_베셀함수_1종_그래프.svg|width=350&align=center]] 위 그래프에서 베셀 함수의 특징을 살펴볼 수 있다. * 어느 정도 주기성을 띠나, 점점 0으로 수렴하는 형태이다.[* [math(x>0)] 범위에서 [math({\sin{(x^n)}}/{x})]와 개형이 비슷하다.] * 함숫값이 0이 되는 점은 무수히 많으며, 값이 해석적인 형태를 띠지 않는다. [[파일:Plot of Bessel functions of second kind_NEW_NEW.png|width=350&align=center]] 다만, 노이먼 함수는 위와 같이 어느 정도 주기성을 띠나 [math(x \to 0)]에서 발산하는 경향이 있다.[* [math(x>0)] 범위에서 [[삼각 적분 함수]] 중 [math(\mathrm{Ci}(x))]와 개형이 비슷하다.] === 베셀의 미분방정식의 다른 형태 === ==== 형태 1 ==== 베셀의 미분방정식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(x^2-n^{2})y=0 )]}}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )]}}} 의 사실을 이용하면 아래와 같은 꼴로 고칠 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)+(x^2-n^{2})y=0 )]}}} ==== 형태 2 ==== 이번엔 함수와 변수 치환 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} y(x)&=f(u) \\ u&=kx \end{aligned} )]}}} 를 고려하자. 여기서 [math(k)]는 상수이다. 이때, 미분방정식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} k^{2}x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}u^{2}}+kx \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}+(k^2 x^{2}-n^{2})f&=0 \\ u^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}u^{2}}+u \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}+(u^{2}-n^{2})f&=0 \end{aligned} )]}}} 으로 쓸 수 있어 [math(y(x)=A_{1}J_{n}(kx)+A_{2}Y_{n}(kx))]를 해로 갖는다. 이것은 다시 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} k^{2}x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y(x)}{\mathrm{d}(kx)^{2}}+kx \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}(kx)}+(k^2 x^{2}-n^{2})y(x)&=0 \\ x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}+(k^2 x^{2}-n^{2})y(x)&=0 \end{aligned} )]}}} 으로 쓸 수 있다. 즉, [math(\displaystyle y(x)=A_{1}J_{n}(kx)+A_{2}Y_{n}(kx) )]는 다음을 만족시킨다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(k^2 x^{2}-n^{2})y=0 )]}}} ==== 형태 3 ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{1-2a}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\left[ (bcx^{c-1})^{2}+\frac{a^{2}-n^{2}c^{2}}{x^{2}} \right]y=0 )]}}} 꼴의 미분방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y=A_{1}x^{a}J_{n}(bx^{c})+A_{2}x^{a}Y_{n}(bx^{c}) )]}}} 를 해로 갖는다. [math(a \sim c)]는 상수이다. 자세한 증명은 생략하며, [math(y=ux^{a})], [math(z=bx^{c})]의 치환을 통해 [math(u)], [math(z)]의 베셀 미분방정식으로 만듦으로써 증명할 수 있다. ==== 형태 4 ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}-2a\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+[(bce^{cx})^{2}+a^{2}-n^{2}c^{2}]y=0 )]}}} 꼴의 미분방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y=A_{1}e^{ax}J_{n}(be^{cx})+A_{2}e^{ax}Y_{n}(be^{cx}) )]}}} 을 해로 갖는다. [math(a \sim c)]는 상수이다. 자세한 증명은 생략하며, [math(y=ue^{ax})], [math(z=be^{cx})]의 치환을 통해 [math(u)], [math(z)]의 베셀 미분방정식으로 만듦으로써 증명할 수 있다. === 영점 === 베셀 함수의 영점은 [math(J_{n}(x)=0)] 혹은 [math(Y_{n}(x)=0)]을 만족시키는 [math(x)]값이다. 그래프에서 볼 수 있듯이 베셀 함수의 영점은 무수히 많으나, 이 값을 해석적으로 구하기는 어렵다. 따라서 이를 다루는 대부분의 교재에서는 몇몇의 베셀 함수의 영점의 근삿값을 구해서 표로 정리한다. 우리는 이 영점들을 [math(x := j_{n,k})], [math(x := y_{n,k})]로 정의할 것이며, 각각 [math(J_{n}(x))], [math(Y_{n}(x))]의 [math(k)]번째 영점이다. 다음은 베셀 함수의 몇몇 영점들을 나타낸 것이다. || [math(\boldsymbol{n})] || [math(\boldsymbol{j_{n,1}})] || [math(\boldsymbol{j_{n,2}})] || [math(\boldsymbol{j_{n,3}})] || [math(\boldsymbol{j_{n,4}})] || [math(\boldsymbol{j_{n,5}})] || || '''1''' || 2.4048 || 5.5201 || 8.6537 || 11.7915 || 14.9309 || || '''2''' || 3.8317 || 7.0156 || 10.1735 || 13.3237 || 16.4706 || || '''3''' || 6.3802 || 9.7610 || 13.0152 || 16.2235 || 19.4094 || || '''4''' || 7.5883 || 11.0647 || 14.3725 || 17.6160 || 20.8269 || || '''5''' || 8.7715 || 12.3386 || 15.7002 || 18.9801 || 22.2178 || 이외의 베셀 함수의 영점은 [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=BesselJZero%5Bn%2Ck%5D|이곳]]을, 노이먼 함수의 영점은 [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=BesselYZero%5Bn%2Ck%5D|이곳]]을 참고하라. 다만, [math(n)], [math(k)]를 각각 대입해야 값이 보인다. === 생성함수 === 베셀 함수에 대한 [[생성함수]]는 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \exp{\left[ \frac{x}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) \right]} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} t^{n}J_{n}(x) )]}}} === 미적분과 재귀 관계 === 베셀 함수의 정의식을 사용하여 다음을 얻을 수 있다. (혹은 생성 함수를 통하여도 증명할 수 있다.) i. [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{n}J_{n}(x) ]=x^{n}J_{n-1}(x) \Leftrightarrow \int x^{n}J_{n-1}(x)\,\mathrm{d}x=x^{n}J_{n}(x)+C )] i. [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{-n}J_{n}(x) ]=-x^{-n}J_{n+1}(x) \Leftrightarrow \int x^{n}J_{n+1}(x)\,\mathrm{d}x=-x^{n}J_{n}(x)+C )] 위 식으로부터 아래를 얻을 수 있다. i. [math(\displaystyle nJ_{n}(x)+xJ_{n}'(x)=xJ_{n-1}(x) )] i. [math(\displaystyle nJ_{n}(x)-xJ_{n}'(x)=xJ_{n+1}(x) )] 이상의 결과를 종합함으로써 다음을 얻을 수 있다. i. [math(\displaystyle J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)=\frac{2n }{x}J_{n}(x) )] i. [math(\displaystyle J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)=2J_{n}'(x) )] i. [math(\displaystyle \begin{aligned} J_{n}'(x)&=-\frac{n}{x}J_{n}(x)+J_{n-1}(x) \end{aligned} )] i. [math(\displaystyle \begin{aligned} J_{n}'(x)= \frac{n}{x}J_{n}(x)-J_{n+1}(x) \end{aligned} )] 다음의 성질 또한 있다. i. [math(\displaystyle J_{n}(x)J_{-(n-1)}(x)+J_{-n}(x)J_{n-1}(x)=\frac{2 \sin{(n \pi)}}{\pi x} )] i. [math(\displaystyle J_{n}(x)J_{-(n+1)}(x)+J_{-n}(x)J_{n+1}(x)=-\frac{2 \sin{(n \pi)}}{\pi x} )] i. [math(\displaystyle J_{n}(x)Y'_{n}(x)-J'_{n}(x)Y_{n}(x)=\frac{2}{\pi x} )] i. [math(\displaystyle J_{n}(x)Y_{n+1}(x)-J_{n+1}(x)Y_{n}(x)=-\frac{2}{\pi x} )] === 점근 꼴 === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{cases}\begin{aligned}\displaystyle &J_{n}(x) \approx \frac{1}{\Gamma (n+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{n} \quad& (x \ll 1) \\ \\ \displaystyle &J_{n}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos{\left( x-\frac{2n+1}{4} \pi \right)} \quad& (x \gg 1) \end{aligned}\end{cases} )]}}} === 직교성 === 베셀 함수는 가중 함수(weight function) [math(f(x)=x)]와 구간 [math([0,\,1])]의 내적에 대하여 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} )]}}} 이때, [math(\delta_{\alpha \beta})]는 [[크로네커 델타]]이고, [math(j_{k,m})]은 [math(J_{k}(x))]의 [math(m)]번째 영점이다. 이를 증명해 보자. [math(u := J_{n}(j_{n,\alpha}x))], [math(v := J_{n}(j_{n,\beta}x))](단, [math(\alpha \neq \beta)])는 각각 다음을 만족시킨다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle\begin{aligned} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right)+(j_{n,\alpha}^{2}x^2-n^{2})u&=0 \\ x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right)+(j_{n,\beta}^{2}x^2-n^{2})v&=0 \end{aligned} )]}}} 이때 위 식과 아래 식에 각각 [math(v)], [math(u)]를 곱하여 서로 뺀 뒤 정리해주면 다음과 같다. || {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} v\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) -u \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right)+ (j_{n,\alpha}^{2}-j_{n,\beta}^{2})xuv&=0 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ vx \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-ux \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right] + (j_{n,\alpha}^{2}-j_{n,\beta}^{2})xuv&=0 \end{aligned} )]}}} || 양변을 구간 [math([0,\,1])]에 대하여 적분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle\left[ vx \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-ux \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right]_{0}^{1} + (j_{n,\alpha}^{2}-j_{n,\beta}^{2}) \int_{0}^{1}\,\mathrm{d}x=0 )]}}} 이 된다. [math(u(1)=v(1)=0)]일 때 좌변의 첫째 항은 [math(0)]이 되고, [math(\alpha \neq \beta)]이면 위 등식을 만족시키기 위해선 다음을 만족시켜야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x=0 \quad (\alpha \neq \beta) )]}}} 이제 [math(\alpha=\beta)]인 경우를 증명하자. 다음의 적분 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(kx)\,\mathrm{d}x )]}}} 을 고려하도록 하자. 중요한 것은, 이제 [math(k)]는 베셀 함수의 영점이 아닌 임의의 수라는 것이다. 위와 유사하게 베셀의 미분방정식을 이용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(kx)\,\mathrm{d}x=-\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}} )]}}} 의 결과가 나온다. 여기에 극한을 취하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}^{2}(j_{n,\alpha}x)\mathrm{d}x=-\lim_{k \to j_{n,\alpha}}\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}} )]}}} 위 극한은 [[부정형|[math(0/0)] 꼴]]이 되기 때문에 [[로피탈의 정리]]를 사용해야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle -\lim_{k \to j_{n,\alpha}}\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}}\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}-\lim_{k \to j_{n,\alpha}} \frac{J_{n}'(k)j_{n,\alpha}J_{n}'(j_{n,\alpha})}{-2k}=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha}) )]}}} 그런데 베셀 함수의 성질 중 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle nJ_{n}(j_{n,\alpha}x)-j_{n,\alpha} xJ_{n}'(j_{n,\alpha}x)=j_{n,\alpha}xJ_{n+1}(j_{n,\alpha}x) )]}}} 로부터 [math(x=1)]을 대입하면 [math(\displaystyle J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})=J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha}) )]이고, 마찬가지의 방법으로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle nJ_{n}(j_{n,\alpha}x)+j_{n,\alpha} xJ_{n}'(j_{n,\alpha}x)=j_{n,\alpha}xJ_{n-1}(j_{n,\alpha}x) )]}}} 를 이용하면 [math(\displaystyle J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})=J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha}) )]를 얻는다. 이상에서 위 결과를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{1}{2}J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{1}{2}J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \end{aligned} )]}}} 으로 쓸 수 있고, [[치환적분]]을 이용하면 다음을 증명할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{b} x J_{n}\left( \frac{j_{n,\alpha}x}{b} \right) J_{n}\left( \frac{j_{n,\beta}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x &=\frac{b^{2}}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{b^{2}}{2}J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{b^{2}}{2}J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \end{aligned} )]}}} ==== 푸리에-베셀 급수 ==== [[푸리에 급수]]로 주기가 [math(2L)]인 함수 [math(f(x))]를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \biggl( a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} \biggr) )]}}} 로 전개할 수 있었고 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다. 유사한 방법으로 이 베셀 함수의 경우에도 구간 [math([0,\,b])]에 있는 함수를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} J_{n}\left( \frac{j_{n,k}x}{b} \right) )]}}} 로 전개할 수 있는데, 이것을 '''푸리에-베셀 급수(Fourier-Bessel series)'''라 한다. 각 항의 계수를 구하기 위해 양변에 [math(x J_{n}(j_{n,m}x/b))]를 곱하고, 구간에 대해 적분한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{b} x f(x) J_{n}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x&=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \int_{0}^{b}x J_{n}\left( \frac{j_{n,k}x}{b} \right)J_{m}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x \\ &=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{b^2 a_{k} \delta_{km}}{2} J_{n+1}^{2}(j_{n,m}) \\&=\frac{b^2 a_{m}}{2} J_{n+1}^{2}(j_{n,m}) \end{aligned} )]}}} 따라서 다음의 결과를 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle a_{m}=\frac{2}{b^2 J_{n+1}^{2}(j_{n,m})} \int_{0}^{b} x f(x) J_{n}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x )]}}} == 연관된 함수 == === 한켈 함수 === '''한켈 함수(Hankel function)'''는 다음과 같이 정의된 함수이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} H_{n}^{(1)}(x) &:= J_{n}(x)+i Y_{n}(x) \\ H_{n}^{(2)}(x) &:= J_{n}(x)-i Y_{n}(x) \end{aligned} )]}}} 간혹 제3종 베셀 함수라고 부르기도 하며, [math(H_{n}^{(1)}(x))]와 [math(H_{n}^{(2)}(x))]는 선형 독립이다. === 수정 베셀 함수 === '''수정 베셀 함수(modified Bessel function)'''는 다음의 미분방정식을 만족시키는 함수이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-(x^2+n^{2})y=0 )]}}} 다음을 각각 '''제1종 수정 베셀 함수''', '''제2종 수정 베셀 함수'''라 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} I_{n}(x) &:= i^{-n}J_{n}(ix) \\ K_{n}(x) &:= \frac{\pi}{2} \frac{I_{-n}(x)-I_{n}(x)}{\sin{(n \pi)}} \end{aligned} )]}}} 베셀 함수는 어느 정도 주기성을 띠면서 0으로 수렴하나, 이 수정 베셀 함수는 주기성이 완전히 없으며, 수렴하지도 않고 발산한다. 아래는 수정 베셀 함수의 그래프를 나타낸 것이다. [[파일:수정베셀_1종_NEW.png|width=350&align=center]] [[파일:수정베셀_2종_NEW.png|width=350&align=center]] === 구면 베셀 함수 === '''구면 베셀 함수(spherical Bessel function)'''는 구면 좌표계에서 [[라플라시안]]이 포함된 미분방정식을 풀었을 때, 반지름 성분에서 나오는 미분방정식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+2x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+[x^{2}-n(n+1) ]y=0 )]}}} 을 만족시키는 함수이다. 적절한 치환 [math(y(x) := Y(x)/\sqrt{x})]를 사용하면 위 미분방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x^{2}\left( \frac{3Y}{4x^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}x^{2}} \right)+2x \left( \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}-\frac{Y}{2x} \right) +[x^{2}-n(n+1) ]Y&=0 \\ x^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}+\left[ x^{2} - \left( n+\frac{1}{2} \right)^{2} \right]Y&=0\end{aligned} )]}}} 여기서 [math(k=n+1/2)]으로 둔다면, 위 미분방정식의 해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y(x)=C_{1} \frac{J_{k}(x)}{\sqrt{x}}+C_{2}\frac{Y_{k}(x)}{\sqrt{x}} )]}}} 가 된다. 여기서 나온 두 함수에 규격화를 목적으로 특정한 상수를 붙인 함수를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} j_{n}(x) & := \sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{n+1/2}(x) \\ y_{n}(x) & := \sqrt{\frac{\pi}{2x}}Y_{n+1/2}(x) \end{aligned} )]}}} 로 정의하고 각각 '''제1종 구면 베셀 함수''', '''제2종 구면 베셀 함수'''라 한다. 그런데 [math(k=n+1/2)]일 때는 [math(J_{k}(x))]와 [math(J_{-k}(x))]는 선형 독립으로써 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle Y_{n+1/2}(x) \to J_{-(n+1/2)}(x) )]}}} 로 대치하여도 상관없다. 따라서 제2종 구면 베셀 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y_{n}(x) = {j}_{-n}(x) )]}}} [math(n)]이 정수일 때는 더욱 간단한 표현으로 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J_{k+1}(x)=-x^{k} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{-k}J_{k}(x) ] )]}}} 의 관계식을 이용하자. 구면 베셀 함수와 베셀 함수와의 관계를 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{J_{n+3/2}(x)}{\sqrt{x}}&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{x^{-n}J_{1+n/2}(x)}{\sqrt{x}} \right] \\ \\ \therefore {j_{n+1}(x)}&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [ x^{-n}j_{n}(x) ] \end{aligned} )]}}} 의 관계를 얻는다. 이 관계는 임의의 [math(n)]에 대해서 성립하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} j_{n+1}(x) &= -x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ -\frac{x^{n-1}}{x^{n}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ x^{-(n-1)} j_{n-1}(x) \right] \right] \\ &= -x^{n+1}\cdot \frac{x^{n}}{x^{n+1}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ -\frac{x^{n-1}}{x^{n}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( -\frac{x^{n-2}}{x^{n-1}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ x^{-(n-2)} j_{n-2}(x) \right] \right) \right] \\ &= \cdots \\ &= x^{n+1} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n+1} j_{0}(x) \\ \\ \therefore\;\displaystyle j_{n}(x)&=x^{n} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n} \frac{\sin{x}}{x}\quad \left(\because j_{0}=\sqrt{\frac{\pi}{2 x}}J_{1/2}(x)=\frac{\sin{x}}{x}\right) \end{aligned} )]}}} 아래는 몇몇의 제1종 구면 베셀 함수를 기입한 것이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} j_{0}(x)&=\frac{\sin{x}}{x} \\ j_{1}(x)&=\frac{\sin{x}}{x^2}-\frac{\cos{x}}{x} \\ j_{2}(x)&=\left( \frac{3}{x^{2}}-1 \right) \frac{\sin{x}}{x}-\frac{3\cos{x}}{x^{2}} \\ j_{3}(x)&=\left( \frac{15}{x^{3}}-\frac{6}{x} \right) \frac{\sin{x}}{x}-\left( \frac{15}{x^{2}}-1 \right )\frac{\cos{x}}{x} \end{aligned} )]}}} 또한, [math(\displaystyle J_{-1/2}(x)={\cos{x}}/{x} )]임을 이용하고, 베셀 함수의 재귀 관계를 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y_{n}(x)=-x^{n} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n} \frac{\cos{x}}{x} )]}}} 로 쓸 수 있다. 아래는 몇몇의 제2종 구면 베셀 함수를 기입한 것이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} y_{1}(x)&=-\frac{\cos{x}}{x} \\ y_{2}(x)&=-\frac{\cos{x}}{x^2}-\frac{\sin{x}}{x} \\ y_{3}(x)&=\left( 1-\frac{3}{x^{2}} \right ) \frac{\cos{x}}{x}-\frac{3\sin{x}}{x^{2}} \\ y_{4}(x)&=\left( \frac{6}{x}- \frac{15}{x^{3}} \right)\frac{\cos{x}}{x}-\left( \frac{15}{x^{2}}-1 \right ) \frac{\sin{x}}{x} \end{aligned} )]}}} 아래는 구면 베셀 함수의 그래프를 나타낸 것이다. [[파일:Plot of Sperical Bessel functions of first kind_NEW_NEW.png|width=350&align=center]] [[파일:Plot of Sperical Bessel functions of second kind_NEW_NEW.png|width=350&align=center]] ==== 구면 한켈 함수 ==== '''구면 한켈 함수(spherical Hankel function)'''은 한켈 함수와 마찬가지로 구면 베셀 함수들의 선형 결합을 통해 만들어진 함수이다. 아래와 같이 '''제1종 구면 한켈 함수'''와 '''제2종 구면 한켈 함수'''를 정의한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} h_{n}^{(1)}(x) &:= j_{n}(x)+i y_{n}(x) \\ h_{n}^{(2)}(x) &:= j_{n}(x)-i y_{n}(x) \end{aligned} )]}}} === 슈트루페 함수 === '''슈트루페 함수(Struve function)'''는 수정 베셀 함수와 노이먼 함수의 합으로 정의된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \bold{H}_n(x) := K_n(x) + Y_n(x) )]}}} === 켈빈 함수 === '''켈빈 함수(Kelvin function)'''는 베셀 함수에 복소 [[지수함수]]를 합성해서 실수부・허수부를 취한 함수이다.[* 이름이 뭔가 낯이 익은데, 다름아닌 [[절대온도]]를 정의한 그 켈빈이 만든 함수이다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{ber}_n(x) &:= (\Re \circ J_n)(xe^{3 \pi i/4}) \\ \mathrm{bei}_n(x) &:= (\Im \circ J_n)(xe^{3 \pi i/4}) \\ \mathrm{ker}_n(x) &:= (\Re \circ K_n)(xe^{\pi i/4}) \\ \mathrm{kei}_n(x) &:= (\Im \circ K_n)(xe^{\pi i/4}) \end{aligned} )]}}} == 활용 == === 물리학적 활용 === 이 문단에서는 [[물리학]]적으로 베셀 함수가 사용되는 예를 실었다. [[물리학과]] 학생이면 [[수리물리학]]을 통해 급수해를 공부하면서 한 번쯤은 보고 가게 되는 문제들이다. * '''원형막의 진동''': 원형막의 끝을 고정시킨 상태에서 고유 진동 모드를 찾는 문제. * '''줄의 길이가 변하는 [[진자]]''': [[단진자]] 문제와 흡사하나, 줄의 길이가 시간에 따라 변하는 차이점이 있는 문제. * '''원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자''': [[양자역학]]에서 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자의 고유 상태의 고유 함수를 결정하는 문제. ==== [[막의 진동#s-2.2|원형막의 진동]] ==== [include(틀:상세 내용, 문서명=막의 진동, 문단=2.2)] ==== 줄의 길이가 변하는 진자 ==== 줄의 길이가 [math(l=l_{0} \pm |v|t)] ([math(l_{0})]는 [math(t=0)]에서의 줄의 길이이고, [math(|v|)]는 줄 길이의 변화 속력이다.)이고, 평형 위치로부터 [math(\theta)]의 회전각을 갖는 단진자의 물체의 좌표는 아래와 같이 표현할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} x&=l\cos{\theta} \\ y&=-l\sin{\theta} \end{aligned} )]}}} 이 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는 각각 아래와 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} U&=-mgl\cos{\theta} \\ T&=\frac{1}{2}m[(\dot{l}\cos{\theta}-l\sin{\theta} \dot{\theta})^{2}+(-\dot{l}\sin{\theta}-l\cos{\theta} \dot{\theta})^{2}] \\&=\frac{1}{2}m (\dot{l}^{2}+l^{2} \dot{\theta}^{2}) \end{aligned} )]}}} [math(l=l_{0} \pm |v|t)], [math(\dot{l}=\pm |v|)]임을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} U&=-mg(l_{0}+vt)\cos{\theta} \\ T&=\frac{1}{2}m[(\dot{l}\cos{\theta}-l\sin{\theta} \dot{\theta})^{2}+(-\dot{l}\sin{\theta}-l\cos{\theta} \dot{\theta})^{2}] \\&=\frac{1}{2}m (|v|^{2}+(l_{0} \pm |v|t)^{2} \dot{\theta}^{2}) \end{aligned} )]}}} 이상에서 우리가 논하는 진자의 [[라그랑지안]]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathscr{L}=m\biggl[ \frac{1}{2}[|v|^{2}+(l_{0}\pm|v|t)^{2} \dot{\theta}^{2}]+(l_{0}\pm |v|t)g \cos{\theta} \biggr] )]}}} 따라서 [math(\theta)]에 대하여 [[오일러-라그랑주 방정식]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \theta}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\theta}} )]}}} 을 통하여 운동 방정식을 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} -(l_{0} \pm |v|t)g \sin{\theta}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [(l_{0} \pm |v| t)^{2} \dot{\theta}] \\&=\pm 2(l_{0} \pm |v|t)|v| \dot{\theta}+(l_{0} \pm |v|t)^{2} \ddot{\theta} \end{aligned} )]}}} 미소진동 [math(\sin{\theta} \approx \theta)]를 고려하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle l\ddot{\theta} \pm 2|v| \dot{\theta}+g\theta=0 )]}}} 이 된다. 주의해야 할 것은 [math(l)]이 [math(t)]에 대한 함수이기 때문에 위 방정식을 감쇠 조화 진동자와 비슷한 방정식으로 생각하면 안 된다는 것이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle (l_{0} \pm |v|t)\ddot{\theta} \pm 2|v| \dot{\theta}+g\theta=0 )]}}} 이기 때문에 이 방정식을 풀기 위해 다른 방법을 찾아야 한다. 먼저 아래의 연쇄 법칙을 활용한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}l}=\pm |v|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}l} )]}}} 을 고려하고, 변수를 [math(t \to l)]로 교체하고 적절한 함수 치환 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \theta(l) = \frac{f(u)}{\sqrt{l}} \quad \quad u := \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} )]}}} 을 고려하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} u^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}u^{2}}+u \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}+(u^{2}-1^{2})f&=0 \end{aligned} )]}}} 으로 바꿀 수 있고, 이는 베셀의 미분 방정식이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \theta(l)=\frac{A'}{\sqrt{l}}J_{1}\biggl( \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} \biggr)+\frac{B'}{\sqrt{l}}Y_{1}\biggl( \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} \biggr) )]}}} 을 해로 갖는다. 따라서 해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \theta(t)=\frac{A'}{\sqrt{l_{0} \pm |v|t}}J_{1}\biggl( \frac{2\sqrt{g(l_{0} \pm |v|t)}}{|v|} \biggr)+\frac{B'}{\sqrt{l_{0} \pm |v|t}}Y_{1}\biggl( \frac{2\sqrt{g(l_{0} \pm |v|t)}}{|v|} \biggr) )]}}} 의 꼴로 주어지고, [math(A')], [math(B')]는 초기 조건으로 결정되는 상수이다. 가장 간단한 형태인 [math(\theta(0)=\theta_{0})], [math(\dot\theta(0)=0)]일 때만 알아보자. 쉬운 분석을 위해 변수를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \theta(u)=\frac{A}{u}J_{1}(u)+\frac{B}{u}Y_{1}(u) )]}}} 형태로 고칠 수 있다. 이때, [math(\theta(t=0)=\theta(u=u_{0})=\theta_{0})], [math(\dot\theta(t=0)=\dot\theta(u=u_{0})=0)]이고, 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \theta_{0}&=\frac{A}{u_{0}}J_{1}(u_{0})+\frac{B}{u_{0}}Y_{1}(u_{0}) \\ 0&=-\biggl[ \frac{A}{u_{0}}J_{2}(u_{0})+\frac{B}{u_{0}}Y_{2}(u_{0}) \biggr] \quad \biggl(u_{0} := \frac{2\sqrt{gl_{0} }}{ |v|} \biggr) \end{aligned} )]}}} 베셀 함수의 미분에는 베셀 함수의 미적분 관련 공식을 활용하였다. 위 식을 연립하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} A&=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2}Y_{2}(u_{0}) \\ B&=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2}J_{2}(u_{0}) \end{aligned} )]}}} 더욱 간단한 형태의 해를 얻기 위해 [math(u_{0})]에 제약을 걸자. [math(u_{0})]가 [math(J_{2}(u))]의 영점이라면, [math(B=0)]을 얻고, 해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \theta(u)=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2u}Y_{2}(u_{0})J_{1}(u) )]}}} 그런데 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle J_{1}(u_{0})Y_{2}(u_{0})-J_{2}(u_{0})Y_{1}(u_{0})=-\frac{2}{\pi u_{0}} )]}}} 가 성립하고, 좌변의 제2항은 상쇄[* [math(u_{0})]를 [math(J_{2}(u))]의 영점이라 놓은 것을 상기하라.]되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle Y_{2}(u_{0})=-\frac{2}{\pi u_{0}J_{1}(u_{0})} )]}}} 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \theta(u)=\frac{u_{0} \theta_{0}}{u J_{1}(u_{0})}J_{1}(u) \, \to \, \theta(l)= \theta_{0}\sqrt{\frac{l_{0}}{l} } \frac{1}{J_{1}(u_{0})} J_{1} \biggl( u_{0} \sqrt{\frac{l}{l_{0}} }\biggr) )]}}} 이고, 시간에 따른 각변위는 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \theta(t)= \theta_{0}\sqrt{\frac{l_{0}}{l_{0} \pm |v|t} } \frac{1}{J_{1}(u_{0})} J_{1} \Biggl(u_{0} \sqrt{\frac{l_{0} \pm |v| t}{l_{0}} }\Biggr) )]}}} 아래는 같은 [math(\theta_{0})]에 대해 [math(v>0)](줄의 길이가 늘어나는 상황)와 [math(v<0)](줄의 길이가 줄어드는 상황)에 대하여 시각에 대한 회전각을 나타낸 그래프이다.(단, 그 외의 조건은 임의대로 설정) [[파일:나무_줄의 길이가 변하는 진자_NEW.png|width=400&align=center]] 보다시피 다음의 결과를 얻는다. * [math(v>0)]인 경우는 시간이 지남에 따라 회전각의 최댓값은 감소하고, 진동수 또한 작아진다. * [math(v<0)]인 경우는 시간이 지남에 따라 회전각의 최댓값은 증가하고, 진동수 또한 커진다. 참고로 진동수는 인접한 [math(\theta(t))]의 영점 사이의 간격으로 판단할 수 있다. ==== 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자 ==== 다음과 같은 원형 [[슈뢰딩거 방정식/사각 퍼텐셜 문제|무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자]]를 고려하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle V(\rho)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (\rho \le R)\\ \displaystyle \infty &\quad (\rho>R)\end{array}\right. )]}}} [math(0<\rho