[include(틀:해석학·미적분학)]
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== 개요 ==
'''몫미분(몫의 미분법[* 현행 고교 교육과정에는 이 명칭으로 배움.], quotient rule)'''은 다음 [[유리수|유리함수]]의 도함수를 구하는 공식이다. 
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \displaystyle \frac {f(x)}{g(x)} \; )](단, [math( \displaystyle g(x) \neq 0 )]) ||
== 증명 ==
=== 미분계수를 이용한 증명 ===
함수
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \displaystyle F(x)=\dfrac {f(x)}{g(x)} \; )](단, [math( \displaystyle g(x) \neq 0 )]) ||
에 대하여 그 미분 계수는
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \displaystyle F'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \\&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \left[ \dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\dfrac{f(x)}{g(x)} \right] \\&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)} \end{aligned})] ||
위 결과의 분자에 [math(f(x)g(x))]를 빼고 더하면,
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \displaystyle F'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x)}{g(x)g(x+h)} \\&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \frac{g(x)[f(x+h)-f(x) ]-f(x)[g(x+h)-g(x) ] }{g(x)g(x+h)} \\&=\lim_{h \to 0}\frac{ g(x) \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x) \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} }{g(x) g(x+h)} \\&=\frac{\displaystyle g(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x )\lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} }{\displaystyle g(x) \lim_{h \to 0} g(x+h)} \\ &=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^{2}} \end{aligned})] ||
이상에서
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^{2}} \; )](단, [math( \displaystyle g(x) \neq 0 )]) ||

한편, [math(f(x)=1)]이면 다음이 성립한다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle \left[ \frac{1}{g(x)} \right]'=-\frac{g'(x)}{[g(x) ]^{2}} \; )](단, [math( \displaystyle g(x) \neq 0 )]) ||
=== [[곱미분]]을 이용한 증명 ===
함수
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \displaystyle F(x)=\frac {f(x)}{g(x)} \; )](단, [math( \displaystyle g(x) \neq 0 )]) ||
에 대하여 양변에 [math(g(x))]를 곱하면,
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \displaystyle f(x)=F(x)g(x) )] ||
이때, [[곱미분]]을 이용하여 [math(f(x))]의 도함수를 구하면,
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \displaystyle f'(x)=F(x)g'(x)+F'(x)g(x) )] ||
[math(F'(x))]에 대하여 정리하면,
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math( \displaystyle \begin{aligned} F'(x)&=\frac{f'(x)-F(x)g'(x)}{g(x)} \\&=\frac{\displaystyle f'(x)-\frac{f(x)}{g(x)}g'(x)}{g(x)} \\&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^2} \end{aligned} )] ||
== 활용 ==
 * [[유리함수|분수함수]]의 도함수를 구할 때도 쓰이지만 탄젠트 함수의 도함수를 증명할 때 용이하게 쓰인다. 자세한 것은 [[삼각함수/도함수|삼각함수의 도함수]] 참조.

== 기타 ==
 * 몫미분을 미분계수의 정의로 다루기엔 굉장히 복잡하기 때문에 아래처럼 [[곱미분]]을 먼저 다룬 뒤 그것을 활용하는 방법도 있다. [[대학수학능력시험]]에서는 위에 나오는 '''덧셈에 대한 역원'''[* 일부 재치 있는 교육자는 수학에서 역원을 활용하는 테크닉에 대해서 "If the problem gets complicated, do nothing mathematically.(문제가 복잡해지면, 수학적으로 아무것도 하지 마라.)"라고 가르치기도 한다.]을 증명 기법으로 쓰는 사고방식을 주로 요구하기 때문에 직접 증명하고 나아가는 것이 좋다.
 * 곱미분을 이용한 증명은 고교 교육 과정에선 다루지 않으나, 고교 이상의 교육과정에서는 간간이 쓰이기 때문에 한번 증명해 보는 것이 좋다.[* 학원에서는 이런 방법으로 증명하기도 한다.]
 * 애석하게도 몫미분과는 달리 몫에 대한 [[적분]]은 '''일반화된 해법이 없다'''.[* 간단한 몫 적분인 [math(\displaystyle \int \frac1x \, \mathrm{d}x)]는 [[로그함수]]가 되며, 여기서 피적분함수의 분자에 [[지수함수]], [[삼각함수]], [[쌍곡선 함수]]가 오면 각각 [[지수 적분 함수]], [[삼각 적분 함수]], [[쌍곡선 적분 함수]]라는 [[특수함수]]가 된다.] 만약 몫의 부정적분이 초등함수라면, 해당 역도함수는 [[리시 방법]]을 통해 구할 수 있다.

=== [[고등학교]] [[교육과정]] ===
 * 6차 교육과정: [[수학Ⅱ]]
 * 7차 교육과정: [[미분과 적분(7차)|미분과 적분]]
 * 2007 개정 교육과정: [[수학Ⅱ(2007)|수학Ⅱ]]
 * 2009 개정 교육과정: [[미적분Ⅱ|미적분Ⅱ]]
 * 2015 개정 교육과정: [[미적분(교과)|미적분]]
== 관련 문서 ==
 * [[도함수]]
 * [[곱미분]]
[[분류:수학 용어]][[분류:미적분]]