[include(틀:초등함수의 목록)]
[목차]
== 개요 ==
'''로그함수([[로그(수학)|logarithm]]ic function)'''는 [[진수]]에 변수 [math(x)]가 있는 [[함수]]를 의미한다. 즉, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(f(x)=\log_a x \quad(x>0,\,a>0,\,a\ne 1) )] [* 복소함수론에서는 [math(a<0)]인 로그도 정의할 수 있다. 복소수 [math(z=re^{i\theta})]의 편각 [math(\arg z=\theta)]의 범위를 주값인 [math((-\pi,\,\pi])]로 잡았을 때, [math(\log_{-1}e=\dfrac{\log_e e}{\log_e{-1}}=\dfrac1{\pi i}=-\dfrac i\pi)]이다. [[오일러 등식]]을 적용하면 안 되는 것이, 편각이 주기 [math(2\pi)]인 [[다가 함수]](즉, [math(e^{\pi i}=-1)]이 아니라 [math(e^{(2n+1)\pi i}=-1)])이기 때문이다. 자세한 것은 [[복소로그함수]] 참조.] }}}
꼴로 표현되는 함수를 의미한다.(로그의 정의는 [[로그(수학)]] 문서 참고.)

특히, 밑이 [math(a=e)]인 경우에 한해선
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\ln x:= \log_e x)] }}}
로 쓰고 [[자연로그]]라고 부른다. 그러나 대학수학 이상에서는 관련 분야 외에는 상용로그를 쓸 일이 거의 없기 때문에 자연로그를 [math(\log)]를 이용해 쓰는 것이 흔하다. 또한 [[정보이론]]이나 [[컴퓨터과학]]에서는 [[이진로그|밑이 2인 로그 [math(\log_2)]]]를 흔히 쓰므로 이를 [math(\mathrm{lb})] 혹은 [math(\mathrm{lg})][* ISO 표준에서는 밑이 [math(10)]인 로그이므로 주의]로 나타내기도 한다.

[[지수함수]]와 마찬가지로 유한 차수 다항식으로 표현할 수 없기 때문에 [[초월함수]]에 속한다.

[[삼각함수]]와 마찬가지로 거듭제곱 표기에 주의할 필요가 있다. 일반적으로 함수의 거듭제곱 표기는 [[합성함수|함수의 합성]]을 뜻하는데, 로그함수는 삼각함수처럼 결과값의 거듭제곱으로 쓰인다. 이를테면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} {\log_a}^2\,x&=(\log_a x)^2\\
&\ne(\log_a\circ\log_a)(x)=\log_a{(\log_a x)} \end{aligned} )] }}}
로그함수끼리 합성할 때에는 흔히 [math(\log\log x)]와 같은 식으로 괄호와 고리점을 생략하고 쓴다. 단적인 예로 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_the_iterated_logarithm|링크]] 참조.[* 해당 링크의 [math(\log)]는 자연로그다.]

[[https://youtu.be/90Z_ttp0-b4|고등학교 교육과정 수준에서 자세히 설명한 영상]]
== 그래프의 특징 ==
||<table width=250px> [[파일:namu_log_x_a>0.png|width=100%&align=center]] ||
||<table align=center><table bgcolor=#ffffff><rowbgcolor=#efefef,#555555> '''[math(\boldsymbol{a>1})]일 때 그래프 개형''' ||

||<table width=250px> [[파일:namu_log_x_0<a<1.png|width=100%&align=center]] ||
||<table align=center><table bgcolor=#ffffff><rowbgcolor=#efefef,#555555> '''[math(\boldsymbol{0<a<1})]일 때 그래프 개형''' ||

||<table width=320px><width=50%><#FFF> [[파일:Complex_log.jpg|width=100%&align=center]] ||<width=50%><#FFF> [[파일:Riemann_surface_log.svg|width=100%&align=center]] ||
||<table align=center><table bgcolor=#ffffff><rowbgcolor=#efefef,#555555><-2> '''[[복소평면]]에서의 그래프 개형'''[* 우측은 [[리만 곡면]](Riemannsche Fläche)으로 나타낸 것이다.] ||

[math(f(x)=\log_a x)]의 그래프는 다음과 같은 성질이 있다.
 * [math(a^0=1\Leftrightarrow\log_a 1=0)]이므로 [math(a)] 값에 관계 없이 점 [math((1,\,0))]을 지난다.
 * [math(a^1=a\Leftrightarrow\log_a a=1)]이므로 점 [math((a,\,1))]을 지난다.
 * [math(a^{-1}=\dfrac1a\Leftrightarrow\log_a\dfrac1a=-1)]이므로 점 [math(\left(\dfrac1a,\,-1\right))]을 지난다.
 * [math(a>1)]이면 단조증가하고, [math(0<a<1)]이면 단조감소한다.
 * 밑에 관계없이 [math(\log_a x = -\log_a\frac{1}{x})]이다.
 * [[지수함수]] [math(f(x)=a^x)]와 서로 [[역함수]] 관계에 있으므로, 해당 그래프와는 직선 [math(y=x)]를 기준으로 대칭이다. 즉, 밑이 0보다 크고 서로 같다면 '''지수함수 x좌표 = 로그함수 y좌표 / 지수함수 y좌표 =  로그함수 x좌표'''인 것이다.
  * [math(a \in (0,\,1) \cup (1,\,\sqrt[e]{e}\;\!])]일 경우, 밑이 [math(a)]인 지수함수와 반드시 하나 이상의 [[교점]]을 갖는다.[* 이 집합은 [[무한 지수 탑 함수]] [math(y=-\dfrac{W(-\operatorname{Log}{x})}{{\operatorname{Log}{x} }})]가 실수 공역을 갖는 집합이기도 하다.]
   * [math(a \in (1,\,\sqrt[e]{e}\;\!))]인 경우, 두 개의 교점을 갖는다.
=== 로그 나선 ===
[[파일:나무_로그나선.png|width=185&align=center]]
상수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 로그함수
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\theta(r)= b\ln{(ar)} )]}}}
를 [[극좌표]]에 나타낼 경우 그 그래프는 위와 같은 [[나선]]을 그리게 된다. 나선모양 자체는 증가함수나 감소함수가 극좌표상에서 그려지는 일반적인 모양이므로 특별할 것은 아니지만, [[야코프 베르누이]]는 로그함수에 의한 나선모양을 'spira mirabilis, 즉 '경이로운 나선 (miraculous spiral)'이라 칭송한다. 이는 로그나선이 가진 [[프랙탈 이론|자기유사성]] 때문이다. 

구체적으로, 그래프를 원점을 중심으로 확대 혹은 축소하더라도 자기 자신과 합동이 된다. 여러 [[프랙탈]] 도형들이 그렇듯 로그나선 또한 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_spiral#In_nature|자연에서 흔히 나타나는 도형]]이라고 여겨지고 있다. 대표적으로 [[앵무조개]]가 있다.
[[파일:앵무조개 껍데기.jpg|width=320&align=center]]

원점에서 나선 위의 임의의 한 점을 이은 직선과 그 점에서의 접선이 이루는 각은 항상 일정하다. 이때 그 각을 [math(\alpha)]라 하면 위 식에서 [math(b=\tan\alpha)]로 주어진다.

여담으로 야코프 베르누이는 이 경이로운 나선을 자신의 묘비에 새기길 바랐지만, 묘비에는 로그나선 대신 [[아르키메데스 나선]]이라는 엉뚱한 나선이 새겨졌다고 한다.
== 극한값 ==
 * [math(a>1)]인 경우
  * [math(\begin{aligned} \lim_{x\to\infty}\log_ax&=\infty \\ \lim_{x\to 0^+}\log_ax&=-\infty \end{aligned})]
 * [math(0<a<1)]인 경우
  * [math(\begin{aligned} \lim_{x\to\infty}\log_ax&=-\infty \\ \lim_{x\to 0^+}\log_ax&=\infty \end{aligned})]
 * [math(a> 1)]일 때[* [math(0< a< 1)]의 경우도 동일한 결과가 성립한다. 그러나 설명의 편의와 의의 전달을 위해 증가하는 경우를 상정함.], 임의의 실수 [math(p> 0)]에 대해 [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\log_ax}{x^p}=0)]
  * 통계학의 점근이론 등에 쓰이는 중요한 성질 중 하나로, '''매우 느리게 증가함'''을 의미한다. 분자와 분모 둘 다 증가함수지만, 분모가 증가하는 속도가 분자의 증가속도보다 훨씬 빠르다는 말이다. 여기서 포인트는 [math(p)]가 0보다 큰 임의의 '''실수'''. 즉, 로그함수는 직선 [math(y= x)] ([math(p= 1)])보다도 느리게 증가하고, 제곱근함수 [math(y= \sqrt{x})] ([math(p= 1/2)])보다도 느리게 증가한다.
  * 그래서 역함수인 지수함수는 성질이 정반대이다. 즉 지수함수의 증가는 어떠한 다항함수의 증가보다도 훨씬 빠르다.
 * [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{ x/{\ln x}}=1)] ([[소수 정리]][* [math(\pi(x))]는 [[소수 계량 함수]]이다. [math(x)]보다 작거나 같은 [[소수(수론)|소수]]의 개수이다.][* 이 식은 18세기 말에 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]와 [[아드리앵 마리 르장드르|르장드르]]에 의해 추측되었고 훗날 증명된 정리이며 최근에는 [[로그 적분 함수]] [math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln t})]를 이용한 식 [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{\mathrm{li}(x)}=1)]이 더 엄밀하다는 것이 알려져 있다.])
  * 충분히 큰 어떤 양수 [math(x)]에 대해 그 수보다 작거나 같은 [[소수(수론)|소수]]의 개수를 [math(x/{\ln x})]의 값으로 근사시킬 수 있다는 의미이다.[* 소수의 개수까지만 알려줄 뿐, 구체적으로 어떤 소수가 있는지는 알 수 없다. 그 실마리를 찾는 것이 그 유명한 [[리만 가설]]이다.]
 * [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n\right)=\gamma)] ([[오일러-마스케로니 상수]])
  * [[비례·반비례|반비례 관계]] 그래프와 접하는 [[자연수]] 막대들을 자연로그 그래프 모양으로 잘라낸 조각을 모아 그 넓이를 모두 합하면 특정한 수가 된다는 의미이다.

== 미적분 ==
[math(\log_ax={\ln x}/{\ln a})]의 관계가 있으므로 자연로그함수의 미적분법만 기술한다.

 * [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\dfrac1x)]
 * [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln^nx=\dfrac{n\ln^{n-1}x}x)]
 * [math(\displaystyle \int\ln x\,\mathrm{d}x=x\ln x-x+C)]
 * [math(\displaystyle \int\ln^nx\,\mathrm{d}x=x\ln^nx-n\int\ln^{n-1}x\,\mathrm{d}x)]
 * [math(\displaystyle \mathrm{li}(x)\equiv\int_0^x\frac1{\ln t}\,\mathrm{d}t)] ([[로그 적분 함수]])[* [math(x=1)]에서 특이점을 가지므로 [[코시 주요값]]을 이용해야 한다.]

== 기타 ==
 * [[미적분학]]에서는 [math(x^{-1})]의 정적분으로 [[자연로그의 밑|자연로그의 밑 [math(e)]]]와 자연로그함수를 먼저 정의하고 이것의 역함수로 지수함수 [math(e^x)]를 정의한 후, 다시 [[미적분]]을 활용해서 [math(a^x)]를 정의하기도 한다. 마치 수 체계를 확장해나가듯, 특정한 규칙과 그 속성을 유지하는 [math(e)]와 [math(\ln x)]가 먼저 정의되고 이 값들에 대해 일반화된 함수를 나중에 정의하는 셈. 역사적으로 지수함수보다 로그함수가 먼저 발명되었으므로 이는 역사적인 순서를 따라 정의하는 방법이라 할 수 있다. 그러나 로그함수와 지수함수는 근본적으로 동일한 현상이며 동전의 양면이기 때문에 어느 것을 먼저 정의하든 논리적 정합성만 지킨다면 상관 없다. 일례로 [[대한민국]]의 고등학교 수학 교육 과정에서는 [[지수함수]]를 배운 뒤 그 역함수로 소개하며 외국의 미적분학 교과서도 흔히 이 순서를 따른다. 당연하지만 지수는 중학교 때도 배워서 익숙한 개념이지만, 로그는 당장 처음 배워야 하기 때문이다.

 * 일본에서는 로가리듬을 '대수([ruby(対,ruby=たい)][ruby(数,ruby=すう)])'라고 하므로 로그함수 역시 '대수함수'[* '함수'를 보통 函数가 아닌 関数(관수)로 쓰는데, 단순히 函이 일본에서 상용한자가 아니기 때문에 발음이 かん으로 같은 関으로 대체해서 쓰는 것이다.]라고 한다. 이는 중국에서도 마찬가지[* 중국에서는 函이 상용한자 범위에 있기 때문에 한국과 똑같이 函数라고 한다.]이다.
 
 * [[소수(수론)|소수]]에서 상당히 중요한 함수로, 다름 아닌 [[소수 계량 함수]]와 깊게 엮여 있기 때문이다. 자세한 사항은 [[소수 정리]] 문서를 참조하자.
 
 * 일반화된 버전으로 [[폴리로그함수]]가 있다. 자세한 내용은 문서 참조.

 * [math(y=x^x)]이나 [[무한 지수 탑 함수]]처럼 괴상한 함수들의 미분이나 복잡한 [[부정형]]의 극한을 구할 때 [[자연로그]]함수의 미분을 많이 쓴다. [math(\ln x)]의 미분이 [math(1/x)]여서 계산이 여러모로 용이해지기 때문이다.

 * 밑에 상관없이 [[차수#s-2]]가 0이다.
== 관련 문서 ==
 * [[수학 관련 정보]]
 * [[함수]]
 * [[지수함수]]
 * [[복소로그함수]]
 * [[폴리로그함수]]
 * [[로그 적분 함수]]
 * [[로그 감마 함수]]

[[분류:로그(수학)]][[분류:해석학(수학)]][[분류:초등함수]]