[include(틀:선형대수학)]
[목차]
== 개요 ==
대각선행렬(對角線行列, diagonal matrix) 또는 대각행렬은 주대각선 상에 위치한 원소가 아닌 나머지가 0인 행렬을 말한다. 그리고 반대각선행렬은 반대각선 상에 위치한 원소가 아닌 나머지가 0인 행렬을 말한다. 이때 주대각선 이외의 행렬 성분은 [math(0)]이다. 
[math(M = \begin{pmatrix} {\color{red}a} & 0 & 0  \\ 0 & {\color{red}b} & 0  \\ 0 & 0 & {\color{red}c} \end{pmatrix} )]

행렬의 주대각선 성분만 가져와서 [math(\operatorname{diag}(a, b, c) )]라 부르기도 한다.

== 주대각선 ==
크기가 n × n인 정방행렬 M에서 주대각선(primary diagonal 또는 major diagonal)은 이 정방행렬 M의 i = j인 원소 M,,ij,,들을 말한다. 이 원소들이 왼쪽 위 끝에서 오른쪽 아래 끝까지 대각선을 만든다고 해서 주대각선이라고 한다. 이와 반대로 반대각선(anti-diagonal)은 이 정방행렬 M의 i + j = n + 1 (또는 i + j - 1 = n) 인 원소 M,,ij,,들을 말한다. 오른쪽 위 끝에서 왼쪽 아래 끝으로 이어지는 대각선이 주대각선과 반대 방향이라서 반대각선이라고 한다.

== 주대각성분 ==
주대각성분(main diagonal)은 그 [[행렬식]](전형적으로 정사각 행렬)의 왼쪽 위 끝에서 오른쪽 아래의 끝으로 이어지는 주대각선 상의 성분[* 즉, 행 번호와 열 번호가 동일한 성분]을 뜻한다. [[단위행렬]]은 주대각성분이 모두 1인 특수한 대각행렬이다.

이 주대각성분만을 취하여 그 합을 구하는 것을 [[주대각합]](trace)이라고 한다. 기호는 [math( \operatorname{tr}(\cdot) )].

skew-symmetric matrix[* A의 [[전치행렬|transpose]]가 -A와 같아지는 행렬]에서는 주대각성분들이 전부 0이어야 한다.
== 예 ==
=== 대각행렬 계산 예 ===
대각행렬 계산은 대각곱과 같다.
[math(M = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0  \\ 0 & -1 & 0  \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} )]  [math( = \left(  +5\begin{vmatrix}  -1 & 0  \\ 0 & 4 \end{vmatrix}  - 0\begin{vmatrix}  0 & 0  \\ 0 & 4 \end{vmatrix}  + 0\begin{vmatrix}  0 & -1  \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \right) )]  [math( =  + 5\left( -1\cdot4 - 0 \cdot 0\right) - 0  + 0 = 5 \cdot -1 \cdot 4 = -20)]

=== 대각합 계산 예 ===
[math(M = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0  \\ 0 & -1 & 0  \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}  =  + 5 + (-1) + 4  = 8)]
== 단위 행렬 ==
단위행렬(identity matrix)은  대각행렬의 특수한 경우이자 대칭행렬의 특수한 경우이다.
단위행렬(identity matrix)은 주대각성분은 모두 1이고 나머지 성분은 모두 0인 행렬로 기호로는 [math(I)], [math(E)] 등으로 적으며, 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle I_{ij}=\delta_{ij} )]}}}
여기서 [math(\delta_{ij})]는 [[크로네커 델타]]이다.
한편 
자신의 [[전치행렬]]과 같은 행렬.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(A=A^{T})]}}}
인 행렬이다. 즉, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(A_{ij}=A_{ji})]}}}
의 성질을 만족시키는 행렬이다.
=== n 단위행렬의 예 ===
n=4일때 단위행렬
[math( I =    \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0  \\  0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}  )] 
[math( I_{ij} =    \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0  \\  0 & a_{22}  & 0 & 0 \\  0 & 0 & a_{33}  & 0 \\  0 & 0 & 0 & a_{44}  \end{vmatrix}  =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}  \\  a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}  \\  a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}  \end{vmatrix}  =  \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & a_{42}  \\  a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{43}  \\  a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}  \end{vmatrix}  =   I_{ji} )] 
== 관련 문서 ==
 * [[대각화]]
 * [[주대각합]]
 * [[방데르몽드 행렬]]
 * [[대칭행렬]]
[include(틀:문서 가져옴, this=대각행렬, title=주대각성분, version=6, paragraph=2)]
[[분류:선형대수학]]