[include(틀:해석학·미적분학)]
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== 개요 ==
{{{+1 [[多]][[價]][[函]][[數]] / multivalued function}}}

일반적으로, [[함수]]는 정의역의 한 원소에는 치역의 한 원소만이 대응한다. 예를 들어 [[항등함수]] [math(\mathrm{id}_\mathbb R)]의 경우, [math(\mathrm{id}_\mathbb R(1)=1)] 한 가지 값만을 갖는다. 그런데 [[복소해석학]]을 배우다 보면, 여러 가지 값을 갖는 함수가 필요하다. 예를 들어, [[편각]] [math(\arg)]는 [math(\arg(1+i)=\pi/4, 9\pi/4,\cdots)]로 무수히 많은 값을 갖는다. 이렇게 여러 값을 갖는 함수를 다가 함수라고 한다. 명칭은 '함수'이지만, 함수의 기본적인 정의에 어긋나므로 진짜 함수는 아니다.

== 심화 ==
정의역이 [math(X)]이고 치역이 [math(Y)]인 다가 함수는, 실질적으로 [math(X\to\mathcal P(Y)\backslash \emptyset)][* [math(\mathcal P)]는 [[멱집합]]이다.]라고 생각할 수 있다. 즉, 정의역의 원소를 치역의 원소들의 모임, 즉 치역의 부분집합에 대응시키는 함수로 보는 것이다. 이 경우, [[로그 함수]]는 다음과 같이 생각할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\log(x)=\{y\in\mathbb C|e^y=x \})]}}}
이때 다가 함수 [math(f:X\to \mathcal P(Y)\backslash \emptyset)]의 주요값은 [math(\forall x\in X, g(x)\in f(x))]인 함수 [math(g:X\to Y)]로 정의된다.
선택 공리 하에서, 다가 함수의 주욧값은 항상 존재하는데, [math(f:X\to \mathcal P(Y)\backslash \emptyset)]의 치역 [math(\mathrm{range}(f))]의 선택함수 [math(C)]와 [math(f)]의 합성 [math(C\circ f)]가 [math(f)]의 주요값이기 때문이다.

=== 분지 절단 ===
복소 해석학에서 로그 함수를 정의할 때, [math(\operatorname{Arg}(\operatorname{Log}z)\in(-\pi, \pi])]이도록 한다. 이렇게 편각에 따라 주요값을 정하는 것을 분지 절단(branch cut)이라고 한다.

=== 리만 곡면 ===
||<tablealign=center><#FFFFFF> [[파일:Riemann_surface_sqrt.svg|align=center&width=160]] ||<#FFFFFF> [[파일:Riemann_surface_arcsin.svg|width=160]] ||
|| [[무리함수|[math(f(z) = z^{1/2})]]] || [[역삼각함수|[math(f(z) = \arcsin z)]]] ||

{{{+1 Riemannsche Fläche / Riemann [[曲]][[面]]}}}

다가 함수는 말 그대로 함숫값을 그리는 [[그래프#s-1]]가 여러 개이나, 이를 '''하나의 [[곡면]]'''으로 이어붙일 수 있는데 이 이어붙인 곡면을 '''리만 곡면'''이라고 한다. 이 개념을 제시한 [[베른하르트 리만]]의 이름을 땄다.
== 예시 ==
대부분의 다가 함수는 [[음함수]]의 역함수에서 나온다.
 * [[지수함수|[math(e^y = x)]]]에서 [[복소로그함수|[math(\log)]]]와 주요값 [math(\rm Log)]
 * [[거듭제곱|[math(y^n = x)]]]에서 [math(x^{1/n})]과 주요값 [[제곱근|[math(\sqrt[n]x)]]]

== 관련 문서 ==
 * [[함수]]
  * [[해석학]]
  * [[복소해석학]]
 * [[선택 공리]]

[[분류:해석학(수학)]][[분류:집합론]]