[include(틀:기하학·위상수학)]
[include(틀:평면기하학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[論]][[證]][[幾]][[何]][[學]] / Synthetic(axiomatic) geometry[* 각각 합성 기하학, 공리주의 기하학 등으로 번역되는 경우도 있고 약간의 뉘앙스 차이는 있지만, 가장 근접한 개념으로 사용된다.]}}}

[[해석기하학]]과는 다르게 좌표계를 이용하지 않고 순수한 기하적 공리(공준)만을 이용해서 도형에 관한 공식을 증명해 나가는 [[기하학]]을 뜻한다. 예로 중학 교과 과정에서 배우는 합동, 닮음, 원의 성질 등의 내용이 논증기하학의 내용이다. [[유클리드]]의 [[원론]]에서 파생되어 나온 [[유클리드 기하학]]과 비슷한 뜻으로 쓰이는 경우가 많지만, 논증기하학을 좀 넓게 보면 길이나 삼각비 등등의 수치적인 계산을 포함시키기도 하고, 이렇게 보면 해석기하학을 창시한 [[데카르트]] 이전의 모든 기하학은 논증기하학이라 볼 수 있다. '유클리드 기하학'을 '해석기하학을 포함한 유클리드 공간에 대한 연구'라는 의미로 사용하는 경우도 있다.

과거 [[고대 그리스]]부터 시작된 유구한 전통을 가지고 있는 학문이지만, 현재는 죽은 분야나 다름없다. 논증 기하학적 방법으로 증명할 수 있는 모든 것들은 그냥 도형을 [[해석 기하학|좌표 위에 올려 버리면]] 이론적으로는 전부 다 증명할 수 있기 때문.[* 근데 이것도 마냥 자명한 사실은 아니고 증명은 20세기 와서야 이루어졌고, 이 문제에 대한 고찰이 [[대수기하학|대수학의 분야]]를 탄생시키기도 했다.]  다만 의외로 논증기하학의 발전이 해석기하학 한참 이후인 19세기 중엽까지 이어진 걸 보아서는, [[비유클리드 기하학]]이 나오면서 기하학이 유클리드 공간을 벗어난 게 더욱 결정적이었을 것이다. 하여튼 현대수학에서 논증기하학을 언급하는 것은 사실상 무의미해졌다. 물론 역사적인 의미로 보면 당장에 유클리드의 제5공준이 [[비유클리드 기하학]]의 발생동기가 되었고, 사영기하학 등의 세부분야가 고전 [[대수기하학]]의 정립에 미친 영향이나 [[힐베르트]]의 23개 공리체계 등 지금도 현대수학에 남아있는 수많은 논증기하의 유산들이 있지만, 그나마도 관련 분야 전공자가 아니면 체감하긴 힘든 부분이다. 사실상 현대의 논증기하는 중등 교육과정을 제외하면 취미 수학 또는 수학 [[경시대회]](...)에서 가장 자주 나올 것이다.

== 내용 ==
좁게 보면 유클리드 [[작도]]를 다루는 [[원론]]의 내용들부터, 넓게 보면 평면에 대한 기하학 대부분의 ([[미분기하학]]에서 다루는 곡선 얘기는 제외) 내용이 들어간다. 교과과정에 나오는 합동, 닮음, 삼각형의 [[오심]](외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심), 원의 성질([[원주각]], [[방멱 정리|방멱]](원의 비례 관계)) 등등은 비교적 기초적인 편이고, 기타 수많은 이름붙은 원과 선, (특히 삼각형에 대한) 정리들이 있다. 여기 나무위키에선 [[기하학]] 문서, [[오심과 관련된 정리]]나 '분류:삼각형'의 정리들에 꽤나 많은 서술이 있지만, 더 파고들면 이것들도 빙산의 일각에 불과하다고 한다. --근데 경시대회 안하면 전공자도 모른다--

의외로 주요했던 분야로 사영기하학(projective geometry)이 있는데, 엄밀히 말하면 별도의 개념이 맞지만 [* 초창기 이후의 사영기하학은 사영 좌표(projective coordinate) 등등 [[해석기하학]]의 요소가 상당히 포함되었다. 근대적인 관점(에를랑겐 프로그램)에서 보면 사영기하학의 초점은 유클리드 공간의 합동변환이 아닌 사영변환에 맞추어져 있으니 아예 별도의 기하학으로 생각될 수 있다.] 그 출발은 논증기하학이었으니 많은 사영기하학의 내용이 논증기하학에 들어가기도 한다. 다만 현대수학에 미친 영향과는 다르게 지금 이 분야 자체를 배우는 건 커리큘럼도 없고 거의 불가능하다. [[파스칼 정리]]나 [[데자르그 정리]] 등에서 사영기하의 편린을 엿볼 수 있다.

== 교육과정에서 ==
한국에서는 [[중학교 수학|중학교 과정 기하학]]의 내용이 모두 논증 기하학이다. 해석기하학이 고등학교 수학에 나오는 만큼 일종의 예비 과정이라 생각할 수 있다. 내용뿐만이 아니라 수학적 증명의 사고에 익숙해지는 교육적 효과도 의도한 것이겠지만, 웬만한 직관력이나 수학적 감각이 뒷받침이 되지 않으면 [[보조선]]을 그려서 정리를 증명, 추론하는 과정을 유추하기가 그렇게 쉬운 편이 아니기 때문에 기피하는 면이 훨씬 크다.[* 어느 정도냐면, 그 유명한 [[르네 데카르트]]도 이 보조선에 환멸이 나서 논증기하학 때려치고 대수학에 관심을 갖게 되었다. 이후 대수학을 기하학에 접목시키면서 탄생한 것이 다름아닌 [[해석기하학]].] 결정적으로 [[비유클리드 기하학|평면이 아닌 곳]]에서는 '''논증기하의 공리들이 모두 무용지물이 된다는 것이다'''. 

고등학교 1학년 때 고등수학 상(上)에서 처음으로 [[해석 기하학]]을 배우게 되는데, 학생들은 마치 보조선으로부터 해방된 듯한 쾌감(...)을 맛본다고 [[카더라]].[* 물론 이는 사람마다 케바케가 있기 때문에 논증기하가 잘 맞았던 학생이라면 해석기하를 접하면서 역으로 [[멘붕]]을 경험하는 경우도 적잖이 있다. 특히 해석기하는 논증기하보다 계산량이 압도적으로 많다. 간단한 교점의 좌표나 수직이등분선의 식을 구할 때에도 연립방정식이나 이차방정식을 몇 번씩 풀어야 하는 경우가 다반사이다. 다만 좌표라는 값은 매우 강력한 도구라 과정 자체를 논하면 논증기하 쪽이 훨씬 복잡하긴 하다.] 참고로 중2 2학기 [[피타고라스 정리]]와 중3 2학기 [[삼각비]]에서 약간 해석 기하학의 맛을 볼 수 있다. 피타고라스 정리, 삼각비 자체는 논증기하학이지만 이 둘이 해석기하학의 기반이 되기 때문. 그리고 논증 기하학의 요소가 [[기하]]에서 공간도형 파트때 다시 나오기는 한다. '''그리고 논증 기하학과의 인연은 대부분 거기서 완전히 끝나며, 설령 수학을 전공하더라도 논증기하를 다시 만날 일은 거의 없다.''' 대신에 만약 수학 [[경시대회]]를 하게 된다면 논증기하는 4대 주요 출제과목 중 하나이므로 수학 전공자들도 잘 모르는 공부를 끝없이 하게 될 것이다. 
== 기타 ==
[[Euclidea]]
논증 기하학을 이용한 퍼즐게임. ~~상당히 어렵다.~~

[[분류:논증 기하학]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]