[목차] == 개요 == {{{+1 Graham's number (G)}}} 수학자 [[로널드 그레이엄]]이 [[조합론]]의 [[램지 이론]]을 연구하던 중 어느 문제의 해결을 위해 제시한 수이다. 간단히 말하자면 다음 조건을 만족하는 수. >[math(n)]차원 [[초입방체]][* [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EC%9E%85%EB%B0%A9%EC%B2%B4|한국어 위키백과]]에 초입방체에 대한 설명이 있으니 참고하자. 간단히 말하면 2차원은 정사각형, 3차원은 정육면체 등이다.]의 [math(2^n)]개의 꼭짓점을 모두 직선으로 연결한다. 그리고 이 선들을 2가지 색을 사용해 칠한다. '''이 때 [math(n)]이 충분히 크다면''' 칠하는 방법에 상관없이 동일 2차원 평면상에 있는 네 점을 연결한 6개의 선이 모두 같은 색인 것이 반드시 존재한다. 여기서 나온 '충분히 큰' [math(n)] 값이 바로 '''그레이엄 수'''이다. 그런데 이 수가 상상조차 쉽게 할 수 없을 만큼 크다. 아래 계산법을 보면 알겠지만, [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]만해도 쉽게 상상이 안 될 만큼 큰 수인데, 이 수조차 그레이엄 수의 처음 시작 부분에 위치하는 작디 작은(?) 수이다.[* 보통 [[WolframAlpha]]와 같은 수치 계산 프로그램에서 계산할 수 있는 한계는 [math(3 \uparrow\uparrow 4)]이며 [math(3 \uparrow\uparrow 5)]까지는 몇 자리 수인지는 표기가 가능하다.] 하지만, 실제로 인위적으로 창조한 [[수]] 중에서는 이보다 더 큰 [[수]]도 많다. 그냥 크기만 키우는 것 쯤이야 쉽기 때문. [[피쉬 수]], [[BIGG]], [[빅풋(수)|빅풋]],[* 그나마 [[라요 수]]는 물론, [[피쉬 수]] 7보다도 큰 수로 알려졌던 빅풋은 잘못 정의된 수로 밝혀졌다. 하지만 그걸 감안해도 그들에 비하면 그레이엄 수는 상대적으로 작디 작은 수이다.] [[http://googology.wikia.com/wiki/Meameamealokkapoowa_oompa|Meameamealokkapoowa oompa]] 같은 수는 그레이엄 수보다 아득하게 더 크며, 이보다도 더 큰 수들도 얼마든지 많으며, 큰 수 표기법으로 많이 사용하는 [[fgh]], [[BEAF]], [[E 표기법]], [[sgh]]등으로 쉽게 만들 수 있다. 하지만 큰 수의 대표격으로 그레이엄 수가 언급되는 것은 '''"수학적 증명에서 등장하는 가장 큰 수"'''이기 때문이다.[* 수학적 의미를 가지고 있는 수 중에서 가장 큰 수는 아니다. '''수학적 증명'''에 쓰인 것 중에서 가장 큰 수일 뿐이지 이보다 큰 수는 많다. 수학적 의미를 가지고 있는 수 가운데 그레이엄 수보다 큰 수로는 대표적으로 [[바쁜 비버 함수]]와 [[TREE(3)]], SSCG(3), SCG(13) 등이 있다. 하지만 [[라요 수]] 이상부터는 실용성은 물론, 수학적 의미와 계산 가능성마저도 내다버리고 만든 것이 대부분이다.] == 일러두기 == * [[커누스 윗화살표 표기법]]과 [[테트레이션]] 그레이엄 수의 계산을 알기 위해서는 [[지수(수학)|거듭제곱]] 이상의 계산을 하기 위해 쓰이는 하이퍼 연산 표기법중의 하나인 커누스 윗화살표 표기법을 알아야 한다. 앞으로 [[테트레이션]]의 계산으로 [math(\underbrace {a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}}_b)] 의 형태가 많이 나올텐데 이 문서에서는 '[math(a)]로 [math(b)]개의 지수 탑을 쌓는다'라고 표현하겠다. * 표기 간략화 수를 조금이나마 간단히 표현하기 위해 이 문서에서 앞으로 [math(\underbrace {a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a \uparrow a}_{a가\;b개})]를 [math(\underbrace {a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a \uparrow a}_{b})]로 간략하게 나타내겠다. 그러므로 [math(\underbrace {a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a \uparrow a}_{b})]에서 [math(b)]는 [math(\uparrow)]가 아닌 [math(a)]가 모두 몇 개인지를 나타낸다. [math(\left. \begin{matrix} \underbrace a \\ \underbrace b \\ \underbrace {\vdots} \\ \underbrace y \\ z \end{matrix} \right \} 26)] 마찬가지로 위의 표기에서도 [math(26)]은 총 몇 층인지를 나타낸다. == 처음 알려진 그레이엄 수(大 그레이엄 수) == 1977년, 이 수가 그 문제의 답이라는 것을 수학자 [[로널드 그레이엄]]이 증명했고 기존에 [[스큐스 수]]가 가지고 있던 "수학적인 증명에서 나타나는 가장 [[큰 수]]" 타이틀을 뺏어왔다. 게다가 지금 스큐스 수는 계속 줄어들고 있다. 비록 그레이엄이 이 수가 문제의 답임을 구하긴 했지만 그 답이 천문학적, 불교적이라는 수식어가 왜소할 정도로 큰 수인 관계로 수학자들은 이보다 더 작은 답이 없는지 계속 찾고 있다. === 계산 === 앞으로의 계산들에 넣은 괄호는 계산 순서가 어떻게 되는지 시각적으로 쉽게 이해할 수 있도록 넣은 것이지 괄호가 없어도 계산은 똑같이 된다. 그레이엄 수는 3이 주인공인 수이다. 먼저 3을 두 개 놓고 화살표를 한 개씩 늘려보자. [math(3 \uparrow 3 = 3^3 = 27)] [math(\begin{aligned} 3 \uparrow\uparrow 3 & = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \\ & = 3 \uparrow 27 \\ & = 7625597484987 \end{aligned})] [math(\begin{aligned} 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 & = 3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 \\ & = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 3 \uparrow 3) \\ & = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 27) \\ & = 3 \uparrow\uparrow 7625597484987 \\ & = \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3}_{7625597484987} \end{aligned})] 위는 3을 거듭제곱으로 7,625,597,484,987개의 지수 탑을 쌓아 올린 것이다. 그러니까 [math(\underbrace {3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}}_{7625597484987})] 이렇게 전개된단 얘기이다. 이미 이 단계에서부터 지수 탑을 일반적인 방법으로는 1초에 3개씩 써도 8만년이 걸리는 상상을 초월하는 큰 수가 나와버렸다.[* 알다시피 지수에 지수가 있는 것이 반복된 계단 형태는 위에 있는 지수부터 밑으로 계산해야 한다. 그래서 지수에 쓰인 수의 크기보다도 탑의 높이가 더더욱 의미가 크다. [br]맨 위에 있는 지수 [math(3^3=27)][br]그 아래 [math(3^{3^3}=3^{27}=7625597484987)][br]그 아래 [math(3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987} \approx1.258×10^{3638334640024})][br]그 아래 [math(3^{3^{3^{3^3}}} \approx 3^{1.258×10^{3638334640024}} \approx 10^{10^{10^{12.56}}})]...[br]이렇게 이런 계산을 총 7,625,597,484,986번이나 해야 그제서야 비로소 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]가 나오니 말 다했다. [math(3↑↑5)]를 10의 지수 탑으로 표시하면 맨 위의 수는 12.56이 나오는데, 이 값은 반올림일 뿐 실제 값과는 [math(3^{3^{3^3}})]만한 다중우주의 플랑크 길이와도 비교할 수 없을 정도로 차이가 크다. [[구골]]을 1번 플렉스하면 [[구골플렉스]], 2번 플렉스하면 [[구골플렉시안]]이 되는 방법으로 구골을 7625597484983번 플렉스해야 저 값과 비슷(?)해진다.(수가 너무 커서 값의 차이가 우주와 플랑크 길이의 차이와도 비교할 수 없는 수준인 건 말할 필요도 없고, 플렉스 횟수도 3의 지수 탑 높이와 별로 차이나지 않는다)] 2cm 크기로 3을 쓴다면 그 식을 쓴 글씨의 높이가 지구부터 태양까지 도달해야 저 지수 형태를 완성할 수 있다. [math(\begin{aligned} 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3 & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 \\ & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3) \\ & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 3 \uparrow 3)) \\ & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 27)) \\ & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow 7625597484987) \\ & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (\underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3}_{7625597484987}) \\ & = \underbrace{3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3}_{\underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3}_{7625597484987}} \end{aligned} \\ \qquad~\:\: \left. \begin{aligned} &&=\underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3} \\ && \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3} \\ && \underbrace{\qquad\;\;\:~~~ \vdots \qquad\;\;\:~~~} \\ && \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3} \\ && \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow 3}_{\displaystyle 3} \quad\;\:\,~ \end{aligned} \right \} \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3}_{7625597484987})] 이는 3으로 3개의 지수 탑을 쌓고, 그렇게 나온 그 수를 개수로 해서 3으로 지수 탑을 쌓고, 다시 그 수를 개수로 해서 3으로 지수 탑을 쌓고, 다시 그 수를 개수로 해서 3으로 지수 탑을 쌓고... 이를 총 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3-1)]번을 해야 하는 수이다. [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]이 얼마나 큰 수인지는 바로 위에 설명했으니 알 것이다.[* 사실 [math(3 \uparrow\uparrow 4)]만 해도 자연수로 나타내기 버겁다. [math(4 \uparrow\uparrow 3)]만 해도 이미 [[구골]]을 넘기는 154자리의 수이다. [math(n \uparrow\uparrow 3)]으로 [math(3 \uparrow\uparrow 4)]를 근사하면 [math(n)]의 값이 ≈11.72 정도가 되는데, [math(3 \uparrow\uparrow 4)]를 자연수로 나타내려면 10진수 기준 자릿수만 3조를 넘는다.] [math(\left. \begin{matrix} \underbrace {3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}} \\ \underbrace {3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}} \\ \underbrace {\quad \vdots \quad} \\ \underbrace {3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}} \\ \underbrace {3^{3^3}} \\ 3 \end{matrix} \right \} \underbrace {3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}}_{3^{3^3}})] 지수 형태로 나타내면 위와 같이 된다. 이제 이 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3)]를 수열 [math(g_n)]의 1번째 항이라고 정의한다. [math(g_1=3\uparrow^4 3)] 이 수도 굉장할 정도로 큰 수지만 주인공인 그레이엄 수까지는 아직 코빼기도 안 갔다. [math(g_2 = 3 \uparrow^{g_1} 3)] 2번째 항을 구하려면 역시 화살표의 개수를 늘려야 한다. 화살표가 몇 개냐면, 바로 [math(g_1)]개이다. [math(g_2)]는 [math(3 \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow 3)]에서 ↑의 개수가 [math(g_1)]개, 즉 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3)]개라는 것이다. 위에서 봤듯이, 화살표 1개만 늘려도 전개한 식은 어마무시하게 복잡해지는데 이 복잡한 확장 과정을 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3)]번 반복해야 한다. [math(g_3 = 3 \uparrow^{g_2} 3)] [math(g_4 = 3 \uparrow^{g_3} 3)] [math(g_5 = 3 \uparrow^{g_4} 3)] [math(\;\vdots)] [math(g_{64} = 3 \uparrow^{g_{63}} 3 = \text{Graham's\;number})] 그 다음 항을 구할 때도 마찬가지이다. [math(g_3)]은 화살표가 [math(g_2)]개, [math(g_4)]는 화살표가 [math(g_3)]개, [math(g_5)]는 화살표가 [math(g_4)]개 ... 이 과정을 계속하여 구한 64번째 항 [math(g_{64})]가 바로 '''그레이엄 수'''이다.[* 왜 하필 100도 아닌 64냐면 크기가 목표가 아니고 [[초입방체]]이기 때문. 애초에 그레이엄 수 자체가 수학적 증명에 사용된 가장 큰 수이기도 한데 보통 수학적 증명에서 사용된 큰 수들은 들어간 수가 100이 아니라 2의 몇제곱 식으로 쓰인다. [[큰 수]]의 함수 발화점 대다수(특히 [[TREE(3)]])가 3이라서 3을 쓰는 경우도 많다.] 한마디로 정리하면, 그레이엄 수는 아래 [[점화식]]으로 정의된 수열 [math(\{g_{n}\})]의 제64항인 [math(g_{64})]라고 할 수 있다. ||