[include(틀:기하학·위상수학)]
||<tablealign=right><bgcolor=#ffffff><table width=400><height=200> [[파일:namu_구_개요.png|width=65%&align=center]] ||
|| ▲ '''중심이 [math(\bf O)]이고, 반지름이 [math(\boldsymbol{r})]인 구''' ||

[목차]
== 개요 ==
'''구(sphere, [[球]])'''는 거리가 같은 점들의 집합을 나타내는 도형이다. 유클리드 공간에서 [[원(도형)|원]][* [math(\mathbb{R}^2)] 위에 정의된 1차원 다양체], 구[* [math(\mathbb{R}^3)] 위에 정의된 2차원 다양체], [[초구#s-2|[math(n)]-sphere]][* [math(\mathbb{R}^{n+1})] 위에 정의된 [math(n)]차원 다양체]와 같은 이름으로 불리기도 한다.

== 상세 ==
=== 구의 특징 ===
 * 구의 중심으로부터 점까지의 거리를 '''반지름'''이라 한다.
 * 점들 사이의 거리의 상한을 지름(직경)이라 한다.
 * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Connected_sum|연결합(connect sum)]]의 [[항등원]]이다. 즉 (임의의 다양체) # 구 = (임의의 다양체)이다.[* 즉, 구 # 구 = 구, [[원환면]] # 구 = 원환면 ... 이런 식이다.]

유클리드 기하에서 다음이 성립함이 알려져 있다:
 * 지름은 반지름의 2배이다.
 * 구는 한 축을 회전축으로 하여 반원을 1회전하여 얻을 수 있는 회전체이다.
 * 구는 어떤 평면으로 잘라도 그 단면이 [[원(도형)|원]]이다.
  * 단면 중 가장 큰 원(구의 반지름을 갖는 단면)을 그 구의 대원(Great circle)이라고 한다.
 * 내부에서의 [[입체각]]은 [math(4\pi)]이다.
 * [[곡률]]은 '''구 위의 모든 점에 대해서''' [math(r^{-2})]이다([[전개도]]가 아예 존재하지 않는다).

=== 구의 방정식 ===
3차원 직교 좌표계에서 중심이 [math(\mathrm{O}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]이고 반지름의 길이가 [math(r)]인 구를 생각해보자. 구 위의 한 점을 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}=(x,\,y,\,z))]라 하고, 원의 중심을 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}_{0}=(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]이라 하자. 그렇다면 반지름의 길이의 크기를 가지며, 방향은 반지름과 같은 벡터 [math(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})]를 고려할 때, 다음 식은 구를 기술하는 벡터 방정식이 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|=r )]}}}
양변을 제곱하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|^{2}&=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \boldsymbol{\cdot} (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \\&=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\\ &=r^{2} \end{aligned} )]}}}
이 되므로 구를 기술하는 방정식은 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2} )]}}}
이때, 이와 같은 꼴을 '''구의 방정식의 표준형'''이라 하며, 표준형을 전개하여 정리한 방정식은 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0 )]}}}
꼴로 나타나고 이를 '''구의 방정식의 일반형'''이라 한다.

구의 방정식의 일반형은 아래와 같이 표준형으로 정리될 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left( x-\frac{A}{2} \right)^{2}+\left( y-\frac{B}{2} \right)^{2}+\left( z-\frac{C}{2} \right)^{2}=\left[ \frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}}{2} \right]^{2} )]}}}
즉, 중심이 [math((A/2,\,B/2,\,C/2))]이고 반지름 [math(\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}/2)]인 구의 방정식임을 알 수 있다.

==== 양함수 형태 ====
위에서 도출된 구의 방정식은 음함수 형태이므로 이것을 양함수 [math(z=f(x,\,y))]의 형태로 다시 쓰면 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle f(x,\,y)=\pm \sqrt{r^2-[(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2]}+z_{0} )]}}}
이것은 구가 하나의 양함수로 표현되지 못하고, 두 개의 양함수로 표현됨을 알 수 있다.

부호가 양인 것은 평면 [math(z=z_{0})]를 기준으로 [math( z_{0} \leq z \leq z_{0}+r)]의 영역에 나타나는 상반구(아래의 그림에서 적색 영역), 부호가 음인 것은 동일한 평면을 기준으로 [math(z_{0}-r\leq z < z_{0})]에 나타내는 하반구(아래의 그림에서 청색 영역)이다.

[[파일:namu_구_상반구_하반구.svg|width=350&align=center]]

[[원(도형)/방정식|원의 방정식]]과 마찬가지로 [math(f(x,\,y,\,z) = (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}-r^{2})] 꼴로 바꿀 수 있으며, 이 함수가 그리는 그래프는 높이가 무한대이고 밑면이 구인 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Spherinder|구 초기둥(Spherinder)]]이다.

==== 구의 방정식의 다른 표현 ====
===== 매개변수 방정식 =====
3차원 직교 좌표계에서 두 매개변수 [math(0 \leq \theta \leq \pi)], [math(0 \leq \phi \leq 2\pi)]에 대하여, 중심이 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]에 위치하고 반지름이 [math(r)]인 구의 방정식을 아래와 같이 매개변수로 표현할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\begin{aligned} 
x&=r\sin{\theta}\cos{\phi}+x_{0}\\ 
y&=r\sin{\theta}\sin{\phi}+y_{0}\\ 
z&=r \cos{\theta}+z_{0}
\end{aligned}
\end{matrix}\right. )]}}}

===== 구면 좌표계에서의 방정식 =====
3차원 구면 좌표계에서 원점에 중심이 위치하고 반지름이 [math(r_{0})]인 구의 방정식은 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle r=r_{0} )]}}}
로 나타낼 수 있다.

=== 구의 겉넓이와 부피 ===
==== 겉넓이 ====
모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로, 반지름이 [math(r)]이고 중심이 원점인 구의 겉넓이를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 겉넓이를 구한 것이다.

해당 겉넓이는 구면 좌표계의 적분을 사용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int_0^{2\pi} \!\int_0^{\pi} r^2 \sin{\theta} \,{\rm d}\theta \,{\rm d}\phi = 4\pi r^2 )]}}}

==== 부피 ====
모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로, 반지름이 [math(r)]이고 중심이 원점인 구의 부피를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 부피를 구한 것이다.

해당 부피는 구면 좌표계의 적분을 사용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int_0^{2\pi} \!\int_0^\pi \!\int_0^r \rho^2 \sin{\theta} \,{\rm d}\rho \,{\rm d}\theta \,{\rm d}\phi = \frac43 \pi r^3 )]}}}

역사적으로는 [[아르키메데스]]가 구의 부피가 지름과 높이가 동일한 [[원기둥]]의 부피의 [math(2/3)]임을 [[구분구적법]]을 통해 밝혀냈다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\dfrac23 ( 2r \cdot \pi r^2 ) =\dfrac{4}{3}\pi r^{3} )]}}}
한편 직경(D)은 반지름의 2배(또는 반지름은 직경의 절반)이므로
[math(r = \left( \dfrac{D}{2} \right) )]이고
[math(\dfrac{4}{3}\pi r^{3} = \dfrac{4}{3}\pi \left( \dfrac{D}{2} \right)^{3} = \dfrac{4}{3}\pi \left( \dfrac{D^3}{8} \right) =\dfrac{4}{3 \cdot 8}\pi {D^3} =  \dfrac{\pi }{6} D^3 )]
=== 구와 도형 ===
==== 구와 접선 ====
구의 외부에서 그은 구의 접선과 반지름은 직교한다. 원의 접선과 원의 중심을 모두 포함하는 한 평면을 생각했을 때 해당 평면과 구의 교선은 원이고, 원 위의 접선은 반지름과 항상 직교함을 [[원(도형)]] 문서에서 증명한 바 있으므로 그것을 생각하면 직교할 수밖에 없다는 결론을 얻는다. 

[[파일:파일-나무_구_3_NEW.png|width=200&align=center]]

이상의 결과를 이용하면, 중심이 [math(\mathrm{C})]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 구 외부의 한 점 [math(\mathrm{P})]에서 접선을 그었을 때, 접선과 구의 교점이 [math(\mathrm{Q})]일 때, 삼각형 [math(\mathrm{PQC})]는 직각 삼각형이므로 구의 접선의 길이 [math(\overline{\mathrm{PQ}})]는 다음과 같이 주어짐을 쉽게 알 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=({\overline{\mathrm{PC} }}^{2}-r^2)^{1/2} )]}}}
또한 점 [math(\mathrm{Q})]는 구 위의 원을 그린다. [math(\mathrm{PQC})]이 직각 삼각형이기만 하면 되기 때문에 [math(\mathrm{Q})]는 하나로 정해지지 않기 때문이다. 아래의 그림을 참조하자.

[[파일:나무_구_4_수정.png|width=350&align=center]]

(a)는 3차원 상에서 점 [math(\mathrm{P})]에서 구 표면 위에 접선을 그었을 때 생기는 점 [math(\mathrm{Q})]의 자취를, (b)는 (a)를 2차원 상에 보기 좋게 표현한 것이다.

==== 접평면의 방정식 ====
접평면이란, 곡면에 접하는 평면을 구하는 것이다. 2차원에서 곡선에 접하는 접선을 구한 것의 3차원 버전인 셈이다.

[[델(연산자)]] 문서로 부터 [math(w=f(x,\,y,\,z))]의 4차원 함수의 등위곡면 [math(k=f(x,\,y,\,z))]의 표면에 수직한 벡터는 [math(f)]의 그레이디언트임을 논의했다. 이 결과를 사용하자.

공간좌표 상 모든 구는 평행이동을 통하여 원점을 중심으로 갖는 구로 이동시킬 수 있다. 즉, 이 경우에 한해서 구하면 임의의 중심을 갖는 구에 대해서는 평행이동을 통하여 구할 수 있다. 

좌표공간 상 중심이 원점이고, 반지름이 [math(r)]인 구를 고려하자. 이 구 위의 한 점 [math((x_{1},\,y_{1},\,z_{1}))]위의 접평면의 법선벡터는 [math(f(x,\,y,\,z)=x^2+y^2+z^2=r^{2})]로 놓음으로써
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}f(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})=(2x_{1},\,2y_{1},\,2z_{1}) )]}}}
이상에서 이 법선 벡터를 가지고 점 [math((x_{1},\,y_{1},\,z_{1}))]을 지나는 평면의 방정식이 곧 접평면이 되므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle x_{1}(x-x_{1})+y_{1}(y-y_{1})+z_{1}(z-z_{1})=0 )]}}}
이것을 정리하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle x_{1}x+y_{1}y+z_{1}z=r^{2} )]}}}
따라서 구의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]이고, 이때, 점 [math((x_{1},\,y_{1},\,z_{1}) \to (x_{2},\,y_{2},\,z_{2}))] 위의 접평면의 방정식을 구한다면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (x_{2}-x_{0})(x-x_{0})+(y_{2}-y_{0})(y-y_{0})+(z_{2}-z_{0})(z-z_{0})=r^{2} )]}}}
으로 쓸 수 있다.

==== 구와 구 ====
===== 두 구의 위치 관계 =====
좌표공간 상 중심이 각각 [math(\mathrm{O})], [math(\mathrm{O'})]이고, 반지름의 길이가 각각 [math(r)], [math(r')]([math(r \geq r')])인 두 구를 생각하자. 이때, 두 구의 중심 사이의 거리 [math(\overline{\mathrm{OO'}} \equiv d)]라 놓을 때, 다음이 성립한다.

 * '''한 구가 다른 구의 외부에 있는 경우''': [math(d >r+r')]
 [[파일:구_위치관계_1.png|height=100&align=center]]

 * '''외접하는 경우''': [math(d=r+r')]
 [[파일:구_위치관계_2.png|height=100&align=center]]

 * '''교선이 원이 되게 만나는 경우''': [math(r-r'<d<r+r')]
 [[파일:namu_구_위치관계_NEW_3.svg|height=100&align=center&bgcolor=#ffffff]]

 * '''내접하는 경우''': [math(d=r-r')]
 [[파일:구_위치관계_4.png|height=100&align=center]]

 * '''한 구가 다른 구의 내부에 있는 경우''': [math(0<d<r-r')]
 [[파일:구_위치관계_5.png|height=100&align=center]]

 * '''두 구가 중심이 같은 경우''': [math(0=d)]
  * '''두 구의 대원이 일치하는 경우''': [math(0 = d=r-r' \Leftrightarrow {\rm O \cong O'})]

===== 두 구의 교선을 지나는 구의 방정식 =====
좌표평면 위에서 두 구 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0)]과 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0)]을 고려해보자. 이 두 구의 교점을 [math((\alpha,\,\beta,\,\gamma))]라 놓으면, 교점에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A\alpha+B\beta+C \gamma +D&=0 \\ \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A'\alpha+B'\beta+C' \gamma +D'&=0 \end{aligned} )]}}}
이 성립한다. 다음과 같은 도형
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 \quad )] (단, [math(k \neq 1)])}}}
을 고려해보도록 하자. 이 도형은 이차항의 계수가 모두 같으므로 공간좌표 상 구를 기술한다고 볼 수 있다. 이 도형에 두 구의 교점을 대입하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A\alpha+B\beta+C \gamma +D)+k(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A'\alpha+B'\beta+C' \gamma +D')=0 )]}}}
이고, 이는 임의의 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 성립한다. 즉, 위 도형은 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 두 구의 교점을 지남을 알 수 있다. 

참고로 [math(k=-1)]일 때는 이차항이 상쇄되기 때문에 위 도형은 평면이 되므로 이를 제외해야 한다.[* 이때 이 평면은 두 구의 교선을 포함한다.]

===== 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식 =====
교선 위의 모든 점은 두 구의 공통적인 점의 집합이므로 결국 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )]}}}
가 두 구 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0)], [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0)]의 교점을 지나는 도형을 나타내는 방정식임을 상기하면서 [math(k=-1)]을 택하면 이차항은 모두 상쇄되어 평면의 방정식이 됨에 따라
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)-(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )]}}}
이 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식임을 알 수 있다. 이것을 정리하면 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (A-A')x+(B-B')y+(C-C')z+(D-D')=0 )]}}}

== 확장 ==
 * [[초구#s-2|[math(n \text{-})]초구]]는 [math(n+1)]차원 유클리드 공간에서 한 점으로부터 같은 거리에 있는 모든 정점들로 이루어져 있는 [math(n)]차원의 곡면이다. [math(n=2)]일 때를 특별히 "구"로 부른다.
  * 차원을 헷갈리기 쉽다. 예를 들어, 3차원 공간 안에 있는 구, 다시 말해 2-구는 미지수가 세 개인 식으로 표현할 수 있다. 하지만 실제로 매개변수화를 시키면 두 개의 각을 매개변수로 하는 좌표계로 옮길 수 있음을 알 수 있다. 따라서 보다 쉽게, 2-구의 차원은 3차원이 아니라 2차원임을 알 수 있다. 이를 일반화해서, [math(n \text{-})]구의 매개변수화에서는 [math(n)]개의 매개변수가 존재하므로 차원은 [math(n)]이 된다.
  * [math(n \text{-})]구의 겉넓이와 구의 부피는 아래와 같다.(단, [math(\Gamma(x))]는 [[감마함수]]이다.)
   * '''겉넓이''': [math(\displaystyle \frac{2{\pi}^{{(n+1)}/{2}} }{\Gamma\biggl( \dfrac{n+1}{2} \biggr )}{r}^{n} )]
   * '''부피''': [math(\displaystyle \frac{{\pi}^{(n+1)/2 }}{\dfrac{n+1}{2}\Gamma\biggl( \dfrac{n+1}{2} \biggr )}{r}^{n+1} )]

== 기타 ==
 * 대한민국 교육과정 상 초등학교, 중학교, 고등학교에서 고루 등장하나 초중등 과정에서는 거의 부피, 겉넓이, 모양 자체에 집중하는 편이고, 고등 과정에서 [[기하와 벡터]] 교과목을 통해 해석 기하학적으로 구를 접근한다.
 * [[위상수학]]에서는 [[다면체]]와 [[원기둥]], [[원뿔]]을 '''구와 똑같은 것(homeomorphism)으로 취급한다. 위상수학에서는 거리라는 것이 없다고 보기 때문에 결론적으로 구와 차이가 없어진다.[* 같은 원리로 [[머그|손잡이 달린 컵]] = [[도넛]]([[원환면]]과 위상동형)이 예시로 많이 언급된다.]
 * 일상생활 속 흔히 볼 수 있는 도형이다. 가장 쉬운 예로 축구공이나 농구공 등 각종 [[구기]] 종목들의 공의 모양은 구인 경우가 많다. 애초에 [[球]](구) 라는 한자가 '''[[공]]'''이라는 뜻이다.
 * 구와 관련된 기묘한 정리로 [[바나흐-타르스키 역설]]이 있다. 말하자면 구 하나를 유한 개의 조각으로 쪼개어 '''두 개의 구'''로 만들 수 있으며, 이 과정에서 생기는 조각들 중 '''부피를 구할 수 없는 조각'''이 있다는 정리이다.
 * 원을 경계삼은 꽉 찬 도형을 '원판(disc)'이라고 하는 것처럼, 구를 경계로 삼은 꽉 찬 도형은 '공(ball)'이라고 부른다.
> [[레너드 호프스태터]]: 어떤 농부가 자기 닭이 알을 안 낳아서 물리학자를 불렀대. 그런데 [[물리학자]]가 말하기를: "해결책이 있지만, 오직 '''진공상태의 구형 닭'''에게만 효과가 있을 테요."
> 
> "A farmer has some chickens who don't lay any eggs. The farmer calls a physicist to help. The physicist does some calculation and says "I have a solution but it only works for '''spherical chickens in a vacuum'''!" 
> 
> - [[빅뱅 이론(시트콤)|빅뱅 이론]]
 * [[물리학]]에서는 구형 동물을 언급하는 농담이 있다. 보통 가축으로 흔히 볼 수 있는 [[닭]]이나 [[소]]가 이 농담의 주인공이다. 농담의 요는 현실에서는 동물들이 복잡한 모양을 지니고 그 재질도 다양하고 계속 움직이고 성장/노화하는 등 변수가 매우 많지만 이론 속 물리학의 세계에서는 그런 복잡한 것은 다 치우고 가장 간단한 도형인 구로 가정한 이후 이론을 만든다는 것. 여기서 더 나아가 [[이상기체]] 속이나 [[진공]] 상태에서만 적용된다던가, 아니면 [[강체]]나 [[흑체]] 소라던가, 부피가 0인 소에만 적용된다던가 하는 농담이 있다.
 * 현재까지 인류가 발견한 가장 완벽한 형태에 가까운 구는 [[전자]]이다 .
== 관련 문서 ==
 * [[수학 관련 정보]]
 * [[기하학]]
  * [[해석 기하학]]
  * [[미분 기하학]] - 구 위에서의 기하학을 다룬다.
   * [[구면삼각형]]
 * [[원(도형)]]
  * [[공 모양]]
 * [[타원면]]
 * [[바나흐-타르스키 역설]]
 
[[분류:기하학]][[분류:위상수학]]