* [[수학 관련 정보]]
[include(틀:선형대수학)]

[목차]

'''The Fundamental Theorem of Invertible Matrices'''

== 개요 ==
어떤 [[행렬]]이 가역행렬일 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

== 가역행렬 ==
'''Invertible Matrix'''

[[역행렬]]이 존재하는 n×n 행렬 A를 가역행렬이라고 한다.

== 내용 ==
[math(A)]를 n×n 행렬, [math(T:V\rightarrow W)]를 [[선형 변환]]이라고 하자. 그리고 [math(\mathcal{B}, \mathcal{C})]를 각각 [math(V, W)]의 기저라고 하고, [math([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = A)] 라고 하자.

그럼 [[TFAE|다음은 모두 동치이다.]]

 * (a) [math(A)]가 가역행렬이다.
 * (b) [math(\mathbb{R}^n)]의 임의의 원소 [math(\mathbf{b})]에 대하여, [math(A\mathbf{x}=\mathbf{b})]의 해는 유일하다.
 * (c) [math(A\mathbf{x}=\mathbf{0})]은 유일한 해 [math(\mathbf{x}=\mathbf{0})]을 갖는다.
 * (d) [math(A)]의 [[rref|RREF]]는 [[단위행렬]] [math(I_n)]이다.
 * (e) [math(A)]는 [[기본행렬]]들의 곱이다.
 * (f) [math(\mathrm{rank}\left(A\right) = n)]
 * (g) [math( \mathrm{nullity}(A) = 0 )]
 * (h) [math(A)]의 열벡터들은 선형독립이다.
 * (i) [math(A)]의 열벡터들은 [math(\mathbb{R}^n)]을 생성한다.
 * (j) [math(A)]의 열벡터들의 집합은 [math(\mathbb{R}^n)]의 기저이다.
 * (k) [math(A)]의 행벡터들은 선형독립이다.
 * (l) [math(A)]의 행벡터들은 [math(\mathbb{R}^n)]을 생성한다.
 * (m) [math(A)]의 행벡터들의 집합은 [math(\mathbb{R}^n)]의 기저이다.
 * (n) [math( \det A \neq 0 )]
 * (o) 0은 [math(A)]의 [[고윳값]]이 아니다.
 * (p) [math(T)]는 가역이다.[* 역함수 정리에 의해 T가 전단사함수이면 inverse가 존재하는 것은 맞으나, 이 경우 T의 inverse 또한 [[선형 변환]]임을 보일 필요가 있다.]
 * (q) [math(T)]는 단사이다.
 * (r) [math(T)]는 전사이다.
 * (s) [math(\mathrm{ker}(T)=\{ \mathbf{0} \})]
 * (t) [math(\mathrm{range}(T) = W )]
 * (u) 0은 [math(A)]의 singular value가 아니다.

== 증명 ==
=== part 1 ===
|| 선형 시스템 관련 ||
 * (a) => (b) : b=A^(-1)x 로 유일.
 * (b) => (c) : b=0의 특수한 경우.
 * (c) => (d) : A의 [[rref|RREF]]를 R이라고 하면 Ax=0와 Rx=0의 해는 같아야 하므로 Rx=0의 해는 유일해야 하고 free variable이 없어야 하며 따라서 R에는 zero row가 없어야 한다. 즉 R=I.
 * (d) => (e) : A와 I_n이 [[행 동치]]이므로 I_n에 적절한 [[row operation]]들을 유한 번 취해주어, 즉 적절한 [[elementary matrix]]들을 유한 번 곱해주어 A로 만들 수 있다. I_n은 행렬곱에 대한 항등원이므로 A는 기본행렬들의 곱으로 나타내어진다.
 * (e) => (a) : 기본행렬들의 행렬식은 0이 아니고, 임의의 n×n 행렬 P, Q에 대해 det(PQ)=det(P)det(Q)이므로 성립.

=== part 2 ===
|| Rank Theorem 관련 ||
 * (f) <=> (g) : [[Rank Theorem]]
 * (g) <=> (c) : nullity(A)=0 <=> null(A)=0[* 영공간] <=> Ax=0이면 x는 영공간에 속한다. <=> Ax=0이면 x=0이다.
=== part 3 ===
|| 열공간, 행공간 관련 ||

=== part 4 ===
|| 선형변환 관련 ||

=== part 5 ===
|| 기타 (행렬식, 고윳값, singular value) ||
== 같이 보기 ==
 * [[행렬(수학)|행렬]]
  * [[역행렬]]
  * [[기본행렬]]
  * [[rref|RREF]]
 * [[행렬식]]
 * [[고윳값]]
 * [[선형 변환]]
 * [[singular value]]
 * [[자코비안 행렬]]
 
[[분류:선형대수학]][[분류:기본정리]]