문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 흑체복사 (문단 편집) === 상자 속 파동 === 해석을 용이하게 하기 위해 각 변의 길이가 [math(A)], [math(B)], [math(C)]인 직육면체 흑체가 공간 직교좌표계의 각 축 방향에 나란하게 배치되어있고, 흑체 안에 빛이 갇혀서 내부에서 완벽하게 반사되어 존재하는 이상적인 상황을 가정하자. 또한, 고전역학적인 관점에 따라 빛을 파동으로 간주하여 변위 [math({\bf r} = (x,\,y,\,z))]와 시간 [math(t)]에 의존하는 함수로서 다루도록 한다. 파동은 [math(t)]축의 양의 방향으로 진행하며 [[파수(물리량)|파수]] 벡터를 [math({\bf k} = (k_x,\,k_y,\,k_z))], 각진동수를 [math(\omega)], 진동수를 [math(\nu)]라고 하면 다음과 같은 사인파로 표현할 수 있다. || [math(\begin{aligned} A({\bf r},\,t) &= A_0\sin({\bf k}\cdot{\bf r} - \frac\omega{\rm rad}t) \\ &= A_0\sin(k_xx + k_yy + k_zz - 2\pi\nu t)\end{aligned})] || 빛이 흑체 내부에서 보존된다는 것은 곧 반사된 빛과 간섭을 일으켜 정상파를 유지한다는 조건과 동치이다. 이때, 빛은 등방성을 띠므로 파수 벡터의 각 성분은 모두 독립적이며 각 성분에 대해 [math(l)], [math(m)], [math(n)]배의 정상파가 형성된다고 하면 || [math(\begin{aligned} 2A &= l\lambda_x \\ 2B &= m\lambda_y \\ 2C &= n\lambda_z\end{aligned})] || 이고 [math(k_i = \dfrac{2\pi}{\lambda_i})]이므로 파수 벡터의 각 성분은 || [math(\begin{aligned} k_x &= \frac{\pi l}A \\ k_y &= \frac{\pi m}B \\ k_z &= \frac{\pi n}C \end{aligned})] || 이다. 이와 더불어 [[파동방정식]]을 만족하므로 || [math(\begin{aligned} \frac1{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A({\bf r},\,t) &= \nabla^2A({\bf r},\,t) \\ \Rightarrow \frac{(2\pi\nu)^2}{c^2} &= {k_x}^2 + {k_y}^2 + {k_z}^2 \\ &= {\left(\frac{\pi l}A\right)}^2 + {\left(\frac{\pi m}B\right)}^2 + {\left(\frac{\pi n}C\right)}^2 \\ \therefore \frac{4\nu^2}{c^2} = &= {\left(\frac lA\right)}^2 + {\left(\frac mB\right)}^2 + {\left(\frac nC\right)}^2\end{aligned})] || 식 전체를 [math(\dfrac{4\nu^2}{c^2})]으로 나누어보면 위 식은 다음과 같은 [[타원체]]의 방정식 꼴이라는 것을 알 수 있다. || [math(\dfrac{l^2}{{\left(\dfrac{2\nu A}c\right)}^2} + \dfrac{m^2}{{\left(\dfrac{2\nu B}c\right)}^2} + \dfrac{n^2}{{\left(\dfrac{2\nu C}c\right)}^2} = 1)] || 이는 곧 빛의 진동수 [math(\nu)]를 흑체 내부에 생기는 정상파의 상태(mode)에 관한 인자들 [math(l)], [math(m)], [math(n)]으로 표현할 수 있다는 것을 의미한다. 아울러, 똑같은 진동수라 하더라도 세부적으론 서로 다른 [math(l,\,m,\,n)]의 상태를 가질 수 있다는 것을 의미하며 이는 곧 진동수마다 '''상태의 축퇴수(degeneracy)가 각기 다르다'''는 것을 암시한다. 진동수가 [math(\nu)]에서 [math(\nu+{\rm d}\nu)]로 증가할 때, 각 상태 역시 서로 독립이므로 [math({\rm d}l)], [math({\rm d}m)], [math({\rm d}n)]만큼 증가한다고 볼 수 있고 이 증가분의 총합 [math({\rm d}N)]은 [math({\rm d}N = {\rm d}l{\rm\,d}m{\rm\,d}n)]이다. 구의 경우와 비슷하게 [math(\dfrac{2\nu}c = \kappa)]라 놓고 다음과 같이 구면 좌표계 변환을 하자. || [math(\begin{matrix} \begin{cases}l = \kappa A\sin\theta\cos\phi \\ m = \kappa B\sin\theta\sin\phi \\ n = \kappa C\cos\theta \end{cases} & {\left(\begin{aligned} &\kappa>0 \\ &0\le\theta\le\dfrac\pi2 \\ &0\le\theta\le\dfrac\pi2 \end{aligned}\right)}\end{matrix})] || 그러면 [math({\rm d}l{\rm\,d}m{\rm\,d}n = |J|{\rm\,d}\kappa{\rm\,d}\theta{\rm\,d}\phi)]이고 [[야코비안]] [math(|J|)]는 [math(|J| = {\left\|\dfrac{\partial(l,\,m,\,n)}{\partial(\kappa,\,\theta,\,\phi)}\right\|})]으로 주어지며 || [math(\begin{aligned} |J| &= \begin{Vmatrix}A\sin\theta\cos\phi & \kappa A\cos\theta\cos\phi & -\kappa A\sin\theta\sin\phi \\ B\sin\theta\sin\phi & \kappa B\cos\theta\sin\phi & \kappa B\sin\theta\cos\phi \\ C\cos\theta & -\kappa C\sin\theta & 0\end{Vmatrix} \\ &= |\kappa^2ABC\sin\theta| \\ &= \kappa^2ABC\sin\theta\end{aligned})] || 이므로 || [math(\begin{aligned}{\rm d}N &= {\rm d}l{\rm\,d}m{\rm\,d}n \\ &= \kappa^2ABC\sin\theta{\rm\,d}\kappa{\rm\,d}\theta{\rm\,d}\phi \\ &= {\left(\frac{2\nu}c\right)}^2ABC{\rm\,d}{\left(\frac{2\nu}c\right)}\sin\theta{\rm\,d}\theta{\rm\,d}\phi \\ &= \frac{8\nu^2}{c^3}ABC{\rm\,d}\nu\sin\theta{\rm\,d}\theta{\rm\,d}\phi\end{aligned})] || 그런데 [math(ABC)]는 직육면체의 부피 [math(V)]이고 [math(N)]은 등방성의 특성상 [math(\theta)], [math(\phi)]와 무관하므로 각 범위에서 미리 적분해주면 || [math({\rm d}N(\nu) = \dfrac{4\pi\nu^2}{c^3}V{\rm\,d}\nu)] || 이다. 이것을 흑체의 부피 [math(V)]로 나누면 밀도에 관한 함수가 얻어지는데 여기서 끝이 아니고, 전자기파에는 2개의 원편광(circular polarization) 상태가 있어[* [[https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_polarization|위키피디아의 원편광 문서]] 참고. 빛의 진행 방향에 대하여 왼손방향과 오른손방향의 상태가 가능하다.] 자유도가 2이므로 빛의 자유도만큼을 곱해야 한다. 따라서 빛의 상태 밀도 함수 [math(g(\nu){\rm\,d}\nu)]는 || [math(g(\nu){\rm\,d}\nu = \dfrac{8\pi\nu^2}{c^3}{\rm\,d}\nu)] || 이 된다. 이 식은 훗날 플랑크가 플랑크 법칙을 유도할 때에도 그대로 쓰였던 식으로, 여기까지는 아무런 문제가 없다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기