문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 황금비 (문단 편집) === 성질 === > 성질 1 : 황금비의 정수 거듭제곱은 항상 황금비의 정수배와 정수의 합으로 나타낼 수 있으며, 그 계수는 [[피보나치 수열]]이다. > > [math(\varphi^n = F_n\varphi + F_{n-1})] > > (단, [math(F_n)]은 [[피보나치 수열]]의 n번째 항) > 위 식은 [math(n)]이 음의 정수여도 성립한다. > ---- > {{{#!folding [증명] [math(\varphi^n = a_n\varphi + b_n)] 이라고 하자. 황금비를 정의한 비례식에 따라 [math(\varphi^2 = \varphi + 1)] 가 성립하므로, [math(\displaystyle\begin{aligned} \varphi^{n+1} &= \varphi\left(a_n\varphi + b_n\right) \\ &= a_n\varphi^2 + b_n\varphi \\ &= a_n\varphi + a_n + b_n\varphi \\ &= \left(a_n+b_n\right)\varphi + a_n \end{aligned})] 다. 따라서 [math(a_{n+1} = a_n + b_n, b_{n+1} = a_n)] [math(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n)] 이다. 이 점화식은 피보나치 수열의 점화식이며, [math(a_1 = 1, a_2 = 1)]로 첫 항과 둘째 항도 피보나치 수열과 같으므로, [math(a_n)]은 피보나치 수열이다.}}} 이를 이용해 황금비와 관련된 계산을 편리하게 할 수 있다. 황금비의 거듭제곱의 값 일부를 적으면 다음과 같다. * 양수 거듭제곱 * [math(\varphi^1 = \varphi)] * [math(\varphi^2 = \varphi + 1)] * [math(\varphi^3 = 2\varphi + 1)] * [math(\varphi^4 = 3\varphi + 2)] * [math(\varphi^5 = 5\varphi + 3)] * [math(\varphi^6 = 8\varphi + 5)] * 음수 거듭제곱 * [math(\displaystyle \varphi^{-1} = \varphi - 1)] * [math(\varphi^{-2} = 2 - \varphi)] * [math(\varphi^{-3} = 2\varphi - 3)] * [math(\varphi^{-4} = 5 - 3\varphi)] * [math(\varphi^{-5} = 5\varphi - 8)] * [math(\varphi^{-6} = 13 - 8\varphi)] > 성질 2 : 황금비의 정수 거듭제곱의 [math(\sqrt{5})]배 역시 항상 황금비의 정수배와 정수의 합으로 나타낼 수 있다. > > [math(\sqrt{5}\varphi^n = \left(F_n + 2F_{n-1}\right)\varphi + 2F_n - F_{n-1})] > > (단, [math(F_n)]은 [[피보나치 수열]]의 n번째 항) > 위 식은 [math(n)]이 음의 정수여도 성립한다. > ---- > {{{#!folding [증명] 성질 1에 의해 [math(\sqrt{5}\varphi^n = \sqrt{5}\left(F_n\varphi + F_{n-1}\right))] 이고, [math(\displaystyle\begin{aligned} \sqrt{5}\varphi &= \sqrt{5}\times\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \\ &= \varphi + 2 \end{aligned})] [math(\displaystyle )] 이므로, [math(\displaystyle\begin{aligned} \sqrt{5}\varphi^n &= \sqrt{5}\left(F_n\varphi + F_{n-1}\right) \\ &= F_n\sqrt{5}\varphi + \sqrt{5}F_{n-1} \\ &= \left(F_n \varphi + 2F_n\right) + \sqrt{5}F_{n-1} + F_{n-1} - F_{n-1} \\ &= \left(F_n+2F_{n-1}\right)\varphi + 2F_n - F_{n-1}\end{aligned})] }}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기