문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 환(대수학) (문단 편집) === 부분환의 생성원 === [math(X\subset R)]에 대해, [math(X)]를 포함하는 [math(R)]의 가장 작은(smallest) 부분환을 [math(X)]가 생성하는 부분환(subring generated by [math(X)])이라 하고, [math( \langle X \rangle )] 로 적는다. 이 때, [math(X)]는 [math(\langle X \rangle)]의 생성원이라 한다.smallest가 아니고 minimal로 정의하기도 하는데, smallest로 정의하면 존재성이, minimal로 정의하면 유일성이 문제되나…… 이러한 부분환 [math( \langle X \rangle )]의 존재성과 유일성은 [math(\langle X \rangle = \bigcap_{X \subseteq S \leq R} S )]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분환의 교집합이 다시 부분환인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 실제로 [math(\langle X \rangle)] 를 계산하려면 [math(\langle X \rangle=\{)] [math(X)] 의 모든 원소의 비가환다항식(non-commutative polynomial)[math(\})]임을 증명하여야 한다. 이는 [math( X \subset S \leq R)]일 때마다 [math(S)]에는 [math(X)]의 모든 원소의 비가환다항식이 다 포함되어야 함을 증명하면 충분한데, 앞서의 부분환 정의의 동치 정리를 생각하면 거의 자명하다. 부분환 [math(S\leq R)]이 [math(1_{R})]을 포함하도록 정의하는 경우에는, 위 동치 정리의 (ii)를 [math(\left(S,\cdot,1_{R}\right))]는 [math(\left(R,\cdot,1_{R}\right))]의 부분모노이드(submonoid)인 것”으로 바꾸고, [math(X)]가 생성하는 부분환에서는 증명의 모든 [math(X)] 대신 [math(X\cup\left\{1_{R}\right\})]을 생각하면 되고, 나머지는 똑같다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기