문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 환(대수학) (문단 편집) ==== 정역((integral) domain) ==== 정수에서는 [math(ab=0)]이면 [math(a=0)] 또는 [math(b=0)]임이 당연했지만, 예를 들어 행렬환에서는 그렇지 않음을(그것이 행렬문제를 더럽게 만드는 주범임을) 우리는 잘 알고 있다. [math(a\in R)]에 대해[* 0을 영인자로 인정하는 책도 있고, 아닌 책도 있다.], [math(ax=0)]을 만족하는 0 아닌 [math(x\in R)]이 있으면 [math(a)]를 '''좌영인자(left zero divisor)'''라 하고, [math(ya=0)]을 만족하는 0 아닌 [math(y\in R)]이 있으면 [math(a)]를 '''우영인자(right zero divisor)'''라 하며, 그냥 '''영인자(zero divisor)'''라 하면 좌영인자__이거나__ 우영인자인 원소를 가리킨다. 다행히(?) 가환환에서는 이들을 구분할 필요가 없다. 한편 좌영인자이면서 우영인자인 원소는 양쪽 영인자(two-sided zero divisor)라고 한다.[* 이데알(Ideal)과 양쪽 이데알(two-sided ideal)은 같은 의미로 쓰이지만, 영인자는 그렇지 않음에 주의할 것.] 영인자는 소거법칙(cancellation law)과 연관된다. [math(R)]이 좌영인자를 갖지 않는다는 것은 우소거(right cancellation)가 가능하다는 것과 동치이다. 즉 [math(R)]이 좌영인자를 갖지 않으면, [math(R)] 위에서 [math(ac=bc)]일 때 [math(c\neq 0)]이면 [math(c)]를 소거하여 [math(a=b)]를 얻을 수 있고, 역도 성립한다. 반대로 [math(R)]이 우영인자를 갖지 않는다는 것은 좌소거가 가능하다는 것과 동치이다. * '''1을 갖는 가환환'''이 [math(0)] 외의 영인자가 없다면 '''정역(integral domain)''' 혹은 (줄여서) 그냥 domain이라 한다. 정역의 대표 주자는 [[정수]]이다. 애초에 정수를 추상화 시킨게 정역이니까. 명칭인 정역(integral domain) 자체에 정수(integer)가 들어있다. 다만 실제 정수는 단순히 정역이 가지는 성질보다 훨씬 좋은 성질을 갖는다. 그래서인지 Serge Lang은 이 용어에 반대하고, entire ring이라는 용어를 쓴다. 모든 체가 정역인 것은 자명한데, 전술했듯 영인자가 없는 것과 소거가 가능한 것은 동치인데 나눗셈은 소거를 함의하기 때문이다. 이는 역으로 나눗셈이 불가능한 정역에서도 소거법칙을 활용해서 상당히 많은 이야기를 할 수 있다는 뜻이 된다. 한편 1을 갖는 가환환일 것을 요구하지 않고 소거법칙이 성립하는 환을 소거환?(cancellation ring?)이라고 부를 수도 있겠으나, 많이 쓰이는 용어는 아니다. * 정역의 예: 모든 [[체]], 정수환 [math(Z)]. * 정역이 아닌 예: [math(n>1)]에서 [math(M_{n}\left(\mathbb{R}\right))][* 이미 알고 있고, 언급한 것과 같이 행렬에는 영원이 존재한다. ]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기