문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 환(대수학) (문단 편집) == 정의 == {{{+1 [[環]][* ring이 집단을 의미하기에 잘못된 번역이라는 주장도 있으나 명확하지 않다. 본래 환이라는 개념을 처음 도입한 것은 데데킨트 컷으로 유명한 리하르트 데데킨트인데, 데데킨트는 ring이라는 용어를 쓰지 않았다. 처음 ring이라는 용어를 사용하기 시작한 것은 [[힐베르트]]로, number ring이라는 뜻의 독일어 Zahlring을 사용한 것이 시초이다. 문제는 힐베르트가 자신이 왜 ring이라는 표현을 썼는지 밝히지 않았다는 것이다. 그렇기에 다양한 추측이 존재하는데, 이 중에는 그룹이라는 의미로 사용했다는 주장, 내부에서 고리 모양으로 순환하기에 사용했다는 주장, 복싱의 링처럼 일정한 범위 안에 존재한다는 의미로 사용했다는 주장 등이 병존한다. 게다가 독일어에서도 ring은 고리라는 의미가 훨씬 더 자주 쓰이기에 힐베르트가 집단이라는 의미로 사용했을 것이라 단정하기 어렵다.] / Ring}}} 정수 집합을 추상화한 것으로, 어떤 집합에 두 가지 연산을 아래와 같이 부여한 것이다. 어떤 집합 [math(R)]이 있을 때, [math(R)] 위에 '''결합법칙이 성립하는'''[* 대수학에서는 어떤 대수적 구조를 다루든 해당 연산에서 결합법칙이 성립해야 함은 기본 중의 기본으로 여긴다. 수 체계를 너무 확장하는 경우처럼 결합법칙이 무너지는 ~~근본없는~~ 집합도 없지는 않으나, 어지간한 경우에는 결합법칙은 당연히 성립하는 것으로 가정된다.] 두 개의 이항 연산 [math(+)]와 [math(\cdot)]가 [[잘 정의됨|잘 정의되어 있고]], 다음 조건들을 만족한다면 [math(\left(R,+,\cdot\right))]는 환(ring)이라고 한다. 1. [math(\left(R,+\right))] (R에 덧셈을 부여했을때 나오는 구조; 덧셈군)는 [[군(대수학)#s-6.3|아벨군]]. 풀어 쓰면 다음 세 가지를 말한다. * (항등원) [math(0)]의 존재에 의해 [math(R)]의 임의의 원소 [math(a)]에 대해, [math(a+0 = 0+a =a )]가 성립한다. 항등원은 존재하면 유일하므로[* [math(0')]도 덧셈의 항등원이면 [math(0 = 0+0' = 0')]이므로 유일하다.] 이 원소는 정수에서의 예에 따라 [math(0)]으로 적지만, 혼동의 여지가 있을 때는 [math(0_{R})]로 적기도 한다. * (역원) 임의의 [math(a\in R)]에 대해 존재하는 [math(x\in R)]에 의해 [math(a+x=0=x+a)]가 성립한다. 역원은 존재하면 유일하므로[* [math(y )]도 [math(a )]의 역원이면 [math(x = x+0 = x+\left(a+y\right) = \left(x+a\right)+y = 0+y =y )]이므로 유일하다.] 이 원소를 정수에서의 예에 따라 [math(-a)]로 적는다. * (교환법칙) 임의의 두 원소 [math(a, b\in R )]에 대해, [math(a+b = b+a )]가 성립한다.[* 사실 교환법칙은 따로 정의할 필요는 없다. 아래 분배법칙에서 유도할 수 있기 때문이다. [math(a+a+b+b=(a+b)(1+1)=a+b+a+b)]. 하지만 환의 정의에 곱셈에 대한 항등원이 없을경우는 덧셈의 교환법칙을 따로 정의할 필요가 있다] 2. [math(\left(R,\cdot\right))]는 [[모노이드]]이다.[* 이 연산에 대해서는 '교환법칙'을 만족할 필요가 없다. 교환법칙까지 만족할 경우 '가환환'이 된다. 실제로 [[사원수]]는 '환'이지만 곱셈의 교환법칙은 성립하지 않기에 '비가환환'이다. 그리고 만약 [math(\cdot)]에 대하여 [math(R)]이 모노이드가 아니라 반군(semigroup)을 이룬다면 [math(\left(R, +, \cdot\right))]을 유사환(rng 또는 pseudoring)이라 한다. ] * (항등원) [math(1\in R)]의 존재에 의해, [math(R)]의 임의의 원소 [math(a)]에 대해 [math(a\cdot 1 = 1\cdot a =a )]가 성립한다. 3. 분배법칙이 성립한다. * 임의의 [math(a, b, c\in R )]에 대해, [math(\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c)] 와 [math(c\cdot \left(a+b\right)=c\cdot a+c\cdot b)] 이 성립한다. 물론 [math(+)]는 [[덧셈]]으로, [math(\cdot)]는 [[곱셈]]으로 해석할 예정이며, 이렇게 해석할 수 있는 이유는 궁극적으로 위 3) 분배법칙 때문이다. 따라서 [math(a\cdot b=ab)]와 같이 곱셈기호를 생략하는 관습 역시 통용된다. 아예 처음부터 연산을 붙여쓰기(juxtaposition)로 정의하기도 한다. 환의 예로는 다음과 같은 것이 있다. * [[정수]] 전체의 집합 [math( \mathbb{Z} )]. * [[유리수]] 전체의 집합 [math( \mathbb{Q} )], [[실수]] 전체의 집합 [math( \mathbb{R} )], [[복소수]] 전체의 집합 [math( \mathbb{C} )]. 이들은 후술하듯 특수한 환인 체에 해당한다. * [[사원수]] 전체의 집합 [math(\mathbb{H})] . * [math(n\in \mathbb{Z})]에 대해, [math(\mathbb{Z})]를 [math(n)]으로 나눈 나머지 [math( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} )] . 이를 잉여환(quotient ring)이라 한다. * [math(R)] 이 환일 때 [math(R)] 위의 polynomial 전체의 집합 [math( R\left[t\right] )], [math(R)] 위의 [math( n \times n )] 정사각행렬 전체의 집합 [math( M_{n}\left(R\right))]. 환이 아닌 것의 예로는 자연수 전체의 집합 [math( \mathbb{N} )] 등이 있다. [* 덧셈에 대한 역원이 존재하지 않는다.] 모든 환 [math(R)]은 자명한 [math(R)]-가군(module) 구조를 가진다. 또, 모든 환은 [math( \mathbb{Z} )] -대수(algebra)로 볼 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기