문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 행렬곱 (문단 편집) === 결합법칙 === 행렬곱에서 결합법칙이 성립한다는 것은 다음과 같이 증명할 수 있다. 두 행렬 [math(A, B, C)]가 각각 [math(m\times n, n\times r, r\times s)] 행렬이고 [math(k=1,2,...,n, l=1,2,...,r)]일 때, [math(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1r} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nr}\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1s} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2s} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{r1} & c_{r2} & \cdots & c_{rs}\end{pmatrix})] 이라고 하면 행렬곱 [math((AB)C)]는 [math((AB)C=\begin{pmatrix}\sum_k a_{1k}b_{k1} & \sum_k a_{1k}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{1k}b_{kr} \\ \sum_k a_{2k}b_{k1} & \sum_k a_{2k}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{2k}b_{kr} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{mk}b_{k1} & \sum_k a_{mk}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{mk}b_{kr}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1s} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2s} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{r1} & c_{r2} & \cdots & c_{rs}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_l(\sum_k a_{1k}b_{kl})c_{l1} & \sum_l(\sum_k a_{1k}b_{kl})c_{l2} & \cdots & \sum_l(\sum_k a_{1k}b_{kl})c_{ls} \\ \sum_l(\sum_k a_{2k}b_{kl})c_{l1} & \sum_l(\sum_k a_{2k}b_{kl})c_{l2} & \cdots & \sum_l(\sum_k a_{2k}b_{kl})c_{ls} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_l(\sum_k a_{mk}b_{kl})c_{l1} & \sum_l(\sum_k a_{mk}b_{kl})c_{l2} & \cdots & \sum_l(\sum_k a_{mk}b_{kl})c_{ls}\end{pmatrix})] 또한 행렬곱 [math(A(BC))]는 [math(A(BC)=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sum_l b_{1l}c_{l1} & \sum_l b_{1l}c_{l2} & \cdots & \sum_l b_{1l}c_{ls} \\ \sum_l b_{2l}c_{l1} & \sum_l b_{2l}c_{l2} & \cdots & \sum_l b_{2l}c_{ls} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_l b_{nl}c_{l1} & \sum_l b_{nl}c_{l2} & \cdots & \sum_k b_{nl}c_{ls}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_k a_{1k}(\sum_l b_{kl}c_{l1}) & \sum_k a_{1k}(\sum_l b_{kl}c_{l2}) & \cdots & \sum_k a_{1k}(\sum_l b_{kl}c_{ls}) \\ \sum_k a_{2k}(\sum_l b_{kl}c_{l1}) & \sum_k a_{2k}(\sum_l b_{kl}c_{l2}) & \cdots & \sum_k a_{2k}(\sum_l b_{kl}c_{ls}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{mk}(\sum_l b_{kl}c_{l1}) & \sum_k a_{mk}(\sum_l b_{kl}c_{l2}) & \cdots & \sum_k a_{mk}(\sum_l b_{kl}c_{ls})\end{pmatrix})] 로 나타낼 수 있다. 또는 행렬의 곱셈의 정의 [math((AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj})] 를 이용하여 다음과 같이 유도할 수도 있다. * [math(((AB)C)_{ij}=\sum_l (AB)_{il}c_{lj}=\sum_l(\sum_k a_{ik}b_{kl})c_{lj})] * [math((A(BC))_{ij}=\sum_k a_{ik}(BC)_{kj}=\sum_k a_{ik}(\sum_l b_{kl}c_{lj}))] 이때 [math(\sum_l(\sum_k a_{ik}b_{kl})c_{lj})]와 [math(\sum_k a_{ik}(\sum_l b_{kl}c_{lj}))] (단, [math(i=1,2,...,m, j=1,2,...,s)])를 비교하면 다음과 같이 서로 같다는 것을 알 수 있다. * [math(\sum_l(\sum_k a_{ik}b_{kl})c_{lj}=\sum_l \sum_k (a_{ik}b_{kl}c_{lj})=\sum_k \sum_l (a_{ik}b_{kl}c_{lj})=\sum_k a_{ik}(\sum_l b_{kl}c_{lj}))] 이것이 [math((AB)C, A(BC))]의 모든 성분에 대해 성립하므로, [math((AB)C=A(BC))], 즉 결합법칙이 성립한다. 네 행렬 [math(A, B, C, D)]에 대하여 그 곱 [math(ABCD)]가 정의될 때, 다음과 같이 [math(((AB)C)D=(A(BC))D=(AB)(CD)=A((BC)D)=A(B(CD)))]가 성립한다. || [math(((AB)C)D=(A(BC))D)] [math(((AB)C)D=(ABC)D=AB(CD)=(AB)(CD))] [math((A(BC))D=A((BC)D)=A(B(CD)))] ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기