문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 한국수학올림피아드 (문단 편집) === 미적분(고등부 한정) === {{{+1 Calculus}}} 2023년부터 고등부 한정으로 미적분이 새로 추가되었다. 추가된 지 얼마 되지 않았고, 미적분을 올림피아드에서 출제하는 나라는 루마니아 정도밖에 없으며, 대부분의 나라에서는 학부 경시대회나 가서야 미적분을 출제하기에 고등학교 레벨에서는 많은 정보를 알 수가 없다. 따라서 루마니아 올림피아드 미적분 문제를 통해 간접적으로 어떤 내용을 물어볼 만한지를 대충 예측해보는 것이 도움이 될 것이다. 아래 문제는 2023년 루마니아 수학 올림피아드 전국대회 12학년 4번 문제로, 이 문제에서 7점 만점을 획득한 학생의 수는 단 3명이다. 원문 문제 및 해설은 [[https://ssmr.ro/onm2023]]의 Etapa Națională - SOLUȚII și BAREME의 CLASA a XII-a를 보기 바란다. 참고로 다른 해의 문제를 보고 싶다면 onmXXXX의 연도를 바꾸면 된다. 단, 2012년 이후부터만 나오며, 2020년에는 실시되지 않았다.참고로 루마니아 수학올림피아드는 3시간에 4문제로, KMO 2차와 동일하다. 2023년 9월 1일 업데이트 - 링크를 추가했다.. [[http://www.mategl.com/download.htm]] ||[math(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R})]은 구간 [math([0,1])] 전체에서 미분가능하고, 도함수가 연속이며, 단조증가하는 함수이고, [math(f(0) = 0)]을 만족한다고 한다. 함수 [math(g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R})]를 [math(g(x) = f(x) + (x - 1) f'(x)~~(\forall x \in [0,1]))]로 정의할 때, 다음 문항에 답하여라.[br]a) [math(\displaystyle \int_{0}^{1} g(x) dx = 0)]임을 증명하여라.[br]b) [math(\varphi(0) = 0,~\varphi(1) = 1)]을 만족하는 임의의 미분가능한 볼록함수 [math(\varphi :[0,1] \rightarrow [0,1])]에 대해서 [math(\displaystyle \int_{0}^{1} g( \varphi(x)) dx \leq 0)]임을 증명하여라. || ||{{{#!folding 【 풀이 】 a) 조건에서 [math(\displaystyle g(x) =\frac{d}{dx} ((x-1)f(x)))]임을 알 수 있다. 따라서 미적분의 제2기본정리에 의해 [math(\displaystyle \int_0^1 g(x)dx = \biggl[(x-1)f(x) \biggr]_0^1 =0\cdot f(1)-1\cdot f(0)=0-0=0)]이다. b) 모든 [math(x \in [0,1])]에 대해서 다음을 얻는다: [math(\displaystyle f(\varphi(x)) = f(\varphi(x)) - f(0) = f(\varphi(x)) - f(\varphi(0)) = \int_{\varphi(0)}^{\varphi(x)} f'(s)ds)] 이때, 두 함수 [math(f',~\varphi)]는 모두 연속이므로, 합성함수 [math(f'\circ\varphi)]도 연속이다. 따라서 치환적분법 [math(s=\varphi(t))]를 적용하면 다음을 얻는다. [math(\displaystyle f(\varphi(x)) = \int_{\varphi(0)}^{\varphi(x)} f'(s)ds = \int_0^x f'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)dt)] 또한 [math(\varphi)]가 볼록함수이므로 그것의 도함수 [math(\varphi')]는 단조증가함수여야 하며, 함수 [math(f)]는 단조증가함수여야 하므로 그것의 도함수 [math(f')]는 음수가 될 수 없다. 따라서 다음을 얻는다. [math(\displaystyle f(\varphi(x)) = \int_0^x f'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)dt \leq \varphi'(x) \cdot \int_0^x f'(\varphi(t))dt)] 여기에서 함수 [math(\Phi :[0,1] \rightarrow \mathbb{R})]를 [math(\displaystyle \Phi(x) = \int_0^x f'(\varphi(t))dt~~(\forall x \in [0,1]))]로 정의하면 미적분의 제1기본정리에 의하여 함수 [math(\Phi)]는 도함수 [math(f'\circ\varphi)]를 가지며, 모든 [math(x \in [0,1])]에 대해서 [math(f(\varphi(x)) \leq \varphi'(x) \cdot \Phi(x))]가 성립함을 알 수 있다.Q 이제 양변을 통째로 0부터 1까지 정적분한 뒤에 부분적분법 [math(u=\Phi(x), dv=\varphi'(x)dx)]을 적용하면 다음을 얻게 된다. [math(\displaystyle \int_0^1f(\varphi(x))dx \leq \int_0^1 \varphi'(x) \cdot \Phi(x)dx = \biggl[\varphi(x) \cdot \Phi(x) \biggr]_0^1 - \int_0^1 \varphi(x) \cdot \Phi'(x)dx = \varphi(1) \cdot \Phi(1) - \varphi(0) \cdot \Phi(0) - \int_0^1 \varphi(x) \cdot \Phi'(x)dx = 1 \cdot \int_0^1 f'(\varphi(x))dx - 0 \cdot 0 - \int_0^1 \varphi(x) \cdot f'(\varphi(x))dx = \int_0^1 f'(\varphi(x))dx - \int_0^1 \varphi(x) \cdot f'(\varphi(x))dx)] 따라서 최종적으로 다음을 얻는다. [math(\displaystyle \int_0^1f(\varphi(x))dx + \int_0^1 \varphi(x) \cdot f'(\varphi(x))dx - \int_0^1 f'(\varphi(x))dx \leq 0)] 여기에서 (좌변) [math(\displaystyle = \int_{0}^{1} g( \varphi(x)) dx)]이므로 증명이 완료되었다.}}} || 그 외에 참고할 만한 경시대회로는 [[윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회|William-Lowell Putnam Mathematical Competition]], International Mathematical Competition for University Students, Harvard-MIT Mathematical Tournament (2011년까지만), Stanford Mathematics Tournament 등이 있다. 또한 AoPS의 College Math 포럼에서 다양한 문제를 찾아보는 것도 도움이 된다. 한 가지만 더 말하자면, Supremum과 Infimum의 이해는 필수이다. 많은 경시대회에서 해당 용어를 직접적으로 언급 안 했을 뿐, 간접적으로 해당 개념을 출제한 전적이 있기 때문이다. KMO의 경우에도 2000년 KMO 8번 문제에서 Supremum을 구하라는 문제를 출제한 바가 있다. 특히 미적분은 특히 잘 나온다. 2023년 고등부 2차 시험 출제 범위에서 미적분은 제외되었다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기