문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 표본분포 (문단 편집) == 표본분산 == [math(X_1,\,X_2,\,\cdots\,X_n)]이 평균이 [math(\mu)]이고 분산이 [math(\sigma^2)]인 모집단에서 추출하는 표본이라고 하면 다음이 성립한다. [[카이제곱분포]]에 관한 배경지식이 필요하다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{aligned}E(s^2)&=E\left(\dfrac{\sigma^2}{n-1}\chi^2\right)\,\left(\because\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}\right)\\&=\dfrac{\sigma^2}{n-1}E(\chi^2)=\sigma^2\,(\because E(\chi^2_{n-1})=v=n-1)\end{aligned})] [math(\begin{aligned}{\rm Var}(s^2)&={\rm Var}\left(\dfrac{\sigma^2}{n-1}\chi^2\right)=\dfrac{\sigma^4}{(n-1)^2}{\rm Var}(\chi^2)\\&=\dfrac{2\sigma^4}{n-1}\,(\because {\rm Var}(\chi^2)=2v=2(n-1))\end{aligned})]}}} 여기에서 표본분산을 구할 때 표본의 개수 [math(n)]이 아니라 [math(n-1)]로 나누는 이유가 나온다. [math(n-1)]로 나눈 값을 표본분산으로 정의하면 '''표본분산의 평균이 정확히 모분산이 된다.''' 표본평균의 평균이 모평균이 된다면, 표본분산의 평균 역시 모분산이 되도록 함이 타당하므로, [math(n)]이 아닌 [math(n-1)]로 나누는 것이다. 혹은 다음과 같이 볼 수도 있다. [math(E(s^2)=E\left[\dfrac{\sum(X_i-\bar X)^2}{n-1}\right]=\dfrac{E[\sum(X_i-\bar X)^2]}{n-1})]이고, 마지막 식의 분자는 다음과 같이 계산된다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{aligned}E\left[\sum(X_i-\bar X)^2\right]&=E\left[\sum\{(X_i-\mu)-(\bar X-\mu)\}^2\right]\\&=E\left[\sum(X_i-\mu)^2\right]+E\left[\sum(\bar X-\mu)^2\right]-2E\left[\sum(X_i-\mu)(\bar X-\mu)\right]\end{aligned})]}}} 여기에서 [math(E\left[\sum(\bar X-\mu)^2\right]=nE\left[(\bar X-\mu)^2\right])]이고 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{aligned}-2E\left[\sum(X_i-\mu)(\bar X-\mu)\right]&=-2E\left[(\bar X-\mu)\sum(X_i-\mu)\right]\\&=-2E\left[(\bar X-\mu)(n\bar X-n\mu)\right]\\&=-2nE\left[(\bar X-\mu)^2\right]\end{aligned})]}}} {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{aligned}&\therefore E\left[\sum(X_i-\mu)^2\right]+E\left[\sum(\bar X-\mu)^2\right]-2E\left[\sum(X_i-\mu)(\bar X-\mu)\right]\\&=E\left[\sum(X_i-\mu)^2\right]+nE\left[(\bar X-\mu)^2\right]-2nE\left[(\bar X-\mu)^2\right]\\&=E\left[\sum(X_i-\mu)^2\right]-nE\left[(\bar X-\mu)^2\right]\\&=E[(X_1-\mu)^2]+E[(X_2-\mu)^2]+\cdots+E[(X_n-\mu)^2]-n{\rm Var}(X)\\&={\rm Var}(X_1)+{\rm Var}(X_2)+\cdots+{\rm Var}(X_n)-\sigma^2\\&=(n-1)\sigma^2\end{aligned}\\\therefore E(s^2)=\dfrac{E[\sum(X_i-\bar X)^2]}{n-1}=\dfrac{(n-1)\sigma^2}{n-1}=\sigma^2)]}}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기