문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 텐서 (문단 편집) ==== 교대화(Alternatization)와 쐐기 곱(Wedge Product) ==== 먼저 우리는 텐서의 교대화에 대해 정의할 필요가 있다. [math(k )] 텐서 [math(T )]의 교대화는 [math(\operatorname{Alt}(T) (v_1, ..., v_k) = \dfrac{1}{k!} \sum_{\sigma \in S_k} {\operatorname{sgn}(\sigma) T(v_{\sigma(1)}, ..., v_{\sigma(k)})})][* [math(\operatorname{sgn})]은 [[부호 함수]]이다.]으로 정의되는 [math(k )] 텐서이다. 만약 [math(\operatorname{Alt}(T) )]의 두 항을 바꾸면 원래 값보다 한 번 더 치환하거나 덜 치환하게 되므로 [math(\operatorname{sgn}(\sigma) )]의 값에 -1이 곱해진다. 즉, 어떤 텐서든지 교대화를 거치면 교대 텐서가 된다. 또한, [math(T )]가 교대 텐서라면 [math(T(v_{\sigma (1)}, ..., v_{\sigma (k)} ) = \operatorname{sgn}(\sigma) T(v_1, ..., v_k))][* 각 항을 치환할 때마다 -1이 곱해지는 것과, 원래의 값을 얻기 위해 [math(\sigma^{-1} )]을 사용할 필요가 있음을 생각해보자.]이므로, 교대 텐서의 교대화는 자기 자신이다. 참고로, 교대화 연산은 선형적인 특성을 가진다. 증명은 어렵지 않으므로 생략한다. 이제 쐐기 곱에 대해 정의할 때이다. [math(k )] 텐서 [math(T )]와 [math(l )] 텐서 [math(S )]의 쐐기 곱은 [math(T\wedge S =\dfrac{(k+l)!}{k! l!} \operatorname{Alt}(T \bigotimes S) )]로 정의되는 [math(k+l )] 텐서이다[* 앞의 계수가 이상하다고 생각할 수 있는데, [math( \varphi_{i_1} \wedge \varphi_{i_2} (v_{i_1}, v_{i_2}) = 1)]이 되도록 하는 보정 계수이다. 증명은 생략하지만, 쐐기 곱을 여러 번 하더라도 이 보정 계수 때문에 대응되는 기저를 대입하면 1이 된다.][* 혹시 미분 형식의 표기에서 이런 이상한 쐐기를 본 적이 있다면, 그것의 정체는 이 쐐기 곱이 맞다. 사실, 미분 형식의 정의 자체가 교대 텐서와 크게 연관되어 있다.]. 텐서 곱과 다른 특이한 점은 쐐기 곱은 두 항을 바꿔 곱했을 때의 값을 원래의 값으로 표현할 수가 있다는 점이다. 정확히는, [math(T\wedge S = (-1)^{kl} S\wedge T )]이다. 이유는 이렇다. 쐐기 곱은 교대 텐서이므로, 두 항을 바꾸는 것이 가능하다. 그러면, [math(k )] 번의 치환을 통해 [math(T )]에 들어갈 변수를 한 칸씩 앞으로 밀 수 있다. 이 것을 [math(l )] 번 반복하면, [math(T )]의 변수는 모두 뒤로 밀리고, [math(S )]의 변수는 모두 앞으로 나오게 된다. 그런데 이 값은 [math(S\wedge T )]이다. 쐐기 곱은 텐서 곱처럼 결합 법칙을 비롯한 여러 성질이 동일하게 성립한다. 이제 기저 이야기로 돌아가보자. [math(\Omega^{k} (V))]의 모든 원소 [math(T )]는 교대 텐서이므로 당연히 [math(\operatorname{Alt}(T) = T )]이다. 동시에, [math(T\in \mathfrak{J}^{k}(V) )]이므로 [math(T )]는 [math(\varphi_{i_1}\bigotimes ... \bigotimes \varphi_{i_k} )]의 선형 결합으로 나타내진다. 따라서 [math(T )]는 [math(\operatorname{Alt}(\varphi_{i_1}\bigotimes ... \bigotimes \varphi_{i_k}))]의 선형 결합이라고 할 수 있다. 그런데 쐐기 곱의 정의 상 [math(\operatorname{Alt}(A\bigotimes B) )]는 [math(A\wedge B )]의 상수 배이므로, 귀납적으로 생각해보면 [math(\operatorname{Alt}(\varphi_{i_1}\bigotimes ... \bigotimes \varphi_{i_k}))]는 [math(\varphi_{i_1}\wedge ... \wedge \varphi_{i_k})]의 상수 배임을 알 수 있다. 하지만, 이것들 모두를 모아놓으면 기저가 되기에는 너무 크다. 위에서 보았듯, [math(A \wedge B)]는 [math(B\wedge A )]의 상수배이며, 특히 [math(A )]가 1 텐서라면 [math(A\wedge A = - A\wedge A)]가 되어 [math(A )]는 0이다. 귀납적으로 생각해보면 순서만 바뀐 쐐기 곱은 원래 값의 상수배가 되며, 1 텐서의 쐐기곱에서 중복되는 것이 있으면 그 값이 0이 되어버릴 것이다. 즉, [math(\Omega^{k} (V) )]를 생성하는 데에는 [math(\left\{\varphi_{i_1}\wedge ...\wedge \varphi_{i_k} : 1\le i_1 < ... < i_k \le n\right\} )][* 단, [math(n = \dim_{F} {V} )]]만으로 충분하다. 선형 독립은 위에서와 마찬가지 방식으로 보이면 된다. 결론적으로 말하자면, [math(\dim_{F} {\Omega^{k}(V)} = { n \choose k})]이다. 여담으로 행렬식에 대한 얘기를 해보자. 행렬식의 성질(또는 정의)를 생각해보면 [math(\det \in \Omega^{n}(V) )]이다. 그런데 [math(\dim_{F}{\Omega^{n}(V)} = {n \choose n} = 1 )]이므로, [math(\Omega^{n}(V) )]의 모든 원소는 사실 [math(\det )]의 상수배이다. 이를 통해 행렬식의 정의를 어떻게 하든 결국엔 같다는 것을 보일 수 있다. [include(틀:문서 가져옴, this=문단, title=벡터 공간, version=57, paragraph=7.3)]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기