문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 텐서 (문단 편집) ==== 정의 ==== 텐서는 [[벡터 공간#s-7|쌍대 공간]]의 개념을 일반화한 것이라고 할 수 있다. [[체(대수학)|체]] [math(F)] 위에서 정의된 [math(k )] 텐서는 [math(V_{1} \times \cdots \times V_{k})]에서 [math(F)]로 가는 다중 선형 사상(multilinear map) [math(T )]이다[* 이때, [math(k)]를 [math(T )]의 계수(rank)라고 한다.][* 이때, 각각의 [math(V_{i})]는 [math( F )] 위의 [[벡터 공간]]이다.]. 여기서 다중 선형 사상이라는 것은 각각의 [math(v_i \mapsto T(v_1, ..., v_k))]가 선형 사상이라는 것이다. 쌍대 공간과 마찬가지로, [math(k )] 텐서들을 모아놓으면 벡터 공간이 된다. 이때 특별히 [math( V_1 = \cdots = V_k )]라면 이 벡터 공간을 [math(\mathfrak{J}^{k} (V))]이라고 표기한다. 물론 자명하게 [math(V^{*} =\ \mathfrak{J}^1 (V))] 이다. 2 텐서의 예시로는 [[내적]]이 있으며, [[행렬식]]은 [math(n )][* [math(n = \dim_{F} V)]] 텐서이다. 사실, 이 정의는 텐서의 정의를 간략화한 것이다. [math((p, q) )] 유형의 텐서는 [math(W_{1}^{*} \times ... \times W_{p}^{*} \times V_{1} \times ... \times V_{q} )][* 물론 [math(W_{i})]와 [math(V_{j})]는 [math(F)] 위의 벡터 공간이고 [math(W_{i}^{*})]는 쌍대 공간.]에서 [math(F )]로 가는 다중 선형 사상 [math(T )]로 정의된다. 이 경우, (1, 0) 유형의 텐서의 공간은 이중 쌍대 공간 즉 벡터공간 자기 자신[* 원래 이중쌍대공간이 자기 자신이 되는 것은 유한차원 한정이지만, '''위의 기하학에서의 텐서의 정의는 유한 차원일 경우에만 사용된다.''' 무한차원일 경우에는 텐서를 애시당초 다중선형사상으로 정의하지 않는다.], (0, 1) 유형의 텐서의 공간은 쌍대 공간이라 할 수 있을 것이다. 하지만 아무래도 너무 추상적인 얘기로 빠지는 문제가 생기므로 아래에서는 전자의 간략한 정의를 사용하기로 한다. 참고로 [math((p, q) )] 텐서는 [[대수학]]에선 [math(W_{1} \otimes ... \otimes W_{p} \otimes V_{1}^{*} \otimes ... \otimes V_{q}^{*} )]와 동일하다. 덧붙여서, 텐서를 정의하는 방식은 다중 선형 사상 외에도 다차원 행렬이 있다. 벡터[* 정확히는 [math(n )] 튜플이다.]는 어떻게 보면 스칼라를 가로로 늘어놓은 것이라고 생각할 수 있고, 행렬은 벡터를 세로로 늘어놓은 것이라고 생각할 수 있다. 이런 관점에서, [math(k )] 텐서는 [math(F )]의 원소를 [math(k )] 차원 열으로 나열한 것이라고 정의할 수 있다. 그러므로 스칼라는 0 텐서, 벡터는 1 텐서, 행렬은 2 텐서라고 할 수 있다. 텐서는 보통 따로 표시를 하지 않지만, 행렬로 이루어진 텐서는 구별을 위해 밑줄 두 개를 넣는 경우([math(\displaystyle \underline{\underline \varepsilon})])도 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기