문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 타원곡선 (문단 편집) == 타원곡선과 [[정수론]] == 보통 [[정수론]]에서는 두 가지 상황에서 타원곡선을 생각한다. 하나는 x와 y가 [[유리수]]일 때, 즉 타원곡선의 유리수점의 집합 E(Q)를 생각하는 것이다.[* [[정수론]]에서 타원곡선의 A와 B는 보통 유리수이다.] 이 유리수점은 위의 [[군(대수학)|군]] 연산에 대해 닫혀 있고, 모델-베유 정리(Mordell-Weil theorem)에 의해 모든 유리수점은 유한 개의 유리수점의 합으로 나타낼 수 있다.[* [[대수학]]을 배운 사람들이 알아들을 수 있는 정확한 내용은 이는 E(Q)의 군이 유한생성 가환군(Finitely generated abelian group)이라는 것이다.][* 정확하게는 다음 판별식을 만족하는 타원함수에 대하여 적용된다. 즉 [math(\Delta E=-4a^3c+a^2b^2-4b^3-27c^2+18abc)]가 0이 아닌 정수 [math(a,b,c)]에 대하여 [math(E:y^2=x^3+ax^2+bx+c)]라는 타원곡선은 유한개의 유리수해를 가진다는 것이 밝혀져 있으며, 만약 판별식이 0이면 해당 타원곡선은 삼중근 혹은 중근을 가져서 자기 자신과 교차하거나 첨점을 가지게 된다. 또한, 이 판별식이 0이 아닐 때, 이미 알려진 유리수점과 직선을 이용한 평행이동을 이용한 닫힌 연산으로는 확장할 수 없는 꼬인점(Torsion Point)은 많아야 15개 있다는 것도 알려져 있으며(마주르의 정리), 이런 꼬인점은 반드시 '''정수 격자점 좌표'''를 가지고 특히 [math(y)]좌표는 반드시 그 제곱이 판별식의 16배로 나뉘진다(나겔-루츠 정리)는 것도 밝혀져 있다.] 또 다른 하나는 x와 y가 정수이고, 이를 N으로 나눈 나머지를 생각하는 것이다. 즉 합동방정식 E: [math(y^2 \equiv x^3 + Ax + B \pmod N)] 의 해들의 집합 E(N)을 생각하는 것.[* 여기서 A와 B는 정수, 혹은 분모가 N하고 서로소인 유리수여야 한다.] 보통 N이 소수일 때를 생각한다. 예를 들어서 E: [math(y^2 = x^3 + x + 1)] 에서 E(3) = {(0,1), (0,2), (1,0), [math(\infty)]} E(5) = {(0,1), (0,4), (2,1), (2,4), (3,1), (3,4), (2,4), (3,4), [math(\infty)]} 정도가 되겠다. 보다 고급 과정에서는 |E(p)|의 정보들을 모두 모아 L-함수(L-function)란 매우 중요한 대상을 만들고 연구한다. 이 L-함수의 정의에 대해선 '''[[버치-스위너턴다이어 추측]]'''을 참고하도록 하자. 이 L-함수는 E(Q)의 크기를 어림하는 추정치로 생각되고, 이 추정이 맞는지 틀리는지가 바로 버치-스위너턴다이어 추측의 내용.[* 국소-대역 원리(local-global principle)에 따르면 디오판토스 방정식의 global field solution, 즉 Q-solution이 local field solution, 즉 p-adic 해와 real/complex solution과 관련이 있어야 하기 때문이다.] 한편 이 타원곡선의 L-함수와 보형형식(modular form)의 L-함수는 매우 성질이 비슷해서, 수학자들은 '모든 타원곡선의 L-함수는 어떤 보형형식의 L-함수로 나타낼 수 있다'라는 생각을 하게 되었다. 이것이 바로 그 유명한 '''[[모듈러성 정리|타니야마-시무라 추측]]'''(Taniyama-Shimura conjecture), [[페르마의 마지막 정리]] 증명의 핵심 내용이다. 참고로 이 타니야마-시무라 추측과 페르마의 마지막 정리를 연결짓는 엡실론 추측(epsilon conjecture)의 내용은, 만약 다음의 정수해 [math(a^p + b^p = c^p)] 가 있다고 가정한다면, 다음의 타원곡선 [math(y^2 = x(x+a^p )(x-b^p))] 의 L-함수는 어떤 보형형식의 L-함수로 나타낼 수 없다는 것이다.[* 이를 보통 이 타원곡선이 'modular가 아니다' 고 한다.] 이런 식으로 [[정수론]]에서의 타원곡선은 특이한 성질들을 매우 많이 갖고 있을 뿐만이 아니라 수학의 굵직한 문제들을 푸는 강력한 도구가 되었고, 덕분에 주목 받게 되었다. 사실상 타원곡선만을 위한 문제인 [[버치-스위너턴다이어 추측]]이 [[밀레니엄 문제]]로 설정된 것을 생각해보자. 물론 주목을 받고 있다 뿐이지, 여전히 수학자들은 타원곡선에 대해 아는 것보다 모르는 것이 훨씬 많다. 어찌 보면 정수론에서의 [[소수(수론)|소수]]와 대단히 비슷한 포지션을 갖고 있다. 심지어는 이 타원곡선마저도 [[RSA|실생활에 응용이]] 되고 있는 것과 똑같다. [[파일:main-qimg-5b0690e302a38cf2a8068158199e7a21-c.jpg|align=center]] -- 95%가 아니라 99.9% 이상이 못 푼다. -- 여담으로, [[레딧]]에서 퍼져 유행했던 [[디오판토스 방정식]]의 일종인 과일 문제를 [[https://www.quora.com/How-do-you-find-the-positive-integer-solutions-to-frac-x-y+z-+-frac-y-z+x-+-frac-z-x+y-4/answer/Alon-Amit|타원곡선을 이용해 풀 수 있다]]. 주어진 문제를 타원곡선으로 변형한 후, 그 위의 유리수점들을 찾아서 (🍎, 🍌, 🍍)가 양수인 경우를 모두 찾아보는 것이다. [[https://www.youtube.com/watch?v=F0sSItJJg5U|한국어 영상 버전]]. 위 식을 다음처럼 바꾸고 [math(\begin{cases} 🍎=tu \\ 🍌=t(v+y) \\ 🍍=t(v-y) \end{cases})] 양 변에다 분모를 곱한 뒤에 u, v를 x에 대한 적절한 1차식으로 놓아 주어진 식을 타원곡선으로 만드는 게 핵심이다. 다 풀고 나면 비례상수 t를 곱하여 🍎, 🍌, 🍍를 자연수로 만들어주면 된다. 그러면 저 간단한 방정식의 최소 80자릿수를 넘어가는 자연수해를 확인할 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기