문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 타원곡선 (문단 편집) == 타원곡선의 [[군(대수학)|군]] == 모든 타원곡선에는 다음과 같은 두 점을 더하는 매우 신기한 연산이 있다. 두 점 [math({\rm P}=(x_{1},\,y_{1}))]와 [math({\rm Q}=(x_{2},\,y_{2}))]가 있다고 할 때, 이들의 합 [math(\rm{P+Q})]는 다음과 같이 정의한다. * [math(\rm P)]와 [math(\rm Q)]를 잇는 직선 [math(l)]은 타원곡선과 다른 한 점 [math({\rm R}=(x_{3},\,y_{3}))]에서 만난다. * [math(\rm R)]을 [math(x)]축에 대칭시킨 [math({\rm S}=(x_{3},\,-y_{3}))]가 [math(\rm{P+Q})]가 된다. * 예외 규칙 * 무한점 [math(\infty)]에 대해서는 "[math(\infty)]을 지나는 직선은 [math(y)]축과 평행한 직선이다" 라는 규칙을 적용시킨다. 예를 들어 [math(l)]이 [math(y)]축에 평행해서 다른 일반 점하고 안 만날 때는, R은 [math(\infty)]로 정의한다. 만약 [math(\rm{P}=\infty)]일 때는, [math(l)]은 '[math(\rm Q)]를 지나고 [math(y)]축에 평행한 직선'이 된다. * 만약 [math(l)]이 다른 한 점 [math(\rm R)]에서 만나지 않을 경우에는, [math(l)]은 [math(\rm P)] 또는 [math(\rm Q)]에서 접할 것이다. 이 때 [math(\rm R)]은 [math(l)]이 접하는 점이 된다. * [math(\rm{P=Q})]인 경우에는 [math(l)]은 '[math(\rm P)]에서 그은 접선'으로 정의한다. 이 때 [math(l)]이 다른 한 점 [math(\rm{R})]에서 만나지 않는다면 [math(l)]은 [math(\rm P)]에서 변곡점을 가져야 하며, 이 때 [math(\rm R)]은 [math(\rm P)]로 생각한다. * [math(\infty)]에서 그은 접선은 [math(\infty)]에서 변곡점을 가진다. [math(\infty)]를 [math(x)]축에 대칭시키면 [math(\infty)]이다. 예외규칙이 많아서 복잡해보이지만, 사실 첫 두 개만 중요하다. 더 귀찮은 사람은 '''세 점이 나란히 직선 위에 있으면 더해서 0'''이라고 기억하자. 어쨌든 이렇게 정의한 연산은 무려 교환법칙과 결합법칙[* 아래 공식을 이용해서 각각 [math( S_1=\rm{(P+Q)+R})]과 [math( S_2=\rm{P+(Q+R)})]을 계산해보자. 물론 이 [math( \rm R)]은 [math( \rm{P+Q})]을 말하는 게 아니다.] 을 만족시키며, [math(\infty)]을 항등원으로 갖고, '[math(x)]축에 대한 대칭점'을 역원으로 갖는 신기한 성질들을 지닌다. 한 마디로 말해서 [[군(대수학)|군]], 그 중에서도 교환법칙을 성립하는 군인 아벨 군이 된다. [math(l)]이 타원곡선과 두 점에서 만나면 다른 한 점에서도 만나야 한다는 것은, '삼차식이 두 개의 근을 가지면 하나의 근을 더 가져야 한다'는 이유로 설명할 수 있다. 무한점의 경우에는 ([math(x)]와 [math(y)]가 실수인 경우에) [math(y)]가 무한대로 갈 때의 극한, 접선 예외 규칙의 경우에는 [math(\rm Q)]가 [math(\rm P)]로 접근할 때의 극한 이런 식으로 억지로 납득할 수 있을 것이다. 물론 이게 올바른 이해 방법이란 건 아니다. 사실 교환법칙, 항등원, 역원에 대한 내용은 위 예외 규칙들을 잘 숙지했다면 증명하기는 쉬운 내용이긴 하다. 문제는 결합법칙인데, 이것은 다소 어렵다. 교점 좌표는 다음과 같이 구할 수 있다. ||타원곡선 [math(y^2=x^3+ax+b)] 위에 주어진 점 [math({\rm P}(x_P, \,y_P))]와 [math({\rm Q}(x_Q,\, y_Q))]사이를 잇는 직선 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle y=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}(x-x_P)+y_P)]}}} 을 타원곡선에 대입한 뒤 정리하면 [[삼차방정식]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle x^3-\left(\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}\right)^2x^2+(일차식)=0)]}}} 을 얻는데, 직선이랑 타원곡선이 교차하는 또다른 점을 R(x,,R,,, y,,R,,)이라고 하면 [[근과 계수의 관계]] [math(x_P+x_Q+x_R=\left(\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}\right)^2)]에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\therefore x_R=\left(\dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}\right)^2-x_P-x_Q)]}}} 임을 알 수 있다. 그다음 구한 [math(x_R)]값을 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(y_R=\dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}(x_R-x_P)+y_P)]}}} 에 대입하고 정리하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(y_R=\dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}\left(x_R-\dfrac{x_Q+x_P}{2}\right)+\dfrac{y_P+y_Q}{2})]}}} 를 얻는다. 이제 이 연산이 어떤건지 한번 보자. ---- 타원곡선 위 점 X(x,,X,,, y,,X,,)을 [[미분방정식]] [math((f'(x))^2=(f(x))^3+af(x)+b)]를 만족하는 함수를 써서 각각 x,,X,,=f(x), y,,X,,=f'(x)로 놓으면 점 P~R에 대해서도 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle f(r)=\left(\frac{f'(q)-f'(p)}{f(q)-f(p)}\right)^2-f(q)-f(p))] [math(\displaystyle f'(r)=\frac{f'(q)-f'(p)}{f(q)-f(p)}\left(f(r)-\dfrac{f(p)+f(q)}{2}\right)+\dfrac{f'(p)+f'(q)}{2})]}}} 로 놓을 수 있다. 이 r값을 구하기 위해 [math(\frac {dp}{dx}=\frac {dq}{dx}=1)]로 놓고 f(r)을 미분하면 [math(\displaystyle f'(r)\frac {dr}{dx})] [math(\displaystyle =-2\left(\frac{f'(q)-f'(p)}{f(q)-f(p)}\right)^3~(분자미분)+2\frac{(f''(q)-f''(p))(f'(q)-f'(p))}{(f(q)-f(p))^2}~(분모미분)-f'(q)-f'(p))] [math(\displaystyle =-2\frac{f'(q)-f'(p)}{f(q)-f(p)}(f(r)+f(p)+f(q))+2×\frac32\frac{(f(q)^2-f(p)^2)(f'(q)-f'(p))}{(f(q)-f(p))^2}-f'(q)-f'(p))] [math(\displaystyle =\frac{f'(q)-f'(p)}{f(q)-f(p)}(f(p)+f(q)-2f(r))-f'(q)-f'(p))] [math(\displaystyle =-2f'(r))] 이고, r에 대한 식이 [[대칭식]]이므로 r=-p-q임을 알 수 있다. 여기서 f(x)가 짝함수, f'(x)가 홀함수이므로 R=(f(p+q), -f'(p+q))이니 교점 R을 y축에 대칭시킨 R'(x,,R,,, -y,,R,,)=(f(p+q), f'(p+q))을 점 P와 점 Q를 더한 것으로 정할 수 있으며, 이 연산은 결합법칙 등 또다른 성질도 만족시킴을 알 수 있다. ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기