문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 측도 (문단 편집) === 예비측도 === 외측도는 주로 대수 위에서 정의된 예비측도를 사용하여 구성한다. 집합 [math(X)]의 '''대수'''(algebra)는 여집합과 '''유한''' 합집합에 닫혀있는, [math(X)]의 부분집합족이다. 대수 [math(\mathcal{A})] 위의 '''예비측도'''(premeasure) [math(\mu_0: \mathcal{A} \to [0, \infty])]는 다음 조건을 만족시키는 함수이다. * [math(\mu_0(\varnothing) = 0)] * 대수 [math(\mathcal{A})]의 가산 서로소 집합열 [math(\{E_k\})]에 대하여 [math(\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{A})]이면 [math(\displaystyle \mu_0 \Biggl( \bigcup_{k=1}^\infty E_k \Biggr) \!= \sum_{k=1}^\infty \mu_0(E_k))] 집합 [math(X)]의 대수 [math(\mathcal{A})] 위에서 정의된 예비측도 [math(\mu_0)]와 [math(A\subseteq X)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mu^*(A) = \inf\limits_{\{E_n\} \subseteq \mathcal{A}} \left\{ \sum_{n=1}^\infty \mu_0(E_n) \right\} \qquad\cdots(1) \end{aligned} )]}}} 로 정의된 함수 [math(\mu^*: \mathcal{P}(X) \to [0, \infty])]는 [math(X)] 위의 외측도이다. 여기서 [math(\{E_n\})]은 [math(A)]의 덮개이다. 이와 같이 예비측도 [math(\mu_0)]를 확장하여 얻은 외측도 [math(\mu^*)]에 대하여 [math(\mu^*|_{\mathcal{A}} = \mu_0)]이며, 각 [math(A \in \mathcal{A})]는 [math(\bf\mu^*)]-가측집합이다. 임의의 집합에 대해 측도를 부여할 때는 집합 전체에서 정의되는 외측도를 이용하여 가측집합을 구성하고, 외측도의 정의역을 가측 집합족으로 제한하여 측도를 구성한다. ||'''카라테오도리 정리''' (Carathéodory's theorem) ---- [math(\mu^*)]-가측 집합의 모임 [math(\mathcal{M})]은 [math(\sigma)]-대수이며, [math(\mu = \mu^*|_{\mathcal{M}})]는 가측 공간 [math((X, \mathcal{M}))] 위의 완비측도이다.|| 예비측도를 이용한 외측도의 구성과 카라테오도리 정리를 이용하여 대수 위의 예비측도를 [math(\sigma)]-대수 위의 측도로 자연스럽게 확장시킬 수 있다. ||'''정리''' ---- 대수 [math(A \subseteq \mathcal{P}(X))]로 생성된 [math(\sigma)]-대수를 [math(\mathcal{M})]이라 하자. [math(\mathcal{A})] 위의 예비측도 [math(\mu_0)]를 이용해 [math((1))]과 같이 구성된 외측도 [math(\mu^*)]에 대하여 [math(\mathcal{M})] 위의 측도 [math(\mu = \mu^*|_{\mathcal{M}})]은 [math(\mu_0)]의 확장이다. [math(\mu_0)]가 [math(\sigma)]-유한이면 [math(\mathcal{M})] 위의 [math(\mu_0)]의 확장된 측도는 [math(\mu)]가 유일하다.||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기