문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 측도 (문단 편집) == 성질 == 측도공간 [math((X, \mathcal{M}, \mu))]에 대하여 다음 성질이 성립한다. * '''(monotonicity)''' [math(A, B \in \mathcal{M})]에 대하여 [math(A \subseteq B)]이면 [math(\mu(A) \le \mu(B))]이다. * '''(excision)''' [math(A, B \in \mathcal{M})]에 대하여 [math(A \subseteq B)]일 때, [math(\mu(A) < \infty)]이면 [math(\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A))]이다. * '''(countable monotonicity)''' [math(E \in \mathcal{M})]일 때, [math(E)]를 덮는, 즉 [math(\displaystyle E \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty E_k)]인 가측인 가산 집합족 [math(\{E_k\}_{k=1}^\infty \subseteq \mathcal{M})]에 대하여 [math(\displaystyle \mu(E) \le \sum_{k=1}^\infty \mu(E_k))]를 만족한다. * '''(continuity from below)''' [math(\mathcal{M})]의 증가집합열 [math(\{E_k\})]에 대하여 [math(\displaystyle \mu \Biggl( \bigcup_{k=1}^\infty E_k \Biggr) \!= \lim_{k\to\infty} \mu(E_k))]이다. * '''(continuity from above)''' [math(\mathcal{M})]의 [math(\mu(E_1)<\infty)]인 감소집합열 [math(\{E_k\})]에 대하여 [math(\displaystyle \mu \Biggl( \bigcap_{k=1}^\infty E_k \Biggr) \!= \lim_{k\to\infty} \mu(E_k))]이다. 완비가 아닌 측도는 그 측도가 정의된 [math(\sigma)]-대수에 적절한 원소를 추가하여 완비 측도로 확장할 수 있다. 측도공간 [math((X, \mathcal{M}, \mu))]에 대하여 [math(\mathcal{N} = \{ N\in\mathcal{M} \,|\, \mu(N)=0 \})], [math(\overline{\mathcal{M}} = \{ E\cup F \,|\, E\in\mathcal{M}, F\subseteq N \,(N\in\mathcal{N}) \})]이라 하자. 그러면 [math(\overline{M})]은 [math(\sigma)]-대수이고 [math(\mu)]의 [math(\overline{M})]으로의 유일한 확장인 완비측도 [math(\overline{\mu})]가 존재한다. ||{{{-1 '''증명'''}}} [math(\mathcal{M},\ \mathcal{N})]은 가산 합집합에 대하여 닫혀 있으므로 [math(\overline{\mathcal{M}})]은 가산 합집합에 닫혀있다. [math(E\cup F \in \overline{\mathcal{M}}(E\in\mathcal{M},\ F\subseteq N\in\mathcal{N}))]에 대하여 [math(F\setminus E\subseteq N\setminus E \in\mathcal{N} )]이고 [math(E\cup F=E\cup(F\setminus E))]이므로 [math(E\cap F =\varnothing)]이라 하자. [math(E \cup F=(E\cup N)\cap(N^c \cup F))]에서 [math((E\cup F)^c =(E \cup N)^c \cup (N\setminus F))]이고 [math((E\cup N)^c \in \mathcal{M},\ N\setminus F \subseteq N)]이므로 [math((E\cup F)^c\in\overline{\mathcal{M}})]이므로 [math(\overline{\mathcal{M}})]은 [math(\sigma)]-대수이다. [math(E\cup F\in \overline{\mathcal{M}})]에 대하여 [math(\overline{\mu}(E\cup F)=\mu(E))]라 하자. [math(E_1 \cup F_1,\ E_2\cup F_2 \in\mathcal{\overline{M}}(F_i\subseteq N_i \in\mathcal{N}))]에 대하여 [math(E_1\cup F_1 \ne E_2 \cup F_2)]이면 [math(E_1 \subseteq E_1 \cup F_1\cup N_2=E_2 \cup N_2)]이므로 [math(\mu(E_1)\le\mu(E_2)+\mu(N_2)=\mu(E_2))]이다. 같은 방법으로 [math(\mu(E_2)\le \mu(E_1))]을 얻고, [math(\overline{\mu}(E_1\cup F_1)=\overline{\mu}(E_2\cup F_2))]로 [math(\overline{\mu})]는 잘 정의된 측도이다. [math(\mu^\prime)]을 [math(\mathcal{\overline{M}})] 위의 [math(\mu)]의 확장 측도라고 하자. [math(E \cup F \in \mathcal{\overline{M}}(E\in\mathcal{M},\ F\subseteq N\in\mathcal{N}))]에 대하여 [math(\mu^\prime(E\cup F)=\mu^\prime(E)+\mu^\prime(F)=\mu(E)+\mu^\prime(F)=\overline{\mu}(E\cup F)+\mu^\prime(F))]이고 [math(F\subseteq N\in\mathcal{N})], [math(\mu^\prime(N)=\mu(N)=0)]에서 [math(\mu^\prime(F)=0)]이므로 [math(\overline{\mu}(E\cup F)=\mu^\prime(E\cup F))]이다. 즉, [math(\overline{\mu})]는 [math(\mu)]의 [math(\overline{\mathcal{M}})] 위에서의 유일한 확장이다. ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기