문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 측도 (문단 편집) === 측도 === 측도는 잴 수 있는 집합 즉, 시그마 대수의 각 원소에 그 크기에 해당하는 0 이상의 실수를 부여하는 함수이다. 측도의 정의는 다음과 같다. 가측공간 [math((X, \mathcal{M}))]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [math(\mu: \mathcal{M} \to [0, \infty])]를 [math((X,\mathcal{M}))] 위의 '''측도'''(measure)라고 한다. * [math(\mu(\varnothing) = 0)] *'''([math(\sigma)]-additive)''' 서로소 가산 집합족(countable disjoint family) [math(\{E_n\}_{n=1}^\infty \in \mathcal{M})] 에 대하여 [math(\displaystyle \mu \Biggl( \bigcup_{k=1}^\infty E_k \Biggr) \!= \sum_{k=1}^\infty \mu (E_k))]이다. 측도가 부여된 가측 공간 [math((X, \mathcal{M}, \mu))]를 '''측도 공간(measure space)'''이라고 한다. 집합 [math(X)] 위의 측도 [math(\mu)]가 [math(\mu(X) < \infty)]이면 [math(\mu)]를 '''유한'''이라고 한다. [math(X)]가 모든 [math(k)]에 대하여 [math(\mu(E_k) < \infty)]인 집합 렬 [math(\{E_k\})]의 합집합, 즉 [math(X = \bigcup_{k=1}^\infty E_k)]이면 [math(\mu)]를 '''[math(\sigma)]-유한'''이라고 한다. [anchor(ae)]측도 공간 [math((X, \mathcal{M}, \mu))]의 가측 집합 [math(E \in \mathcal{M})]가 [math(\mu(E) = 0)]을 만족시킬 때, [math(E)]를 '''영집합'''(null set)이라고 한다. 어떤 명제가 영집합을 제외한 모든 [math(x \in X)]에서 성립할 때, 이 명제는 '''거의 모든 곳에서'''(almost everywhere, 줄여서 a.e.) 참이라고 한다. 예를 들어 두 함수 [math(f, g)]에 대하여 집합 [math(\{x: f(x) \ne g(x)\})]의 측도가 0이면 [math(f, g)]를 거의 모든 곳에서 같은 함수라고 한다. [anchor(atom)]영집합이 아닌 가측 집합 [math(A\in\mathcal{M})]가 [math(\mu(E)<\mu(A))]를 만족시키는 임의의 가측 부분집합 [math(E\subset A)]에 대하여 [math(\mu(E)=0)]일 때, [math(A)]를 측도공간 [math((X, \mathcal{M},\mu))]의 '''원자'''(atom)라고 한다. [math(\sigma)]-유한 측도 [math(\mu)]에 대하여 임의의 양측도 가측집합이 원자를 포함하면 [math(\mu)]를 '''원자적''' 측도라고 하며, 원자를 갖지 않는 측도 [math(\mu)]를 '''비원자적'''측도라 한다. [math(\mu(E) = 0)]인 임의의 [math(E \in \mathcal{M})]에 대하여 [math(E)]의 모든 부분집합이 가측인 측도를 '''완비측도'''라고 한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기