문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 측도 (문단 편집) === 보렐 측도 === 거리(위상)공간 [math(X)]의 모든 열린집합의 집합족으로 생성된 [math(\sigma)]-대수 [math(\mathcal{B}_X)]를 '''보렐 [math(\sigma)]-대수'''라고 한다. 즉, 보렐 [math(\sigma)]-대수는 [math(X)]의 모든 열린집합을 원소로 갖는 최소 [math(\sigma)]-대수이다. 보렐 [math(\sigma)]-대수의 원소를 '''보렐 집합'''이라고 하며, 보렐 [math(\sigma)]-대수 위에서 정의된 측도를 '''보렐 측도'''라고 한다. 프랑스의 수학자이자 정치인 [[https://ko.wikipedia.org/wiki/에밀_보렐|에밀 보렐]]의 이름에서 따왔다. 실수 전체의 집합 [math(\R)]에서 보렐 측도의 구성 과정은 대수와 예비측도가 [math(\sigma)]-대수와 측도로 확장되는 과정을 보여주는 대표적인 예시이다. 또한, 보렐 측도의 완비화를 통하여 르베그-스틸체스 측도를 얻을 수 있다. [math(\R)]의 보렐 측도는 [math(\mathcal{B}_{\R})]를 생성하는 [math(\R)]의 대수 [math(\mathcal{A} = \{ (a,b] \subseteq \R \,|\, a, b \in \overline{\R} \})] 위에 예비 측도를 부여함으로써 구성할 수 있다. [math(F: \R \to \R)]가 우연속 증가함수이고 [math((a_k, b_k])](단, [math(k=1, \cdots\!, n)])가 서로소인 반열린구간일 때, 다음과 같이 정의된 함수 [math(\mu_0: \mathcal{A} \to [0, \infty])]는 대수 [math(\mathcal{A})]의 예비측도이다. * [math(\mu_0(\varnothing) = 0)] * [math(\displaystyle \mu_0 \Biggl( \bigcup_{k=1}^n (a_k, b_k] \Biggr) \!= \sum_{k=1}^n [ F(b_k)-F(a_k) ])] 위와 같이 구성한 예비측도 [math(\mu_0)]를 [math(\mathcal{B}_{\R})] 위로 확장한 측도의 완비화를 [math(\mu_F)]로 나타낸다. [math(\mu_F)]를 [math(F)]에 대한 '''르베그-스틸체스 측도'''라고 한다. 르베그-스틸체스 측도의 정의에서 반열린구간을 열린구간으로 대체 가능하다. 우연속 증가 함수 [math(F)]에 대한 르베그-스틸체스 측도를 [math(\mu)], [math(\mu)]의 정의역인 [math(\sigma)]-대수를 [math(\mathcal{M}_\mu)]라고 하면 다음이 성립한다. ||'''보조정리''' ---- 임의의 [math(E \in \mathcal{M}_\mu)]에 대하여 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mu(E) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^\infty \mu((a_k, b_k)) \,\middle|\, E \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty (a_k, b_k) \right\} \end{aligned} )]}}} || 또한 보렐 측도는 위상 공간에서 정의되었기 때문에 집합의 측도와 가측성을 위상적 대상을 이용하여 표현할 수 있다. ||'''정리''' ---- [math(E \in \mathcal{M}_\mu)]에 대하여 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mu(E) &= \inf \{ \mu(U) \,|\, E \subseteq U, \,U\text{는 열린집합} \} \\ &= \sup \{ \mu(K) \,|\, E \supseteq K, \,K\text{는 컴팩트 집합} \} \end{aligned} )]}}} || 다음 정리에서 [math(G_\delta)] 집합과 [math(F_\sigma)] 집합은 각각 열린집합의 가산 교집합과 닫힌집합의 가산 합집합을 의미한다. ||'''정리''' ---- [math(E\subseteq\R)]에 대하여 다음은 동치이다. * [math(E \in \mathcal{M}_\mu)] * [math(G_\delta)] 집합 [math(V)]와 영집합 [math(N_1)]에 대하여 [math(E=V-N_1)] * [math(F_\sigma)] 집합 [math(H)]와 영집합 [math(N_2)]에 대하여 [math(E=H\cup N_2)] ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기