문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 초실수체 (문단 편집) == 정의 == 어떤 집합 [math(I)]에 대해서, [math(I)] 위의 '''필터'''(filter on [math(I)]) [math(U)]란 [math(I)]의 부분집합들을 원소로 하고, 다음의 세가지 조건을 만족하는 집합을 말한다. 1. 포함집합(superset)에 닫혀있다: [math(X\in U)] 이고 [math(X\subset Y \subset I)] 이면 [math(Y\in U)] 1. 유한 교집합에 닫혀있다: [math(X,Y\in U)] 이면 [math(X\cap Y \in U)] 1. [math(I\in U)] 이고 [math(\emptyset \notin U)] 임의의 [math(X\subset I)]에 대하여 [math(X)]와 [math(I-X)] 중에 어느 하나만이, 반드시, 필터 [math(U)]의 원소일 때, [math(U)]를 '''극대필터'''라고 한다. 극대필터 [math(U)]의 모든 원소가 무한집합이면 [math(U)]를 '''자유극대필터'''(free ultrafilter)라고 한다. [[초른의 보조정리]]를 이용하면, 임의의 무한집합 [math(I)]에 대하여, [math(I)]위의 자유극대필터가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.[* [[선택공리]]를 배제하면, 즉, [[ZFC 공리계]]가 아닌 ZF 공리계에서는 존재성에 대해 증명할 방법이 없다고 한다. 그래서 Errett Bishop 같은 [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%AC%EC%84%B1%EC%A3%BC%EC%9D%98_(%EC%88%98%ED%95%99)|구성주의]] 수학자들은 초실수에 대해서 부정적으로 보았다.] 자유극대필터의 유일성은 보장되지 않는다.[* 자유극대필터의 선택에 따라 다른 초실수체가 나올 수 있는데, [[연속체 가설]]을 가정하면, 서로 다른 초실수체가 모두 동형이라고 한다.] 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]에 대하여 [math(\mathbb{N})] 위의 자유 극대필터(free ultrafilter on [math(\mathbb{N})]) [math(U)]가 주어졌을 때, 실수열의 집합 [math(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})]에 대하여 다음과 같은 [[동치관계]] [math(=_{U})]를 줄 수 있다. [math(a=_{U} b)] if and only if [math(\{i\in \mathbb{N}|a_{i}=b_{i}\}\in U)] 이 관계가 동치관계인 이유는, 반사성은 전체집합 [math(\mathbb{N})]이 필터의 원소가 되기 때문이고, 대칭성은 정의에 의해 자명하고, 추이성은 필터가 교집합과 포함집합에 닫혀있기 때문이다. [math(a)]의 동치류를 [math(a_{U}=\{b\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|a=_{U}b\})]로 나타내자. 그러면, 초실수체 [math(\mathbb{R}^{*})]는 [math(\mathbb{R})] modulo [math(U)]의 초거듭제곱(ultrapower)이다. [math(\mathbb{R}^{*}=\displaystyle\prod_{U} {\mathbb{R}}=\{a_{U}|a\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\})] 이렇게 구성하는 방법을 ultrapower construction이라 한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기