문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 중심력 (문단 편집) === 평면 상 운동 === 이제부터, 중심력이 작용하는 이체 문제를 고려하자. 중심력의 정의에 따라 [math(\mathbf{F}=F(r)\hat{\mathbf{r}})]로 쓸 수 있다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mu \mathbf{\ddot{r}}=F(r)\hat{\mathbf{r}} )] }}} 다음과 같이 양변에 [math(\mathbf{r})]을 외적연산해주면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mu (\mathbf{r} \times \mathbf{\ddot{r}})=F(r)(\mathbf{r} \times \hat{\mathbf{r}}) )] }}} 식의 우변은 0이 되고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mu \mathbf{r} \times \mathbf{\ddot{r}} = \frac{d}{dt}(\mu \mathbf{r} \times \mathbf{\dot{r}} ) )] }}} 이다. 한편, 괄호 안의 항 [math(\mu \mathbf{r} \times \mathbf{\dot{r}} =\mathbf{L})]로 각운동량을 의미하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{\dot{L}}=0 )] }}} 으로 이 운동에서 각운동량은 보존된다. 따라서 다루는 문제가 구대칭성(Spherical symmetry)을 갖고, 한 평면에서 운동이 기술될 수 있음을 얻는다. 다음 그림을 참조하자: [[파일:나무_중심력_3_수정.png|width=330&align=center]] 따라서 물체의 위치를 기술하기 위해선 원점으로 부터 떨어진 거리인 [math(r)]과 그 회전각 [math(\theta)]만 있으면 됨을 얻으며, 이 계에서 외력이 없기 때문에 계의 에너지 또한 보존되고, 그 에너지를 [math(E)]라 놓으면, 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})+U=E )] }}} [math(U)]는 [[퍼텐셜 에너지]]이고, [math(r \equiv |\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}|)]이다. 만약 [math(m_{1})], [math(m_{2})] 사이에 작용하는 힘이 [math(\mathbf{F})]라 하면, 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{\ddot{r}}_{1}=\frac{\mathbf{F}}{m_{1}} \qquad \qquad \mathbf{\ddot{r}}_{2}=-\frac{\mathbf{F}}{m_{2}} )] }}} [math(\mathbf{r} \equiv \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2})]이므로 위 식을 적절히 정리하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mu \mathbf{\ddot{r}}=\mathbf{F} )] }}} 따라서 [math(\mu)]가 받는 힘 또한 같음을 알 수 있다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle F(r)=-\frac{\alpha}{r^{2}} )] }}} [math(\alpha)]는 상수이다.[* 이를테면, 중력은 [math( \alpha = Gm_{1} m_{2} )]이다.] [[퍼텐셜 에너지]]와 힘의 관계[* [math( \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )]]에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle U(r)=-\frac{\alpha}{r} )] }}} 이다. 따라서 고려하는 계의 에너지는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})-\frac{\alpha}{r}=E )] }}} 계의 [[라그랑지언]]은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle {\mathscr L}=\frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})+\frac{\alpha}{r} )] }}} 이고, [math( \theta )]는 순환 좌표이기 때문에 [math( \theta )]에 대한 운동량은 보존된다. 해당 운동량을 [math(l)]이라 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mu r^{2} \dot{\theta}=l )] }}} 이를 이용하면, 계의 에너지를 아래와 같이 바꿀 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle E=\frac{1}{2}\mu \dot{r}^{2}+\frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}}-\frac{\alpha}{r} )] }}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기