문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 중심력 (문단 편집) ==== [[양자역학]]에서 응용 ==== [[슈뢰딩거 방정식]]을 따르는 매우 작은 입자계도 질량 중심 [math(\mathbf{R})]과 두 입자 사이의 변위 [math(\mathbf{r})]로 나눠서 일체 문제처럼 생각할 수 있다. 두 입자 [math(m_{1})], [math(m_{2})]의 위치를 각각 [math(\mathbf{r}_{1}=(x_{1},\,y_{1},\,z_{1}))], [math(\mathbf{r}_{2}=(x_{2},\,y_{2},\,z_{2}))]라 하고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{R} &\equiv (X,\,Y,\,Z) \\ \mathbf{r} &\equiv (x,\,y,\,z) \end{aligned} )] }}} 로 정의하자. 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{R}&=\frac{m_{1}\mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\ \mathbf{r}&=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} \end{aligned} )] }}} 이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial X}{\partial x_1} &= \frac{m_1}{m_1 + m_2} \\&= \frac{\mu}{m_2} \\ \frac{\partial X}{\partial x_2} &= \frac{m_2}{m_1 + m_2} \\& = \frac{\mu}{m_1} \end{aligned})] }}} [[연쇄 법칙]]에 의해 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_1 } &= \frac{\partial}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial x_1} + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x_1 } \\& = \frac{\mu}{m_2} \frac{\partial}{\partial X} + \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial x_2 } &= \frac{\partial}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial x_2} + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x_2 } \\& = \frac{\mu}{m_1} \frac{\partial}{\partial X} - \frac{\partial}{\partial x} \end{aligned} )] }}} 위 식은 [math(Y)], [math(Z)]에 대해서도 똑같이 성립하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}_1 &= \frac{\mu}{m_2} \boldsymbol{\nabla}_R + \boldsymbol{\nabla}_r \\ \boldsymbol{\nabla}_2 &= \frac{\mu}{m_1} \boldsymbol{\nabla}_R - \boldsymbol{\nabla}_r \end{aligned} )] }}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}_{R}=\sum_{i} \frac{\partial}{\partial R_{i}} \hat{R}_{i} \qquad \boldsymbol{\nabla}_{r}=\sum_{i} \frac{\partial}{\partial r_{i}} \hat{r}_{i} )] }}} 임을 의미한다. 위 식을 [[슈뢰딩거 방정식]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 m_1} \nabla_1^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2 m_2} \nabla_2^2 \psi + V(\mathbf{r}) \psi = E \psi )] }}} 에 대입하면 다음 식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 M} \nabla_R^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_r^2 \psi + V(\mathbf{r}) \psi = E \psi )] }}} 이때 [math(M \equiv m_1 + m_2)]는 두 입자의 전체 질량이다. 위 식을 변수분리 하기 위해 [[파동함수]]를 [math(\psi(\mathbf{R},\,\mathbf{r}) = \psi_R (\mathbf{R}) \psi_r (\mathbf{r}))]의 곱이라 가정하고, 대입하면, 다음 식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 M} \frac{\nabla_R^2 \psi_R}{\psi_R} - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{\nabla_r^2 \psi_r}{\psi_r} + V(\mathbf{r}) = E )] }}} 위 식의 좌변에서 첫째 항은 [math(\mathbf{R})]에 대한 함수이고, 둘째 항과 셋째 항은 [math(\mathbf{r})]에 대한 함수이므로, 임의의 위치에 대하여 식을 만족시키려면 두 부분이 모두 상수여야 한다. 이 상수를 각각 [math(E_R)], [math(E_r)]이라고 하면, 각각 다음 식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} - \frac{\hbar^2}{2 M} \nabla_R^2 \psi_R &= E_R \psi_R \\ - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_r^2 \psi_r + V(\mathbf{r}) \psi_r &= E_r \psi_r \end{aligned} )] }}} 즉, 여기서 첫 번째 식은 두 입자를 하나의 물체로 본 질량 중심을 나타내며, 두 번째 식은 질량 중심을 기준으로 움직이는 질량 [math(\mu)]인 입자의 운동을 나타낸다. 이는 퍼텐셜 [math(V)]에서 움직이는 하나의 입자, 즉 일체 문제와 같다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기