문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 정수론 (문단 편집) == 상세 == 고대부터 중세까지의 수학에서 정수론은 [[기하학]], [[해석학]], [[대수학]]과 어깨를 나란히 하는 학문 파트 중 하나였다. 흔히 수학을 산술, 대수, 기하, 해석으로 분류하는데, 정수론은 이 중에서 산술(arithmetic)[* 수를 뜻하는 그리스어 arithmos에서 나온 단어이다.] 이라는 명칭으로 불리던 분야이다. 독자적인 이론도 풍부했으며, 그 때문에 [[한국수학올림피아드]] 같은 곳에선 아직도 독립된 분야로 다루고 있다.[* 정수, 대수, 기하, 조합 분야로 나뉜다.] 정수 체계는 수학의 가장 중심적인 영역이기도 한데, 인간이 연구하는 수학적 관념들의 시작점이기 때문. 이와 관련하여 수학자 레오폴드 크로네커는 "자연수는 신의 선물, 나머지 모든 것은 인간의 작품이다."이라는 명언을 남기기도 하였다. 정수론은 유명한 난제가 제일 많이 존재하는 수학 세부 분야이다. 다른 분야는 애초에 문제 자체를 일반인은 이해할 수 없는 경우가 대부분이므로 유명해지는 것부터가 쉽지 않다. 반면에 정수론은 '''문제 그 자체는 중학생도 이해할 수 있을 정도로 쉬운 경우가 많기 때문에''' 유명해지기가 쉽다. 특히 [[콜라츠 추측]] 같은 문제는 초등학생도 매우 쉽게 이해할 수 있는 문제이지만 100년 가까이 증명되지 않았다. [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]도 누구나 쉽게 페르마의 정리와 같은 문제를 만들어 낼 수 있을 것이라고 했을 정도.[* 사실 가우스가 페르마의 마지막 정리를 비하(?)하면서 내뱉은 말이다. 누군가가 가우스에게 페르마의 마지막 정리를 해결해보라고 권유했는데, 가우스는 매우 불쾌해하면서 '나도 그런 문제는 얼마든지 만들 수 있다.'라고 했다. 그도 시도했다가 못 풀었기에 자존심 면에서 그렇게 말한 것으로 추정된다.] 물론 정수론의 난제를 풀어내기 위해서는 다른 분야만큼이나 고난이도의 방법론이 사용된다. 정수론에서 가장 유명했던 난제는 1990년대에 [[앤드루 와일즈]]에 의해 풀린 [[페르마의 마지막 정리]]'''였다'''. 이 정리의 내용은 "정수 [math(n\ge 3)]에 대해, [math(x^{n} +y^{n} =z^{n})] 을 만족하는 자명하지 않은 해[* [math(xyz\ne0)]인 해]는 존재하지 않는다" 이다.[* 애초에 형태부터 [[피타고라스 정리]]와 매우 유사해서 내용은 대부분 이해할 수 있지만, 풀이는 대수기하학, 대수적 정수론에 대한 전문적인 지식이 충분해야 이해할 수 있다.] 이 분야에서 아직까지 풀리지 않은 문제는 [[골드바흐 추측]]과 [[리만 가설]] 등이 있다. 정수론의 현실 세계에서의 쓰임새는 다른 수학 분야에 비해 적지만, 아이러니하게도 정수론의 문제를 해결하기 위해 모든 분야들을 총동원하는 것을 볼 수 있다. 최전방의 수학 분야들이 정수론 문제들을 고려하여 이끌어진 것이 꽤 되고, 이 과정 속에서 필즈상을 타는 경우도 제법 있다. 그런 이유에서 동떨어진 듯한 분야에서의 놀라운 정리가 사실 역사적으로는 정수론의 문제를 해결하려는 도중에 발견된 것들도 많이 있다. 상기했듯이 쓰임새가 적은 편이라 '[[잉여]] 분야'라는 이미지가 있지만[* 흥미롭게도 정수론에서는 '''잉여계에 대해''' 깊게 연구한다(...). 정수론을 공부하다 보면 이차 잉여 등 나머지와 연관 지어서 '잉여'라는 단어를 상당히 많이 볼 수 있다. ~~이 각주 또한 정말 잉여스러운 정보이다.~~] 그래도 사용하는 곳이 생각보다는 많다. [[암호학]]의 기본 이론도 이 정수론을 기본으로 하고 있으며,[* 예를 들어, 현재까지 [[쌍둥이 소수]](두 수의 차가 2인 소수의 쌍)의 무한성이 증명되지 않았는데, 증명 여부에 따라 쌍둥이 소수가 암호로서 가지는 능력이 결정될 수 있다. 유한하다면 컴퓨터로 해결할 수 있지만 무한하다면 얘기가 달라지기 때문이다.] 정보와 관련된 이론들도 상당 부분 정수론을 기본으로 한다. .그리고 컴퓨터가 발달되면서 사용빈도가 늘었다. 그 이유라 하면, 컴퓨터에서 정수는 '''정확한 값'''을 가질 수 있기 때문이다. 실수형 타입의 경우에는 round off error(반올림 오차)[* 한 예로, 루트 2는 1.41421356237...로 계속되는 [[무리수]]인데, 물리법칙에 따라 만들어진(시공간적 제한이 있는) 컴퓨터로는 무한한 길이를 가진 '''루트 2의 정확한 값을 저장할 수 없다'''. 그리고, 정확한 값 대신 저장한 근삿값인 1.41421356237를 제곱하면 2가 나오지 않고 1.9999999999가 나온다. 이런 오차는 정보를 정확히 저장해야 하는 컴퓨터의 입장에서는 사용하기 곤란하다. 이걸 해결하려면 소프트웨어적으로 "루트 2"라고 저장하고 제곱을 비롯한 다양한 계산을 할 때 따로 처리를 해주는 번거로운 짓거리를 해야 한다. 앞에서는 루트 2라는 무리수를 예로 들었지만, 실제로는 문제가 더 심각해서 2진법상에서 유한소수로 처리될 수 없는 대부분의 유리수에서도 오차가 발생한다.]가 발생하기 때문에 이로 인한 문제가 발생할 수 있다. 컴퓨터 공학 비전공자를 위해 최대한 이해가 쉽게 설명하면, 컴퓨터의 floating point 시스템은 소수점 이상과 소수점 이하를 합쳐서 표현할 수 있는 '유효 숫자' 자리수에 한계가 정해져 있다. 설명을 위해 유효 숫자 자리수가 예를 들어 6 자리라고 가정하자. 그럼 12345600, 1234560, 123456, 12345.6, 1234.56, 123.456, 12.3456 1.23456, 0.123456, 0.0123456, 0.00123456 등은 모두 표현 가능하다. 12345600 은 8 자리인데 왜 유효 숫자가 6 개인지 의문을 가질 수 있는데, 이 경우에는 소수점 이하의 값이 없고(0 이고) 동시에 소수점 이상에서 일의 자리와 십의 자리 둘다 0 이기 때문에 이는 유효 정보가 없는 것으로 취급할 수 있기 때문이다. 0.00123456 도 명목상으로는 소수점 이하 8 자리이지만 비슷하게 소수점 이상의 값이 없고(0 이고) 소수점 이하에서도 처음 두 자리 모두 0 이라 똑같이 유효 정보가 없는 것으로 간주할 수 있다. 즉 앞에서 든 모든 숫자에서 유효 정보는 모두 123456 으로 6 자리 동일하다. 이 유효 정보에다 다른 추가 정보를 사용해서 앞에서 든 값을 각각 구분해서 표현하는 것이다. 자 그런데 12345600 과 값이 단 1 차이인 12345601 을 생각해보자. 값이 단 1 차이지만, 12345601 은 일의 자리가 0 이 아니므로 이를 정확하게 표현하기 위한 유효 숫자는 이제 8 자리로 늘어난다. 하지만 앞에서 유효 숫자는 6 자리가 한계라고 가정했기 때문에, 12345601 은 유효 숫자 6 자리로 표현할 수 있는 근사값 12345600 (혹은 12345700) 으로 쓰여야 하고 오차가 발생해버린다. 마찬가지로 0.001234561 은 0.00123456 와 겨우 0.000000001 차이에 불과하지만 표현할 수 없는 숫자가 되어 0.00123456 (혹은 0.00123457) 로 쓰여야 하고 오차가 발생해버린다.][* 게다가 CPU 구현자에게 floating point 간의 사칙 연산에서 약간의 계산 오차를 낼 수 있도록 허용하고 있다는 것도 오차의 한 발생 요인이다. CPU 에서 floating point 연산 기능을 구현하는 것이 정수 연산 기능을 구현하는 것보다 훨씬 훨씬 복잡하기 때문에 floating point 시스템이 널리 채택되려면 CPU 구현자의 편의를 조금은 봐줄 필요가 있기 때문이다. 쉽게 말해서 똑같은 floating point 값을 가지고 똑같은 계산을 Intel CPU 와 Arm CPU 에서 수행시켜서 그 결과를 비교해보면 둘 사이에 약간의 오차가 있는 것을 확인할 수 있는데, 그렇다고 어느 한쪽이 맞고 어느 한쪽이 잘못된게 아니라 둘 다 floating point 표준에 부합하는 결과로 인정되는 것이다.] 때문에 오차가 생기고, [[카오스 이론|이 오차는 계산을 거듭할수록 걷잡을 수 없이 커지기 때문이다]]. 게다가 [[컴퓨터에서의 수 표현]]은 수를 표현할 저장공간의 한계상 정수론에서 말하는 [[시계 산술]]을 사용한다. 정수론이 잉여 분야이며 연구도 활발하지 않다고 많이 까이지만, 수학의 공리 대부분은 정수론에 대한 공리이다. 왜 21세기에 정수론 연구가 활발하지 않냐 하면 정수론은 '''고대 그리스, 아니 고대 이집트 시대부터 연구된 수학사적 총체'''이기 때문이다. 거의 5,000년 정도 수학자들이 열심히 연구해서 현재의 토대를 구축한 것이다. 5,000년 동안 연구해 왔으니 생각보다 많은 부분이 증명 또는 합의에 의한 공리체계로 정리되어 있다. 그럼에도 불구하고 정수론에는 난제가 너무나도 많고, 이것을 증명 또는 공리로 정하는 방법을 찾지 못하고 계속해서 난제가 쌓여가는 모습을 볼 수 있다. 그야말로 정수론은 수학 체계에서 '''원점이자 정점''' 그 자체이다. 참고로 이름은 '정수론'이지만 기초 수준에서는 [[정수]]보다는 [[자연수]], 그중에서도 [[소수(수론)|소수]]를 중점적으로 다룬다. [[이름과 실제가 다른 것|음의 정수는 잘 다뤄지지 않는데]], 대부분의 곱셈에 관련된 문제에서 양의 정수에 -1을 곱하는 것으로 음의 정수를 다룰 수 있기 때문이다. 또한 합성수들은 소수의 곱으로 생각할 수 있기 때문에[* 사실 소수나 소수의 곱으로 나타낼 수 없는 단 셋뿐인 정수가 있다. 다름아닌 [[0]]과 [[1]], [[-1]].], 결국 소수가 다른 정수들보다 더 중요한 대우를 받게 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기