문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 정규분포 (문단 편집) === 정의 === 물리학 실험용으로 무작위 표본추출을 통해 도출한 '확률 밀도 곡선'에 '극한을 적용해' 만든 것을 '''형태'''로 정립한 것. 그 그래프를 함수식으로 풀어쓰면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle N(x|\mu,\,\sigma^2)\equiv\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp{\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]})] [* 참고로 고등학교 교육과정에서는 지수함수 [math(\rm exp)]와 [math(f(\bullet|\bullet))] 형태의 표기를 사용하지 않고 평균을 [math(m)]로 나타내기 때문에 정규분포 [math({\rm N}(m,\,\sigma^2))]의 확률밀도함수를 [math(f(x))]로 적고 함수식도 [math(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}})]로 표기한다.]}}} 이다. 이때, [math(\mu)]와 [math(\sigma^2)]는 각각 [[평균]]과 [[분산]].[* '''m'''ean(평균)과 '''s'''tandard deviation(표준편차)의 앞글자를 그리스 문자로 음차했다. 분산은 개별 기호가 없고, '표준편차의 제곱'처럼 표기한다.] 또한, [math(N(x|\mu,\,\sigma^2))]는 확률 밀도 함수 중 하나이므로, [math(P(x\in\mathbb{R})=1)]임에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}N(x|\mu,\,\sigma^2)\,\mathrm{d}x=1)]}}} 이 성립한다. ||{{{#!folding [ 증명 펼치기 · 접기 ] 임의의 실수 [math(\mu)], [math(\sigma\;(\sigma>0))]에 대하여 [math(\mathbb{R})]에서 정의된 함수 [math(\displaystyle N(x|\mu,\,\sigma^{2}) \equiv \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp{\left[ -\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} \right]})]의 구간 [math([-\infty,\;\infty])]에서의 정적분 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp{\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right]}\,\mathrm{d}x)] }}} 에서 [math(x\equiv\sqrt2\sigma t)]로 [[치환적분|치환하면]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left[ -\left( t-\frac{\mu}{\sqrt{2}\sigma} \right)^{2} \right]}\,\mathrm{d}t)] }}} 으로 나타낼 수 있다. 실수 전체에 대한 정적분에서의 피적분 변수의 평행이동은 적분값에 영향을 주지 않으므로, 간략화를 위해 [math(u\equiv t-\mu/(\sqrt{2}\sigma))]로 치환하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp (-u^2)\,\mathrm{d}u)] }}} 이는 [[가우스 적분]]에 계수가 붙은 형태로, 다음과 같이 계산할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle\frac1{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^\infty \exp (-u^2)\,\mathrm{d}u=\frac1{\sqrt\pi}\cdot\sqrt\pi=1)] }}} 따라서 정규분포 [math(N(\mu,\,\sigma^2))]를 나타내는 확률 밀도 함수는 [math(\mu)]와 [math(\sigma)]의 값에 관계없이 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty N(x|\mu,\,\sigma^2)\,\mathrm{d}x=1 )] }}} 이 성립한다. [math(\blacksquare)] }}} ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기