문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 이동문서 삭제토론 전자기파 (문단 편집) === 평면 전자기파의 방사 형태 === 위 문단에서 전기장과 자기장이 공간상을 파동 형태로 방사될 수 있음을 추측했다. 그것이 사실이라면, "전자기파는 어떤 형태로 방사되는가?"에 대한 의문이 자동으로 나올 것이다. 이 문단에서는 그 물음을 해결해보자. 위 문단에서 전기장 혹은 자기장이 공간상으로 방사될 때, 다음과 같은 편미분 방정식으로 기술된다고 했다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \nabla^{2} \mathbf{V}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{V}}{\partial t^{2}} )] }}} 위 방정식의 해는 평면파(plane wave)라 하며, 다음과 같이 기술될 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{V}(\mathbf{r},\,t)=\mathbf{V}(\hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-vt) )] }}} 이 때, [math(\hat{\mathbf{k}})]는 파의 진행 방향을 나타내는 단위 벡터이다. 이 때, 다음과 같이 쓰자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-vt \equiv \xi )] }}} 외부 전하 밀도가 없고, 자기홀극은 존재하지 않으므로 전기장, 자기장은 다음을 만족시킨다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}=0 )] }}} 이에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}=\sum_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial x_{i}} =\sum_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x_{i}} )] }}} 이 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\partial \xi}{\partial x_{i}}=\frac{\partial }{\partial x_{i}}\sum_{i} ( \hat{k_{i}}x_{i}-vt)=\sum_{i} \hat{k_{i}} )] }}} 이고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \sum_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x_{i}}=\sum_{i} \hat{k_{i}} \frac{\partial V_{i}}{\partial \xi} = \frac{\partial}{\partial \xi}(\hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}) )] }}} 이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}= \frac{\partial}{\partial \xi}(\hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V})=0 )] }}} 따라서 일반적인 상황에서 다음이 성립해야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}=0 )] }}} 이에 전자기파의 방사 형태는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}=0 \qquad \qquad \hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0 )] }}} 이 되고, '''전기장과 자기장은 진행 방향에 각각 수직으로 진동한다.''' 이에 추가적으로 진행 방향과 진동 방향이 수직이므로 '''전자기파는 [[횡파]](transverse wave)이다.''' 위 논의로 전자기파가 횡파인 것까지는 알아내었다. 다만, 전기장과 자기장이 어떤 관계인지는 아직 확인할 수 없다. 이 문단에서는 그것을 해결해보자. 우선, [[패러데이 법칙]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} )] }}} 를 이용하자. 좌변을 다음 형태로 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=\boldsymbol{\nabla} \times (E_{x}\hat{\mathbf{x}})+\boldsymbol{\nabla} \times (E_{y}\hat{\mathbf{y}})+\boldsymbol{\nabla} \times (E_{z}\hat{\mathbf{z}}))] }}} 각 성분은 다음과 같은 형태로 되어 있고, 벡터 해석학을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times (E_{x_{i}}\hat{\mathbf{x}_{i}} )&=E_{x_{i}} (\boldsymbol{\nabla} \times \hat{\mathbf{x}_{i}})-\hat{\mathbf{x}_{i}} \times (\boldsymbol{\nabla} E_{x_{i}} ) \\ &= (\boldsymbol{\nabla} E_{x_{i}} ) \times \hat{\mathbf{x}_{i}} \end{aligned} )] }}} 로 쓸 수 있다. 이 때, 여기서 나온 항을 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} E_{x_{i}}&=\sum_{j} \frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial x_{j}} \hat{\mathbf{x}_{j}} \\ &=\sum_{j} \frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x_{j}} \hat{\mathbf{x}_{j}} \\ &=\sum_{j} \frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial \xi} \hat{k_{j}} \hat{\mathbf{x}_{j}} \\ &=\frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial \xi} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} )] }}} 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned}\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}&=\frac{\partial E_{x}}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{x}})+\frac{\partial E_{y}}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{y}})+\frac{\partial E_{z}}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{z}}) \\ &=\frac{\partial }{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times E_{x}\hat{\mathbf{x}})+\frac{\partial}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times E_{y}\hat{\mathbf{y}})+\frac{\partial}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times E_{z} \hat{\mathbf{z}}) \\ &=\frac{\partial}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}) \end{aligned} )] }}} 우변은 다음과 같이 계산된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial t}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} \frac{\partial }{\partial t}(\hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-vt)=v \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} )] }}} 이상의 결과를 종합하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E})=v \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} \, \rightarrow \, \frac{\partial}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}-v\mathbf{B})=0 )] }}} 이것이 일반적인 상황에서 성립하려면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}=v\mathbf{B} )] }}} 가 성립해야 한다. 따라서 여기서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \left| \mathbf{E} \right|=v\left| \mathbf{B} \right| )] }}} 를 얻을 수 있다. 또한, [[앙페르 법칙]][* 전도성 물질이 아닌 곳을 가정하고 있음에 주의하자.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}= \mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} )] }}} 를 위와 같은 방법으로 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{B}=-\frac{ \mathbf{E} }{v} )] }}} 임을 쉽게 증명할 수 있다. 위의 두 결과를 종합하면, 결국 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \hat{\mathbf{E}} \times \hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{k}} )] }}} 로 쓸 수 있고, '''전자기파가 방사될 때, 진행 방향, 자기장, 전기장은 서로 오른손 법칙을 따르도록 방사된다.''' 아래는 이 내용을 시각화한 것이다. [[파일:나무_전자기파 진행.png|width=100&align=center]] 위를 종합하면, 전자기파의 방사 형태를 다음과 같은 4가지 식으로 정리된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}&=0 \\ \hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}&=0 \\ \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}&=v\mathbf{B} \\ \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{B}&=-\frac{ \mathbf{E} }{v} \end{aligned})] }}} 이것을 풀어서 설명하면 다음과 같다. * 전자기파는 횡파이며, 전기장과 자기장은 진행방향의 수직하는 방향을 각각 이룬다. * 전자기파는 진행 방향과 전기장, 자기장은 오른손 법칙을 이루면서 방사된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기