문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 자연수 (문단 편집) === 자연수의 덧셈 === 이 다섯 가지 공리와 그리고 가장 간단한 형태의 덧셈, 곱셈, 그리고 대소 관계 정의를 이용하면 우리가 아는 자연수의 모든 성질들을 이끌어낼 수 있다. 자연수에서의 덧셈은 덧셈이 가지는 가장 기본적인 성질들을 추려서, 다음과 같이 귀납적으로 정의된다. > (A1) 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(n + 1 = n^+)]. > (A2) 임의의 자연수 [math(m,\,n)]에 대하여 [math(m + n^+ = \left(m + n\right)^+)]. 이게 끝이다. 사실 이런 식으로밖엔 자연수의 덧셈을 제대로 정의할 수 있는 방법이 사실상 없다.[* 그런데 여기서 이렇게 정의하는 방법이 과연 올바른 것인가 하는 의문을 가질 수 있다. 덧셈도 어떤 연산 혹은 사상, 즉 [math(+: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N})]으로 잘 정의되어야 하는 것인데, 저런 식의 정의가 '''잘 정의된''' 사상 [math(+: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N})]을 만들 수 있느냐는 것이다. 다르게 말하자면 저 조건을 만족하는 사상 [math(+: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N})]이 존재하긴 하는지, 그리고 유일한 건지 모른다는 것이다. 다행스럽게도 이에 대한 답은 [[https://nathanielforde.wordpress.com/2014/02/09/the-recursion-theorem/|recursion theorem]]으로 충분히 설명이 가능하다. ~~이런 것까지 고려하면 1+1=2 증명이 어려워진다~~ 물론 아래에 소개되는 곱셈도 이 정리로 잘 정의가 된다. 여담으로, 이 정리를 이용해서 자연수의 유일성(up to isomorphism)도 증명 가능하다.] 하지만 이런 정의와 페아노 공리, 특히 다섯 번째 공리(수학적 귀납법)가 만나면 우리가 아는 모든 게 다 튀어나온다. 일단 결합법칙, 교환법칙, 그리고 소거법칙[* [math(a + c = b + c)]이면 [math(a = b)]가 성립한다는 것]이 금방 나온다. 물론 [math(1 + 1 = 2)], [math(2 + 3 = 5)] 등등을 '증명'할 수도 있다! 여기선 그 유명한 [math(1 + 1 = 2)]만 증명해 보겠다. 다음과 같다. * [math(1 + 1)]은 덧셈의 정의에 따라 [math(1)]의 다음 수이다. ([math(1 + 1=1^+)]) * [math(2)]는 [math(1)]의 다음 수와 같다. ([math(1^+=2)]) * 따라서 [math(1 + 1)]과 [math(2)]는 같다. ([math(1 + 1 = 2)]) --물론, [[3]]이 [[1]] 다음 [[수]]였다면 [math(1+1=3)]이었을 것이다.-- 쉽다.(...) 하지만, 이렇게 표현하기 위해서 많은 수학자들이 이를 위한 여러가지 방법으로 추상화를 거친 끝에 위와 같은 비교적 쉬운 증명이 나온 것이다. 인터넷에 [math(1 + 1 = 2)]의 증명이 매우 어렵다며 수식이 가득한 증명이 돌아 다니는데, 이는 [[버트런드 러셀]]과 [[앨프리드 노스 화이트헤드]]의 Pricipia Mathematica에 나온 증명이다. 이때에는 자연수를 정의하는 방법이 현재와는 달랐기 때문에, 그 당시를 기준으로 증명이 이루어졌기 때문에 상당히 복잡하다. 자세한 것은 [[논리주의]] 참고. 여기서 1 대신 0으로 시작하는 경우, (A1)은 이렇게 바꿔야 한다. > (A1') 임의의 자연수 [math( n)]에 대하여 [math(n + 0 = n)]. 단순히 기호만 바꾸는 것으로 그치지는 않는다는 이야기이다. ~~기호만 바꾸면 당연히 직관에서 한참 벗어나는 것으로 보일 것이다. 0+0=1 (??) 같이~~ 전술하였듯이, 책마다 다르다. 그럼에도 수학적으로는 전혀 문제가 없는 이야기이다. 혹자는 이러면 문제가 되지 않냐고 할 수도 있겠지만 사실 0부터 시작하고 (A1) 대신 (A1')을 가정하면 (A1)이 동시에 만족된다는 것을 바로 알 수 있다. 간단히 증명하자면 [math(n + 1 = n + (0^+) = (n + 0)^+ = n^+)]. (사실, 반대로 0부터 시작할 때 (A1')을 가정하지 않고 (A1)을 가정해도 [math(n + 1 = n^+ , n + 0^+ = (n + 0)^+ = n^+ , n + 0 = n)]로 (A1')을 증명할 수 있다.) 이 경우 1+1=2 의 증명이 약간 달라지지만 간단히 쓰면 아래와 같다. * [math(1 + 1 = 1 + (0^+) = (1 + 0)^+ = 1^+ = 2)] 여기에 덧셈에 대한 [[역원]]을 만든 것이 [[정수]] [math(\mathbb Z)]이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기